Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Paul Luis

Invité

Probabilité d’obtenir ≥ 38 bonnes réponses sur 64 questions (QCM)

Bonjour,

J’aurais besoin d’une confirmation concernant un calcul de probabilité.

Imaginons un QCM de 64 questions. Chaque question a 4 choix possibles, dont un seul est correct.
Un participant répond totalement au hasard.

Quelle est la probabilité qu’il obtienne au moins 38 bonnes réponses sur 64 ?

Merci d'avance pour vos réponses !

bridgslam

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Re : Probabilité d’obtenir ≥ 38 bonnes réponses sur 64 questions (QCM)

Bonjour,

Quel besoin ? Si c'est un exercice, il faut indiquer ce que tu as essayé et, mieux, indiquer ton niveau.
Quelle valeur trouvée ( ou expression)  doit on confirmer?
Ce n'est pas insurmontable et si classique que ce n'est pas (à mon avis) la bonne rubrique.

Dernière modification par bridgslam (07-09-2025 06:07:04)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Paul Luis

Invité

Re : Probabilité d’obtenir ≥ 38 bonnes réponses sur 64 questions (QCM)

Bonjour,

Merci de votre attention.

Je précise que je ne suis pas mathématicien, et c’est justement la raison pour laquelle je viens sur ce forum : j’aimerais obtenir la validation de personnes compétentes concernant un problème que les IA actuelles ne parviennent pas à résoudre correctement (elles se contredisent presque toutes).

Mon objectif est de créer un QCM de 64 questions, dont la réussite est définie par un score d’au moins 38 bonnes réponses. Je souhaite m’assurer qu’il est effectivement impossible de réussir par simple hasard, même en itérant de nombreuses fois.

Peut-être ne suis-je pas dans la bonne rubrique ?

Merci d’avance pour votre aide.

bridgslam

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Re : Probabilité d’obtenir ≥ 38 bonnes réponses sur 64 questions (QCM)

Bonjour,

   Réussir au moins 38 fois,  c'est respectivement gagner 38 ou 39 ou 40 ou ... 64 questions et perdre conjointement  (64-38)fois  etc  sur les autres questions.
On doit sommer ces probabilités, en tenant compte des façons possibles de choisir ces 38, ou 39, .... 64 questions.

Par exemple la probabilité associée à gagner (exactement ) 50 questions est $ (3/4)^{14} \times (1/4)^{50} \times C( 64,50)$
Le dernier coefficient (dit coefficient binômial ) est le nombre de possibilités de choisir 50 questions parmi 64.

Ma réponse s'exprime donc sous forme sommatoire, et je ne pense pas qu'il y ait une formule directe.
La probabilité cherchée est la somme des $ (3/4)^{64-n} \times (1/4)^{n} \times C( 64, n)$ pour n variant de 38 à 64.

Cela peut être entré sous forme de programme ( dans une boucle de parcours sur les nombres de questions allant de 38 à 64  notamment ) ou à la main avec une calculette, si on est très courageux.

Bonne fin de soirée

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Paul Luis

Invité

Re : Probabilité d’obtenir ≥ 38 bonnes réponses sur 64 questions (QCM)

Très bien, donc je suppose que je peux en conclure qu'aucune tricherie n'est sérieusement envisageable.

Merci pour votre aide, et bonne soirée à vous.

bridgslam

Membre Expert

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Re : Probabilité d’obtenir ≥ 38 bonnes réponses sur 64 questions (QCM)

Bonsoir,

Je n'ai pas fait le calcul, mais le résultat doit être faible sans doute,  donc rare qu' un candidat cochant au hasard obtienne ce bilan, sorte de "tricherie" par paresse, et sans doute la moins compliquée des tricheries.
Vous pourriez légitimement vous demander pourquoi cette somme ne dépasse pas 1 ( obligatoire pour une probabilité),
Eh bien la somme totale si les indices varient de 0 à 64 est justement  $ (1/4 + 3/4)^{64}=1$, et on ne prend qu'une partie de cette somme, la probabilité d'être une probabilité est donc 1  :-).

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bridgslam

Membre Expert

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Re : Probabilité d’obtenir ≥ 38 bonnes réponses sur 64 questions (QCM)

Bonjour,

A noter qu'en prenant un nombre de questions nettement plus petit que 64, disons moins d'une dizaine, les calculs sont plus rapides et   restent dans le cadre des possibilités ordinaires de gestion numérique des machines.
Des simulations aléatoires, avec pseudo randomization par la machine, sont toujours possibles afin de comparer les expériences et les résultats avec l'expression théorique à toutes fins de validation...
A une autre époque j'aurais sauté sur un éditeur de code et tapé le programme ... et les choix de langage ne manquent pas.

Bonne journée

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Roro

Membre expert

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Re : Probabilité d’obtenir ≥ 38 bonnes réponses sur 64 questions (QCM)

Bonsoir,

J'ai calculé la somme indiquée par bridgslam :

La probabilité cherchée est la somme des $ (3/4)^{64-n} \times (1/4)^{n} \times C( 64, n)$ pour n variant de 38 à 64.

et j'ai obtenu (sauf erreur) :
$$5.749665625321\cdot 10^{-9}.$$
Autant dire qu'il y a peu de chance d'obtenir au moins 38 bonnes réponses en répondant au hasard...

Roro.

Dernière modification par Roro (08-09-2025 22:13:03)

bridgslam

Membre Expert

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Re : Probabilité d’obtenir ≥ 38 bonnes réponses sur 64 questions (QCM)

Bonjour,

Merci Roro, c'est nettement plus parlant.

Un peu plus qu'une chance sur 200 millions, donc  un quiz en béton...

Bonne journée

Dernière modification par bridgslam (09-09-2025 13:42:42)

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