Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

Borassus · 09-09-2025 06:43:53

Chers amis, bonjour !

Dans la courbe $x = y^2$, la variable est $y$ et le résultat du calcul est $x$ :

Comment alors appeler l'axe $\text{Oy}$ qui, vis-à-vis de la courbe, fait fonction d'axe des abscisses ?
Et comment appeler l'axe $\text{Ox}$ qui, vis-à-vis de la courbe, fait fonction d'axe des ordonnées ?

PS : Qu'est-ce que c'est reposant quand Borassus n'apparaît pas pendant quelque temps ! :-)

Bernard-maths · 09-09-2025 07:08:21

Bonjour à tous !

Lorsqu'on parle de fonction, il y a la variable et le résultat, d'où un repère plan ...

En géométrie plane, il y a deux variables, le résultat est dessiné ...

On a l'habitude, chez les français, d'appeler abscisse l'axe "horizontal" et ordonnée l'axe "vertical" ... pour d'autres parfois, c'est le contraire.

Et rien n'empêche le contraire.

On peut aussi agir par symétrie par rapport à la 1ère bissectrice, on retrouve y = x² ...

Ce qui peut amener aux fonctions réciproques aussi ...

Il y a aussi d'autres types de variables : température en fonction du temps, prix du kilogramme en fonction de la quantité ...

Ce qui compte c'est de savoir où est la variable et où est le résultat !

J'espère avoir été assez clair ... ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (09-09-2025 07:09:27)

Borassus · 09-09-2025 07:15:28

Tout à fait !

Mais comment appeler l'axe qui porte la variable, et l'axe qui porte le résultat ? :-)

Bernard-maths · 09-09-2025 08:05:58

Re,

je précise simplement : la variable est (ou se lit) en ordonnée et le résultat est (ou se lit) en abscisse.

Dans cet exemple la variable est en ordonnée et le résultat en abscisse.

L'axe de la variable est en ordonnée, l'axe des résultats esten abscisse ...

Dernière modification par Bernard-maths (09-09-2025 08:10:24)

Borassus · 09-09-2025 08:21:05

Pour s'affranchir des appellations "abscisses" et "ordonnées", on peut effectivement simplement utiliser les expressions "axe portant la variable" et "axe portant le résultat".

bridgslam · 09-09-2025 08:37:04

Bonjour,

Borassus, ta dénomination "la" courbe désigne potentiellement
deux graphes (réciproques), donc deux courbes, il y a donc une anomalie, car x et y sont deux variables muettes.
Il faut compléter pour trancher:
Soit la courbe $\{(x,y) / x=y^2\} $ selon que pour toi x est à gauche dans les couples, ou si tu considères le contraire.
Par convention graphique, la première coordonnée est en général portée par un axe horizontal orienté de gauche à droite,
on pourrait aussi l' incliner de 45° les jours où on a un torticolis...

jelobreuil · 09-09-2025 09:00:48

Bonjour à tous,
Borassus, ta question n'appelle qu'une réponse "conventionnelle", en ce sens que, du moment que tu définis clairement ce dont tu parles, tu es libre de les appeler comme bon te semble... Alors, effectivement, pourquoi pas "axe de la variable" et "axe du résultat" ? De toute façon, ce qui importe, ce n'est pas le nom que tu leur donnes, mais c'est que ce nom "parle" aux lecteurs de ton document, n'est-ce pas ?
Amitiés, Jean-Louis

Borassus · 09-09-2025 14:55:52

Bonjour bridgslam, bonjour Jean-Louis, bonjour tout le monde,

bridgslam a écrit :

"la" courbe désigne potentiellement
deux graphes (réciproques), donc deux courbes, il y a donc une anomalie, car x et y sont deux variables muettes.

Je ne comprends pas trop : sur la courbe $y = x^2$ le point $(x,y)$ se déplace continûment de "haut à gauche" à "haut à droite" en passant par l'origine lorsque la variable $x$ parcourt l'axe $\text{Ox}$ dans le sens $-\infty$ --> $+\infty$.

