Octangle étoilé, ou stella octangula

Bernard-maths · 23-02-2025 09:12:12

Bonjour à tous !

Je me suis remis sur le tétraèdre, et ses dérivés ... voir mathcurve ...

On tombe sur la combinaison de deux tétraèdres croisés, l'octangle étoilé ! Famille des icosi-tétraèdres ...

Avec un patron possible (à droite) mais pas pratique à assembler et coller.

Avec GeoGebra j'ai fait une animation qui passe du patron à l'octangle, à télécharger ci dessous :

https://www.cjoint.com/c/OBxijCV1SIa

Pour animer plus, faire tourner la figure :

En haut à gauche, cliquer sur le triangle noir, dans la fenêtre ouverte cliquer sur le "rond", une fenêtre s'ouvre avec un curseur pour choisir le sens de rotation et la vitesse. Pour finir cliquer comme pour ouvrir ...

Bonne visualisation !

Une suite en origami ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-02-2025 13:38:27)

Bernard-maths · 23-02-2025 20:54:35

Bonsoir à tous !

Origami, oui, mais avant, comment fabriquer des icosi-tétraèdres ?

Par exemple pour l'octangle étoilé, on peut prendre un octaèdre régulier et lui ajouter, sur chacune des huit faces, un tétraèdre régulier ...

Cela revient à partager chaque face de l'octaèdre en trois triangles isocèles égaux, ayant comme sommet commun le milieu de la face. Après on tire perpendiculairement à chaque face vers l'extérieur. On arrive à un moment où tous les triangles sont alors équilatéraux ... c'est l'octangle étoilé régulier !

L'octaèdre faces en 3, point G aux 3/4 du parcourt, l'octangle, trop loin vers l'infini ...

Si on tire trop loin, ou de travers, ou vers l'intérieur, l'octangle ne sera pas régulier. Il y en a une infinité.

On peut dire qu'on a fabriqué l'octangle par stellation de l'octaèdre. Chacune des 8 faces multipliée par 3 donne 8 * 3 = 24, donc icosi-tétra.

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (24-02-2025 11:05:56)

Bernard-maths · 24-02-2025 16:00:25

Bonjour à tous !

Petite chasse aux icosi-tétraèdres ...

Nous avons vu que 24 = 8 * 3, mais aussi 24 = 6 * 4, 24 = 12 * 2 ...

Alors avec un cube, par stellation des 6 faces en 4 triangles égaux :

Le cube, faces découpées ; en cours de stellation, lorsque les triangles deviennent équilatéraux, ils deviennent coplanaires 2 par 2 en formant un losange, et on a le dodécaèdre rhombique ! En continuant on a un icosi-tétraèdre avec des triangles isocèles. Si on réunit les milieux des 6 faces au centre du cube, on a un dodécaèdre de volume nul, en creux.

Avec des pyramides :

Avec une base dodécagonale une bipyramide (mais aussi avec une antipyramide un antidiamant a dit Wiwaxia !) ; avec une base octogonale, une bipyramide séparée par 8 rectangles ...

Il y a une infinité de possibilités ... y compris en allant "de travers" !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (24-02-2025 18:13:13)

Wiwaxia · 24-02-2025 17:52:30

Bonjour Bernard-maths

Une recherche lancée sur le terme "antipyramide" n'a conduit qu'à un article de Wikipédia rédigé en allemand:

https://de-academic.com/dic.nsf/dewiki/2322255

Ne s'agirait-il pas des antidiamants

https://fr.wikipedia.org/wiki/Antidiamant
https://www.mathcurve.com/polyedres/bip … mant.shtml

qui paraissent admettre pour dénomination synonyme le mot "trapézoèdre"

https://fr.wikipedia.org/wiki/Trap%C3%A9zo%C3%A8dre ?

En tout cas, il n'y a pas de facettes rectangulaires parallèles à l'axe de symétrie.

