Convergence [Résolu]

granfada · 30-10-2008 15:51:04

Bonjour,
j'ai une petite question concernant la convergence de variables aléatoires.

Si on Xn -> 1 p.s. et Yn -> 1 p.s. a-t-on XnYn -> 1 p.s ? Si oui comment cela se démontre ?

Pareil avec la convergence dans L².

Merci d'avance

granfada · 30-10-2008 16:10:31

En fait pour la p.s. ça a l'air de marcher.

P(lim XnYn = 1)=P(lim Xn= 1/k).P(lim Yn = k) pour tout k diff de 0
Or la seule valeur possible est k = 1 et on a P(lim XnYn = 1) = 1 * 1 = 1.

Reste la L²

Barbichu · 30-10-2008 18:56:45

Salut,

granfada a écrit :

P(lim XnYn = 1)=P(lim Xn= 1/k).P(lim Yn = k) pour tout k diff de 0
Or la seule valeur possible est k = 1 et on a P(lim XnYn = 1) = 1 * 1 = 1.

Je ne connais rien qui te permette de dire pareilles choses !

La démonstration est la suivante (en detaillé)
Soient Xn et Yn deux suites de v.a. de E -> IR qui convergent p.s. (pour une certaine loi P)
Il existe deux ensembles de mesure nulle Nx et Ny telles que Xn converge sur E\Nx et Yn converge sur E\Ny.
Soit N = Ny u Nx, on a que Xn et Yn convergent encore sur E\N.
Par un théorème de convergence sur les suites de fonctions, Xn.Yn converge donc sur E\N.
Or N est encore de mesure nulle (car P(Nx u Ny) <= P(Nx) + P(Ny) = 0)
D'ou Xn.Yn converge p.s.

Attention Si Xn et Yn convergent dans L² alors Xn.Yn converge dans L¹ , et pas nécessairement dans L² !
++

granfada · 31-10-2008 10:28:38

Merci beaucoup.

As-tu une référence de livre regroupant ce genre de propriétés de convergence ? Ou le théorème de convergence que tu cites ?

Le fait que ça converge vers une constante n'intervient donc pas. On aurait le meme résultat avec X et Y a la place de 1 (pour la convergence p.s.)

Dernière modification par granfada (31-10-2008 10:29:12)

granfada · 23-02-2009 15:32:51

Bonjour,
je reviens à la charge sur mes problèmes de convergence de v.a. .

La démonstration de barbichu est-elle aussi valable dans le cas d'un quotient de 2 v.a. [tex]$X_n/Y_n$ [/tex]? Et quel est le téorème sur la convergence de séries de fonctions dont il parle ?

Et on démontre que les 2 termes de droite tendent vers zéro grâce aux 2 convergences de [tex]Y_n [/tex]et [tex] X_n [/tex]. Mais le numérateur en [tex]$Y_n$[/tex] pose problème. Comment faire ?

Merci d'avance

Dernière modification par granfada (23-02-2009 15:38:12)

Fred · 23-02-2009 17:41:53

Bonjour,

Le théorème auquel Barbichu fait référence peut même concerner les suites numériques :
si [tex]u_n[/tex] converge vers a et [tex]v_n[/tex] converge vers b,
alors [tex]u_nv_n[/tex] converge vers ab.

Pour le cas du quotient, cela fonctionne si b est non nul. Donc, si [tex]X_n[/tex] cv ps vers 1
et [tex]Y_n[/tex]cv ps vers 1, leur quotient va aussi converger ps vers 1.

Fred.

granfada · 23-02-2009 21:30:39

Merci beaucoup.

Peux tu me donner une idée des arguments de la preuve ? Ou si tu le connais le nom du théorème pour que je retrouve cette derniere.

Fred · 24-02-2009 10:35:58

Re-

Tu écris
[tex] u_nv_n-ab=(u_n-a)v_n+a(v_n-b)[/tex]

Puisque [tex]M_n[/tex] est convergente, elle est majorée par une constante M.
Il vient
[tex] |u_nv_n-ab|\leq M|u_n-a|+|a|\,|v_n-b|[/tex]

D'où le résultat en faisant tendre n vers l'infini.

Fred.

granfada · 24-02-2009 11:34:15

D'accord, merci Fred.

Je vais l'appliquer à la cvg presque complète dans le cas d'un quotient.

granfada · 24-02-2009 13:01:01

Voilà ce que donne ma démonstration.
[tex]
\textrm{Nous avons}

$$S_n \stackrel{p.co.}\rightarrow 1$$

\textrm{c'est à dire que, }$\forall \varepsilon > 0$,

$$ \sum_{n \geq 1} P (|S_n-1|>\varepsilon) < +\infty.$$

\textrm{ De m\`eme nous avons }$$R_n \stackrel{p.co.}\rightarrow 1.$$

\textrm{ Nous obtenons, }$\forall \varepsilon > 0$,

\begin{eqnarray}
\sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-1\right|>\varepsilon\right) &=& \sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-\frac{1}{R_n}+\frac{1}{R_n}-1\right|>\varepsilon\right) \nonumber \\
&<& \sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-\frac{1}{R_n}\right|> \varepsilon\right) +\sum_{n \geq 1} P\left(\left|\frac{1}{R_n}-1\right|>\varepsilon \right) \nonumber \end{eqnarray}

\textrm{Or} $\exists n_0>1$ \textrm{tel que, pour }$n>n_0$, \textrm{on ait }$R_n>M$\textrm{ p.co. avec }$0<M<1$.

\textrm{Donc}

\begin{eqnarray}
\sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-1\right|>\varepsilon\right) &<& \sum_{n = 1}^{n_0} \left[ P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-\frac{1}{R_n}\right|> \varepsilon\right) + P\left(\left|\frac{1}{R_n}-1\right|>\varepsilon \right) \right] \nonumber \\
&+ &\sum_{n = n_0+1}^{+\infty} \left[ P \left(\left|S_n-1\right|> \varepsilon M\right) + P\left(\left|R_n-1\right|>\varepsilon M\right) \right] \nonumber
\end{eqnarray}

\textrm{Or la premi\'ere somme est inf\'erieure à }$2n_0$ \textrm{et la deuxi\'eme est inf\'erieure \`a l'infini par convergence presque compl\`ete de }$S_n$ \textrm{et} $R_n$.\textrm{ On a donc bien}

$$\sum_{n \geq 1} P \left(\left|\frac{S_n}{R_n}-1\right|>\varepsilon\right) < \infty$$

\textrm{et finalement, pour }$R_n \ne 0$,
$$\frac{S_n}{R_n} \stackrel{p.co.}\rightarrow 1.$$
[/tex]

Dernière modification par granfada (24-02-2009 13:04:40)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 30-10-2008 15:51:04

Convergence [Résolu]

#2 30-10-2008 16:10:31

Re : Convergence [Résolu]

#3 30-10-2008 18:56:45

Re : Convergence [Résolu]

#4 31-10-2008 10:28:38

Re : Convergence [Résolu]

#5 23-02-2009 15:32:51

Re : Convergence [Résolu]

#6 23-02-2009 17:41:53

Re : Convergence [Résolu]

#7 23-02-2009 21:30:39

Re : Convergence [Résolu]

#8 24-02-2009 10:35:58

Re : Convergence [Résolu]

#9 24-02-2009 11:34:15

Re : Convergence [Résolu]

#10 24-02-2009 13:01:01

Re : Convergence [Résolu]

Pied de page des forums