Pour $x = y^2$, le point $(x,y)$ se déplace continûment "de bas à droite" à "haut à droite" en passant par l'origine lorsque la variable $y$ parcourt l'axe $\text{Oy}$ dans le sens $-\infty$ --> $+\infty$.

De quel deux graphes s'agit-il ?

bridgslam a écrit :

Soit la courbe $\{(x,y) / x=y^2\} $ selon que pour toi x est à gauche dans les couples, ou si tu considères le contraire.
Par convention graphique, la première coordonnée est en général portée par un axe horizontal orienté de gauche à droite,

N'ayant pas assimilé la notation, je ne me vois pas l'expliquer à mes élèves.

_______

Jean-Louis, je reconnais là ta nature conciliatrice. :-)

_______

Ma question vient des notions de convexité et de concavité que retiennent les élèves : une courbe convexe est orientée "vers le haut", et une courbe concave est orienté "vers le bas".

Mon dialogue hier avec un élève de Première après que j'ai dessiné la courbe $x = y^2$ :

— Que représente cette courbe ?

— Ben, c'est la même parabole tournée de 90°.

— Quel est l'axe correspondant à la variable ?

— L'axe des y.

— Dans quel sens le lis-tu ?

— Du bas vers le haut.

— Dans quel sens est orientée la courbe ?

— Vers la droite.

— C'est-à-dire ?

— Ben, vers les x croissants.

— La courbe est donc convexe ou concave ?

— [un temps d'hésitation] Je crois qu'elle est convexe.

— Pourquoi ?

— Ben, parce que la première courbe est orientée vers les y croissants.

— Donc, comment définis-tu une courbe convexe ?

— [un temps d'hésitation] Une courbe orientée vers ses valeurs croissantes ?

— Tout à fait ! Comment définis-tu maintenant une courbe concave ?

— Lorsqu'elle est orientée vers ses valeurs décroissantes ?

— Tu as tout compris ! Une courbe convexe est orientée vers les valeurs croissantes de l'axe qui fait office d'axe des ordonnées. Et une courbe concave est orientée dans l'autre sens.

« l'axe qui fait office d'axe des ordonnées » D'où mon besoin de trouver une appellation pour cet axe.

_______

bridgslam, je retiens le coup du torticolis (ça fera rire :-) : à la première occasion, je vais dessiner un repère pivoté de 45°, avec les deux courbes $y = x^2$ et $x = y^2$, voire de 135°.

Dernière modification par Borassus (09-09-2025 15:03:32)

bridgslam · 09-09-2025 16:18:04

Bonjour,

@Borassus :
Tu fais intervenir deux lettres dans la relation ( sur un couple de réels ) , et sauf si x = y , le couple (x,y) est différent du couple (y,x). Autrement dit soit x représente la première coordonnée du couple, et y la seconde, ou vice versa et leur rôle est différent.
Dans un cas tu représentes un certain graphe, et dans l'autre il s'agit du graphe symétrique.
Cela jouera notamment pour chaque relation où les deux variables ne jouent pas un rôle symétrique.
Il est important de voir qu'une relation donnée porte sur un couple. D'ailleurs la représentation graphique est bien un ensemble de points, non ?

D'où les deux graphes: si tu ne précises pas dès le départ, on ne sait pas de quel graphe il s'agit...

Au minimum il faut savoir ce qu'est un couple, un graphe , des variables, une relation, ... certes, pour que tes élèves comprennent, et je pense - avis personnel - que si ces étapes sont sautées, on aboutit un jour ou l'autre inévitablement au type de question que tu poses. (*)