Hormis cette remarque, les figures sont bien représentées.
Le sujet s'apparente à celui des polyèdres étoilés

https://fr.wikipedia.org/wiki/Poly%C3%A … toil%C3%A9

Dernière modification par Wiwaxia (25-02-2025 17:59:17)

Bernard-maths · 24-02-2025 18:11:20

Bonjour Wiwaxia !

Tu as raison : anti diamant !

MERCI

Dernière modification par Bernard-maths (24-02-2025 19:41:06)

Bernard-maths · 24-02-2025 19:14:14

Bonsoir à tous !

Encore un coup sur le cube :

Le cube est partagé en 8. On va garder les centres des faces fixes et déplacer les sommets. Les milieux des arêtes suivent pour avoir des quadrilatères. Le début en tirant vers l'extérieur, ou vers l'intérieur.

En dessous on atteint le cas de l'icosi-tétraèdre "trapézoïdal", déjà vu :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16845

Ensuite on passe par l'octaèdre, puis ça devient étoilé. Enfin avant de n'être plus que 3 segmets croisés.

Les quadrilatères sont des "cerfs volants" variables ...

B-m

Wiwaxia · 25-02-2025 17:53:35

Re-bonjour Bernard-maths,

Je crois que ce que tu as construit et représenté (1) est plutôt une dipyramide allongée (2) plutôt qu'un antidiamant (3), lequel ne comporte pas de faces rectangulaires.

OBzqJhMKpiZ_3-poly%C3%A8dres.png

Cela s'apparente à 3 des solides de Johnson (n° 14, 15, 16), qui résultent de l'assemblage de polygones réguliers.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Dipyramide_allong%C3%A9e
https://fr.wikipedia.org/wiki/Solide_de_Johnson

Petit détail: je n'ai pas compris la raison de l'intervention de deux préfixes différents (bi, di) ... mais tu n'y es évidemment pour rien !

Dernière modification par Wiwaxia (25-02-2025 18:08:16)

Bernard-maths · 26-02-2025 09:11:24

Bonjour Wiwaxia !

Hier très agité ... merci pour tes ajouts, très jolis.

Dans mes manips j'en ai rencontré parfois, sans avoir cherché les noms ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (26-02-2025 09:11:39)

Bernard-maths · 26-02-2025 09:32:06

Bonjour à tous !

Origami ! J'ai essayé avec des feuilles 80g, ç'est mou, ça ne tient pas bien, vu la taille de l'objet !

Je recommence doucement avec du 120g ... 36 modules à 4 min chacun, c'est 3h de pliage !

J'y reviendrai quand ce sera fini.

B-m

Bernard-maths · 26-02-2025 10:53:27

Bàt !

Donc je passe à la recherche d'une équation. Déjà vu partiellement avec GeoGebra : je mettrai des références plus tard.

On part d'un plan plié (avant j'appelai ça un plan double, mais sur Quadrature, Paul Rotaru l'appelle plan plié, j'aime bien. Il y a aussi droite pliée.)

On part d'un cube avec les centres de 2 faces (devant et haut), on dessine une découpe en 2 triangles. Ces triangles définissent 2 plans ... seuls les demis plans supérieurs suffisent : ils forment un plan plié, formé de 2 demis plans reliés par leur droite d'intersection.

Dernière modification par Bernard-maths (26-02-2025 11:52:37)

Bernard-maths · 01-03-2025 16:47:01

Bonjour à tous !

J'arrive, j'arrive, trop occupé ces jours ci, pas le temps de rédiger, et pourtant c'est fini ...

Comment mettre en équation ce plan plié ? Prenons la figure suivante :

Dans le plan (xOy), y = |x| est l'équation d'un droite pliée à 90°. Pour obtenir un autre angle d'ouverture, on multiplie par tan de (90° - angle sur 2), comme pour la suite c'est un angle α = 109.47111° qui est concerné, on a tan(90°- α/2).

On fait de même en 3D, mais on part ici sur un pli sur l'axe (x'x), donc les équations sont : z = abs(x) et z = abs(x)*tan(35.264445/180*Pi).

Ensuite, il faut incliner de 45°, translater , on a le cube entaillé des 2 triangles.