(*) je me permets d'ajouter qu'elle a le mérite certain de faire s'interroger sur ce qu'est un produit cartésien (fini ) et du sens des notations employées à leur encontre. Une bonne approche en introduction du livre de Georges et Marie-Nicole Gras "Algèbre fondamentale et arithmétique" fait comprendre rapidement que c'est in fine assez subtil, et comme ta question s'y rattache au final (même sans se focaliser sur la question graphique/géométrique ), elle n'est pas dénuée du tout de profondeur, et en prenant les choses calmement, on aboutit à des idées beaucoup plus claires.
NB: pour le torticolis il faut bien sûr aussi basculer ( par rapport au ... tableau, l'ardoise, la feuille, la blouse du prof les jours de 1 er avril...) aussi de la même façon tous les couples de points, sinon ce n'est plus la même fonction.
J'ai en mémoire un petit exo dans le Queysanne où justement une relation dans le plan définie par des parties du plan en engendre une infinité d'autres analogues sur les couples du plan, et là c'était le contraire, on faisait pivoter etc les parties "géométriques" sans rien toucher aux couples eux-mêmes...

Bonne soirée

Dernière modification par bridgslam (09-09-2025 16:44:40)

Eust_4che · 09-09-2025 16:48:50

Bonjour à tous et à toutes,

Je ne suis pas d'accord pour qu'on dise n'importe quoi à des élèves sous le prétexte que "cela se voit sur un dessin". Une courbe n'est pas convexe ou concave. Une partie de $\mathbf{R}^2$ est convexe ou n'est pas convexe. Une fonction $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ est convexe ou n'est pas convexe. Une fonction $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ est convexe si son "épigraphe", l'ensemble $\textrm{épi}(f) = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 \mid y \geq f(x) \}$, est un ensemble convexe. Une fonction $f$ est concave si $-f$ est convexe.

Demander à ton élève si la courbe d'équation $x = y^2$ est convexe ou non n'a pas de sens. En revanche, on peut lui demander si l'ensemble des couples $(x, y)$ de $\mathbf{R}^2$ tels que $x \leq y^2$ est une partie convexe ou non, ce que tu lui demande en réalité.

N'importe quelle transformation affine de $\mathbf{R}^2$ préserve les parties convexes. Si la fonction $f$ est convexe, toute les manipulations sur $\textrm{épi}(f)$ qui sont affines (comme les rotations) donne un ensemble convexe.

E.

Bernard-maths · 09-09-2025 16:59:10

Je te fais une fleur ...

B-m

Borassus · 09-09-2025 19:09:34

Bonsoir tous les trois, bonsoir au-delà,

Whouf !! Trois réponses à rédiger !

Commençons par la plus facile : Bernard, ta fleur composée de huit courbes de type y = x² avec une rotation des axes de $-\dfrac{\pi}{2}$ (si on les regarde les courbes dans le sens horaire) est une pure merveille !! Bravo !!
Peux-tu nous expliquer comment tu as procédé pour définir les huit courbes (il ne faut pas se croiser les yeux :-) ? Comment en particulier as-tu obtenu la "fleur" centrale sans obtenir un gros point noir ?

___________

@bridgslam :

Je comprends maintenant ce que tu voulais dire : effectivement les graphes $(x,y)$ et les graphes $(y,x)$ sont des graphes symétriques.

Petit bémol à mon sens, toutefois : contrairement à ce qu'on peut penser de prime abord, $y = x$ et $x = y$ ne sont pas équivalents, bien que les deux courbes coïncident : la logique de $y = x$ consiste à dire que le résultat $y$ est la recopie de la variable $x$ ; à l'inverse, $x = y$ signifie que le résultat $x$ recopie la variable $y$.

C'est précisément cette seconde logique qui est utilisée lorsqu'on trace les termes d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ à partir de la courbe $y = f(x)$ : à partir de l'abscisse $u_n$ on obtient l'ordonnée $u_{n+1}$, qu'on reporte sur la droite $x = y$ — et non $y = x$ ! —, qu'on reporte sur l'axe des abscisses pour obtenir $u_{n+1}$.

Ce qui me gêne dans la notation $\{(x,y) / x=y^2\} $, c'est l'ordre $(x,y)$ qui, à mon sens, semble indiquer que la variable est $x$ et que le résultat est $y$, alors que la logique de calcul indique exactement l'inverse. L'écriture $\{(y,x) / x=y^2\}$ me semble, peut-être à tort, plus naturelle.
___________

@Eust_4che

Je rappelle tout d'abord que je suis un humble autodidacte qui, il y a presque cinquante ans, s'est violemment arraché d'une troisième année de licence de russe à Nanterre vécue comme une totale impasse — les profs eux-mêmes me disaient « Boris, si vous pouvez partir, partez ! » — en assimilant en un peu plus d'un an les programmes de Seconde, Première, Terminale C, Math'Sup, Math'Spé.
Et qui, il y a treize ans, a dû impérativement se recycler et revenir à ses amours premières, à savoir les cours particuliers de maths.

Ce que je cherche en permanence à obtenir avec mes élèves — dont une faible proportion vont vers des études mathématiques poussées — est de leur faire comprendre la logique des formules et des affirmations dont on les gave. (C'est une demande récurrentes de mes élèves, notamment de Terminale : « Le prof nous a balancé une palanquée de formules dont je ne comprends pas la logique. »)

Donc, puisqu'on leur enseigne qu'une fonction est convexe si sa courbe est "orientée vers le haut", et est concave si sa courbe est "orientée vers le bas", je leur enseigne de mon côté à voir autrement un logique plus générale.

Je peux tout au plus préciser qu'il y a d'autres critères de convexité et de concavité que l'orientation de la courbe ou la position de celle-ci par rapport à ses tangentes — critère des cordes, critère du milieu d'un segment (ou du tiers, ou du quart...), que j'explique en seconde partie de mon document —, et qu'au-delà, il y a d'autres critères respectant davantage l'orthodoxie mathématique.

Mais je ne peux en aucun cas, quand bien même je serais parfaitement familiarisé avec elles, introduire ces notions à des élèves de Première ou de Terminale !!!
Pour la bonne et simple raison que je perdrais mes élèves — que souvent je garde, ainsi que leur petit frère ou leur petite sœur, pendant plusieurs années consécutives — dès le premier cours.

Je te prie d'excuser mon irrévérence, mais je tiens à maintenir ma ligne de conduite, que j'expérimente et enrichis en permanence, quasiment à chaque cours, et raconter à mes élèves "n'importe quoi" à partir du moment où ce "n'importe quoi" leur permet de comprendre la logique des choses.

_________________

PS : J'avais lancé une discussion sur ce que signifie une fonction convexe ou concave : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=17881. Je vais m'y replonger.

Eust_4che · 09-09-2025 20:27:50

On peut tout à fait apprendre les mathématiques en autodidactes sans manquer de rigueur. La discussion rapportée plus haut laisser penser que l'élève devait être peu perdu face à ce que tu lui demandes. Comme tu sembles apprécier la géométrie pour son aspect très visuel, je ne vois pas ce qui t'empêche de parler à tes élèves de parties convexes : il s'agit d'une partie qui contient tout segment joignant deux de ces points.

L'ensemble des couples $(x, y)$ de $\mathbf{R}^2$ tel que $y \leq - x^2$ est une partie convexe, même s'il correspond à une courbe "concave".

bridgslam · 09-09-2025 21:02:51

Bonjour,

Tes dernières écritures ne représentent pas les mêmes ensembles, et ils sont aussi naturels l'un que l'autre.
Tu est d'accord que dans un cas tu obtiens les couples $(x^2,x)$ et dans l'autre les couples $(x,x^2)$ ?
Est-ce pareil?

Quant aux suites récurrentes, = et affectation (comme en informatique), ou composition, sont des notions différentes.
Si f est la fonction carré, et y=f(x), y et x sont distincts sauf cas particuliers, que tu te demandes si du coup y=x ou x=y n'a pas de sens, et ton injection de y comme argument de f correspond plutôt à fof , puis fofof etc...

Bref j'ai du mal à te suivre ( ... et c'est un euphémisme).