Puis dupliquer par symétries, enfin dupliquer par permutations circulaires.

Il faut tracer ... 3 façons de résultats ... le dernier est le BON.

On a un résultat brut des 12 plans pliés, sans limite. On peut limiter l'affichage aux dimensions du cube de départ, on ne voit que la partie contenant l'octangle.

Pour ne garder que l'octangle, il faut utiliser la fonction max ... en effet les équations des plans pliés partagent l'espace en 2 zones, du côté de O, et de l'autre côté. Or du côté de O on a des fonctions < 0, donc en partant de O, on remonte dans des zones < 0 vers des surfaces = 0 ... et on s'y arête.

Voilà, j'apporterai des ajoûts pour compléter certains points, posez vos questions !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (01-03-2025 20:38:48)

Bernard-maths · 02-03-2025 21:02:54

Bonsoir à tous !

Le principe du plan plié est utilisable pour tous (ou presque ?) les polyèdres étoilés.

Je regarde ce que ça donne pour d'autres donc ...

Evidemment plus il y a d'arêtes, et plus il y a d'équations de plans pliés à positionner !

Bonne nuit ( ne nuit pas ),

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (03-03-2025 13:40:06)

Bernard-maths · 08-05-2025 16:56:58

Bonjour à tous !

Voilà un bon moment que je n'ai rien dit, mais j'ai bien travaillé, et obtenu des résultats sympathiques !

Pour commencer on peut simplement modifier l'angle d'ouverture, que je note "ouv". Il a été fixé à ouv = α = 109°,47111 pour obtenir l'octangle étoilé. Mais si on le fait varier on obtient un autre polyèdre ...
Si l'angle d'ouverture diminue, ouv < α, cela augmente les pointes, on a un étoilement plus prononcé ...
Si on l'augmente ouv > α, l'étoilement diminue ...

Un cap intéressant est ouv = 180°, les faces adjacentes sont alors coplanaires, on a deux fois moins de faces, donc 24 / 2 = 12, et on obtient un dodécaèdre ... rhombique ici !

Un autre cap est ouv = 360° - α, les demis plans des plans pliés sont alors coplanaires aux faces de l'octaèdre de départ, on obtient l'octaèdre lui-même !

Et puis si ouv tend vers 360°, les demis plans se coupent de façon complexe, on obtient de résultats étranges ...

Voici quelques figures :

L'octangle, ouv = 109°... étoilement, ouv = 85° aplatissement, ouv = 150°

L'octaèdre, ouv = 360° - 109°... avec ouv = 300° avec min et ouv = 300°

Dodécaèdre rhombique , ouv = 180° dodécaèdre : ouv = 180° ET inc = 45° ! côté artistique ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (09-05-2025 09:34:28)

Bernard-maths · 09-05-2025 10:03:34

Bonjour à tous !

Je viens d'ajouter les images au post d'hier, vous pouvez constater la quantité de figures possibles, en variant seulement l'angle d'ouverture ouv. Et en jouant aussi sur l'angle d'inclinaison inc, à -30° au lieu de -45°, qui fait passer au dodécaèdre pentagonal, au lieu de rhombique ... figures 7 et 8 ...

Dans tous (?) les cas, avec 24 demis plans, on reste dans les icositétraèdres, ou parfois dodécaèdres.

Et le côté artistique ? On devine une forme générale d'octaèdre ... j'ai remplacé |x| tan() par f(x) = x cos(nx) ... n autour de 6 à 8 ...

J'ai continué sur d'autres stellations, et "fait" le cuboctaèdre, le dodécaèdre pentagonal, l'icosaèdre, et le rhombicuboctaèdre.

Si vous avez un truc qui vous trotte dans la tête, je veux bien essayer ... mais faut pas trop pousser ...

Je présenterai ces essais dans la suite.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (09-05-2025 10:05:43)

Bernard-maths · 19-05-2025 17:55:16

Bonjour à tous !