Pour l'absence de point noir sur l'image de Bernard, sans vouloir empiéter sur ses réponses, il semble que les points représentés sont soumis à une condition minimum de distance à l'origine, ce qui revient à gommer ce qui est dans un petit disque centré en O. En effet les courbes sont des portions de paraboles si je n'ai pas la berlue ...
Dans la même veine si les points dont la distance à O est supérieure à celle des pointes de pétales ne sont pas affichés, ça supprime les "fins" de courbes ...
Remarque: si on considère toute la partie du plan (pleine) correspondant à la représentation ordinaire botanique ( pistil pétales pleins) , celle-ci est étoilée par rapport au centre ( et lui seul ? ), ce qui n'est pas le cas si les fins de courbes sont présents.
Un bon exercice: déterminer tous les points pour lesquels la vraie fleur est étoilée.

Bonne soirée

Dernière modification par bridgslam (10-09-2025 08:04:52)

bridgslam · 10-09-2025 08:01:15

Bonjour,

Rappel: un ensemble de points E est étoilé par rapport à un point I ssi pour tout point M dans E, [IM] est inclus dans E.

Mon petit laïus devrait intéresser Bernard, qui confirmera ou infirmera... Merci...

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (10-09-2025 10:23:28)

Borassus · 10-09-2025 09:04:34

Bonjour tout le monde,

@Eust-4che :
J'ai pris la peine d'ouvrir ce matin — je suis sorti hier soir — un de mes manuels de Terminale spécialité maths, en l'occurrence celui de la collection Barbazo, programme 2020, chez hachette Éducation.

Oups ! Au temps pour moi !

Je cite :

Barabzo Terminale spé math a écrit :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère.
* $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous les réels $a$ et $b$ de $I$, la portion de la courbe $C$ située entre les points $A(a\,;\,f(a))$ et $(b\,;\,f(b))$ est en dessous de la sécante $(AB)$.
* $f$ est concave sur $I$ si, pour tous les réels $a$ et $b$ de $I$, la portion de la courbe $C$ située entre les points $A(a\,;\,f(a))$ et $(b\,;\,f(b))$ est au-dessus de la sécante $(AB)$.
[deux figures illustratrices]
La fonction carré et la fonction exponentielle sont convexes sur $\mathbb{R}$.
La fonction racine carrée est concave sur $[0\,;\, + \infty[$.
La fonction inverse est concave sur $]-\infty\,;\,0[$ et convexe sur $]0\,;\, +\infty[$
La fonction cube est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ et convexe sur $[0\,;\,+\infty$
Remarque : Étudier la convexité d'une fonction revient à déterminer sur quel(s) intervalle(s) elle est convexe et sur quel(s) intervalle(s) elle est concave.

Je vais donc derechef modifier ce que j'ai écrit dans mon document (alors que j'explique le critère des cordes bien plus loin), et modifier les explications face à mes élèves. (Cela fait longtemps que je ne me suis pas plongé dans un manuel, habitué que je suis à expliquer les cours "à ma façon".)

Par contre, le manuel évoque bien des fonctions convexes ou concaves, et non des ensembles !
Et il se réfère à "en dessous" et à "au-dessus", qui ne sont pas vraiment des notions mathématiques.

Tout au plus, je peux mentionner qu'en Supérieur on voit une autre définition, plus rigoureuse, et expliquer la convexité du volume intérieur d'un saladier ou d'un dôme, voire d'une sphère, même si, vu de l'extérieur, le dôme paraît concave. (De la même façon que la concavité de la courbe $y = -x^2$ est, oui, convexe alors que le courbe est vue comme concave.)
Mais je la présenterai plutôt comme une parenthèse de curiosité qui, à mon sens, n'apportera pas beaucoup à l'élève, si ce n'est de faire comprendre que si elles ne sont pas définies rigoureusement, les notions de convexité et de concavité relèvent de la subjectivité de l'observation.