Voyons voir le cuboctaèdre ... que voici, avec sa stellation :

Voir sur Mathcurve ... Pour la stellation, il faut prolonger les faces carrées d'une part, en rouge, ce qui donne le cube rose, et les faces vertes, d'autre part, ce qui donne l'octaèdre vert clair. La stellation est alors la réunion des 8 pyramides roses (coins du cube, à base triangulaire équilatérale), et des 6 pyramides verts clairs, à base carrée !

Il faut alors calculer les bons angles des plans pliés, d'où la figure suivante :

On a ajouté 2 pyramides au cuboctaèdre, on peut ainsi mesurer γ = 125.26° qui est l'angle d'ouverture "ouv", opposé à l'angle dièdre "carré-triangle". Puis δ qui en est la moitié, et ε = 90° - δ, qui est l'angle de pivotement "piv", qui va permettre de positionner le plan plié !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (20-05-2025 08:17:16)

Bernard-maths · 21-05-2025 16:47:39

Bonjour à tous !

Nous allons suivre les étapes de construction de la stellation du cuboctaèdre.

On part d'une équation basique de plan plié : z.so - abs(z).co = 0. Avec co et so le cos et le sin liés à l'ouverture du plan plié.
Comme les triangles sont inclinés et les carrés horizontaux, il faut faire pivoter le plan plié autour de son pli, l'axe (y'y) ici, de langle piv = 27.37°. Les 2 figures du haut.
Ce qui revient à rendre le plan bissecteur du plan plié confondu avec celui du dièdre.

Ensuite il faut le tourner en azimut de 45°, puis le translater en un sommet du carré du haut. Les 2 figures du bas.

L'équation utilisée est : ((((x - x0)*sa - (y - y0)*ca)*si + (z - z0)*ci)*cp + ((x - x0)*ca + (y - y0)*sa)*sp)*co - abs(((-(x - x0)*sa + (y - y0)*ca)*si - (z - z0)*ci)*sp + ((x - x0)*ca + (y - y0)*sa)*cp)*so = 0

Avec ca et sa cos et sin de azimut azi = 45° ici ; ci et si cos et sin de l'inclinaison inc = 0° ici ; co et so pour ouv = 126.° ; cp et sp cos et sin du pivotement piv = 27.37° ici. Enfin x0, yo et zo les coordonnées (a, 0, a) avec a = 5 ici, d'un point du haut.

La 1ère étape est atteinte, on a un plan plié sur une arête supérieure du cuboctaèdre. Il reste à faire de même sur les autres ...

Le cuboctaèdre dessiné a pour centre de symétrie le point O(0, 0, 0) et pour plans de symétries les plans du repère.
On peut donc dupliquer l'équation trouvée en jouant sur les symétries plans, donc en remplaçant les variables x, y et z par leurs valeurs absolues ! (Si ça marche ...)

à suivre, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (21-05-2025 17:20:09)

Bernard-maths · 21-05-2025 17:32:55

Suite ...

On obtient l'équation : ((((abs(x) - x0)*sa - (abs(y) - y0)*ca)*si + (abs(z) - z0)*ci)*cp + ((abs(x) - x0)*ca + (abs(y) - y0)*sa)*sp)*co - abs(((-(abs(x) - x0)*sa + (abs(y) - y0)*ca)*si - (abs(z) - z0)*ci)*sp + ((abs(x) - x0)*ca + (abs(y) - y0)*sa)*cp)*so = 0

qui donne la 1ère figure : 2 chapeaux carrés. Le haut est le résultat des symétries en x et en y, le bas avec la symétrie en z.

Il manque les parties verticales ... on les obtient en faisant une permutation circulaire sur x -> y -> z -> x, une fois puis deux.
On a les 2 figures suivantes, la dernière est l'application de la fonction max à ces 3 équations ! LA STELLATION !

L'équation max est : max(((((abs(x)-x0)*sa-(abs(y)-y0)*ca)*si+(abs(z)-z0)*ci)*cp+((abs(x)-x0)*ca+(abs(y)-y0)*sa)*sp)*co-abs(((-(abs(x)-x0)*sa+(abs(y)-y0)*ca)*si-(abs(z)-z0)*ci)*sp+((abs(x)-x0)*ca+(abs(y)-y0)*sa)*cp)*so,((((abs(y)-x0)*sa-(abs(z)-y0)*ca)*si+(abs(x)-z0)*ci)*cp+((abs(y)-x0)*ca+(abs(z)-y0)*sa)*sp)*co-abs(((-(abs(y)-x0)*sa+(abs(z)-y0)*ca)*si-(abs(x)-z0)*ci)*sp+((abs(y)-x0)*ca+(abs(z)-y0)*sa)*cp)*so,((((abs(z)-x0)*sa-(abs(x)-y0)*ca)*si+(abs(y)-z0)*ci)*cp+((abs(z)-x0)*ca+(abs(x)-y0)*sa)*sp)*co-abs(((-(abs(z)-x0)*sa+(abs(x)-y0)*ca)*si-(abs(y)-z0)*ci)*sp+((abs(z)-x0)*ca+(abs(x)-y0)*sa)*cp)*so)=0,

Les variables étant : a := 5;ouv := 125.26;piv := 27.37;azi := 0;x0 := a;y0 := 0;z0 := a;alpha := (180 - ouv)/360*Pi;co := cos(alpha);so := sin(alpha);cp := cos(piv/180*Pi);sp := sin(piv/180*Pi);ci := cos(inc/180*Pi);si := sin(inc/180*Pi);ca := cos(rot/180*Pi);sa := sin(rot/180*Pi)

à suivre, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (21-05-2025 17:43:15)

cailloux · 21-05-2025 18:06:32

Bonjour,
Tiens tiens (pas tout à fait le même) ...

Dernière modification par cailloux (21-05-2025 18:07:46)

Bernard-maths · 21-05-2025 18:13:34

Bonsoir !

J'ai le même, en plus petit !

B-m

Bernard-maths · 22-05-2025 19:25:49

Bonsoir à tous !

Quelques variations sur ouv, et ...

Ouv = 80°, ça pique ... ouv = 165°, ça s'écrase ... ouv = 360° - 125.26, le cubo !

Ouv = 330° ... ouv = 330° MAIS min en place de max ... ouv = 125.26 ET inc = 45° ...

La suite avec dodécaèdre et icosaèdre ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-05-2025 07:33:08)

Bernard-maths · 06-08-2025 17:04:03

Bonjour à tous !

Pour mes 215 ans je me suis offert l'octangle étoilé sous forme d'équations de losanges pliés !

Les explications pour bientôt ...

Bernard-maths

Hum, ça traine un peu ...

Dernière modification par Bernard-maths (19-10-2025 10:38:02)

Bernard-maths · 04-12-2025 10:12:45

Bonjour à tous !

MES cogitations évoluent ... MA façon de voir la Géométrie aussi !

Je vais donc lancer une nouvelle discussion où vous serez priés de participer !

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=18153

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (05-12-2025 08:45:43)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 23-02-2025 09:12:12

Octangle étoilé, ou stella octangula

#2 23-02-2025 20:54:35

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#3 24-02-2025 16:00:25

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#4 24-02-2025 17:52:30

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#5 24-02-2025 18:11:20

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#6 24-02-2025 19:14:14

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#7 25-02-2025 17:53:35

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#8 26-02-2025 09:11:24

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#9 26-02-2025 09:32:06

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#10 26-02-2025 10:53:27

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#11 01-03-2025 16:47:01

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#12 02-03-2025 21:02:54

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#13 08-05-2025 16:56:58

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#14 09-05-2025 10:03:34

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#15 19-05-2025 17:55:16

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#16 21-05-2025 16:47:39

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#17 21-05-2025 17:32:55

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#18 21-05-2025 18:06:32

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#19 21-05-2025 18:13:34

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#20 22-05-2025 19:25:49

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#21 06-08-2025 17:04:03

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

#22 04-12-2025 10:12:45

Re : Octangle étoilé, ou stella octangula

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