Pour revenir à ma fonction $f(y) = y^2$, en appliquant la définition ci-dessus à ce repère $(y,x)$, elle est convexe car la portion de la courbe délimitée par une corde quelconque est à gauche de cette corde.

PS :
Je démarrais ma discussion « Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ? » (qui a obtenu le score quelque peu étonnant de 26 439 vues) par
« Une courbe est convexe si l'intérieur de celle-ci (c'est-à-dire sa concavité) est "orientée vers le haut" (ou, du moins, vers les ordonnées croissantes).
Une courbe est concave si sa concavité est "orientée vers la bas" (ou, du moins, vers les ordonnées décroissantes).

Que signifie fondamentalement une fonction convexe ou une fonction concave ?
Est-ce un abus de langage ? »

La réponse était tout simplement dans un de mes manuels de Terminale. :-)

PPSS :
« La discussion rapportée plus haut laisser penser que l'élève devait être peu perdu face à ce que tu lui demandes. »
L'élève était simplement dérouté par mon approche différente de celle qu'il a vue en classe.

PPPSSS :
@bridgslam : Je te répondrai plus tard, en fonction de mes disponibilités.

Dernière modification par Borassus (10-09-2025 09:50:34)

Borassus · 10-09-2025 10:52:58

« [...] si ce n'est de faire comprendre que si elles ne sont pas définies rigoureusement, les notions de convexité et de concavité relèvent de la subjectivité de l'observation. »

Et comme toute subjectivité, elles peuvent faire l'objet d'interminables échanges, ce qu'illustrent très explicitement cette discussion et, bien plus encore, celle citée.

Je vais quand même aller dans ton sens, Eust-4che, et expérimenter l'explication des ensembles convexe et concave en tant que "intérieur" et "extérieur".

Michel Coste · 10-09-2025 14:18:46

Bonjour,

Borassus a écrit :

Je vais quand même aller dans ton sens, Eust-4che, et expérimenter l'explication des ensembles convexe et concave en tant que "intérieur" et "extérieur".

Ce n'est absolument pas ce qu'a expliqué Eust_4che. Il a donné la définition (simple) d'ensemble convexe : tout segment joignant deux points de l'ensemble est tout entier contenu dans l'ensemble. Et la définition de fonction convexe (toute corde est au-dessus du graphe, pour aller vite) est bien équivalente à "l'épigraphe $\{(x,y)\mid y\geq f(x)\}$ est convexe" (autrement dit, tout segment qui a ses extrémités au-dessus du graphe reste au-dessus du graphe. Il n'est pas question d'intérieur et d'extérieur.

Borassus · 10-09-2025 17:52:09

Bonsoir Michel,

Merci de cet éclaircissement.

Si j'ai bien compris, le premier ensemble (bordure comprise) est convexe, et le second n'est pas convexe :

(J'ai effectivement vu cette notion il y a pas mal de temps, mais comme je ne la pratique pas avec mes élèves de lycée, je l'avais oubliée.)

Un ensemble non convexe est-il de facto concave ?

Michel Coste · 10-09-2025 18:03:27

En mathématiques, il y a des fonctions convexes et des fonctions concaves, des ensembles convexes mais pas d'ensemble concave. On peut certes trouver des auteurs qui définissent "ensemble concave" comme "ensemble qui n'est pas convexe" comme ici : https://mathworld.wolfram.com/Concave.html. Mais franchement, c'est incohérent : il ne viendrait à personne l'idée de dire qu'une fonction concave est une fonction qui n'est pas convexe.

Borassus · 10-09-2025 18:34:39

La fonction représentée par cette courbe

est convexe car son épigraphe — partie au-dessus de la courbe, courbe comprise ; "épi" : au-dessus de — est convexe.

A l'inverse, la fonction représentée par cette courbe

est concave car son hypographe — partie en dessous de la courbe, courbe comprise ; "hypo" : en dessous de — est convexe.

Ça y est ! Je commence à (bien) comprendre, avec mes mots !!
Merciii Eust-4che et Michel !!

Comme l'écrit un certain Borassus « A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension. »
« A condition qu'elle soit gênante ». Il ne vous a sans doute pas échappé que je me satisfais très peu d'une demi-compréhension. :-)

Donc, le critère des cordes n'est qu'un cas particulier de la logique générale.
Pourquoi alors, dans la définition des fonctions convexes et concaves, se limiter aux seules cordes ??

PS : Si une fonction peut être convexe ou concave, est-il légitime de dire que la courbe qui la représente est elle-même convexe ou concave ? Ou est-ce une extension de langage ?

Dernière modification par Borassus (10-09-2025 18:52:28)

Borassus · 10-09-2025 19:14:58

« Il n'est pas question d'intérieur et d'extérieur. »

J'entends "intérieur ou extérieur d'une courbe" dans le même sens que "intérieur ou extérieur d'un virage".

Bernard-maths · 10-09-2025 19:19:28

Hello !

Le vocabulaire matheux peut être trompeur si on ne le maitrise pas bien !!!

La concavité représente le "creux" de la courbe, elle peut être tournée vers le haut ou vers le bas : tes 2 figures !

La convexité est plus complexe ... elle de raporte plus à un ensemble de points ...

Comme l'a dit Alain, un ensemble de point E est convexe <=> pour 2 points A et B de l'ensemble E, le segment [AB] est contenu dans l'ensemble E !

Ainsi les "intérieurs" de tes 2 paraboles, voir les segments tracés, sont convexes ! Les extérieurs ne le sont pas ...

En passant, épigraphe et hypographe ne me sont pas connus ???

Il y a encore beaucoup à dire, Alain peut en rajouter et me contredire éventuellement ...?

Cordialement, B-m

Borassus · 10-09-2025 19:30:40

Bonsoir Bernard,

« La concavité représente le "creux" de la courbe, »
Le mot "creux" me convient bien. Je définirai donc la concavité de la courbe comme le creux de la courbe, où comme l'intérieur de la courbe en évoquant l'analogie avec un virage. (Tout le monde sait ce qu'est l'intérieur d'un virage ; il n'y a pas besoin d'avoir son permis pour cela ; et tout le monde sait qu'il est déconseillé, lorsqu'on est à vélo ou à moto, de pencher vers l'extérieur du virage. :-)

En précisant toutefois que le mot "concavité" ne doit pas être pris dans le sens de concavité d'une fonction.

Borassus · 10-09-2025 19:38:36

« En passant, épigraphe et hypographe ne me sont pas connus ??? »

Ils ne m'étaient pas connus non plus. Après avoir demandé à Chat de m'expliquer le premier, je me suis dit qu'il devait y avoir un mot pour désigner la partie en dessous de la courbe représentant une fonction. Ce qu'il m'a confirmé en m'indiquant le second.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 09-09-2025 06:43:53

Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#2 09-09-2025 07:08:21

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#3 09-09-2025 07:15:28

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#4 09-09-2025 08:05:58

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#5 09-09-2025 08:21:05

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#6 09-09-2025 08:37:04

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#7 09-09-2025 09:00:48

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#8 09-09-2025 14:55:52

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#9 09-09-2025 16:18:04

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#10 09-09-2025 16:48:50

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#11 09-09-2025 16:59:10

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#12 09-09-2025 19:09:34

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#13 09-09-2025 20:27:50

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#14 09-09-2025 21:02:51

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#15 10-09-2025 08:01:15

Re : Par rapport à la courbe $x = y^2$, comment appeler l'axe Ox ?

#16 10-09-2025 09:04:34

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#17 10-09-2025 10:52:58

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#18 10-09-2025 14:18:46

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#19 10-09-2025 17:52:09

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#20 10-09-2025 18:03:27

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#21 10-09-2025 18:34:39

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#22 10-09-2025 19:14:58

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#23 10-09-2025 19:19:28

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#24 10-09-2025 19:30:40

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#25 10-09-2025 19:38:36

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