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Lyonnais_de_Lyon

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Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

Bonjour,

J'aurais voulu savoir si c'était possible de trouver la ou les solutions de ce système d'équation en X et Y svp ? Et si oui, comment le résoudre svp ?

Le système est :

[tex]\left\{ \begin{matrix}
0 = a +a_1 X+a_2 Y+ a_{12} X Y + a_{11} X ^2 + a_{22} Y^2 \\
0 = a'+a'_1 X+a'_2 Y+ a'_{12}X Y+ a'_{11} X^2+a'_{22}Y^2
\end{matrix}\right.
[/tex]

Les coefficients a sont des réels. Je cherche des solutions X et Y qui soient réels.

Dernière modification par Lyonnais_de_Lyon (31-07-2025 11:59:55)

Rescassol

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Re : Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

Bonjour,

Ton système s'interprète comme l'intersection de deux coniques.
Il y a en général quatre solutions.
En théorie, il est possible de trouver des formules donnant les solutions exactes à l'aide de radicaux, mais ce doit être une horreur occupant au moins quelques centaines de lignes.
Le mieux est de chercher des solutions approchées à l'aide d'un logiciel de calcul.

Cordialement,
Rescassol

Lyonnais_de_Lyon

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Re : Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

Bonjour,

Ton système s'interprète comme l'intersection de deux coniques.
Il y a en général quatre solutions.
En théorie, il est possible de trouver des formules donnant les solutions exactes à l'aide de radicaux, mais ce doit être une horreur occupant au moins quelques centaines de lignes.
Le mieux est de chercher des solutions approchées à l'aide d'un logiciel de calcul.

Cordialement,
Rescassol

D'accord et c'est quel logiciel que je peux utiliser par exemple ?
Est-ce que c'est faisable avec Python vous pensez ? Et si oui, c'est quelle librairie qu'il faut utiliser ?

Dernière modification par Lyonnais_de_Lyon (30-07-2025 21:46:51)

bridgslam

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Re : Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

Bonsoir,

Avec deux systèmes de deux branches d'hyperboles dont les axes de symétrie sont orthogonaux, on peut avoir 8 points d' intersection sauf erreur.

Cordialement

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Rescassol

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Re : Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

Bonsoir,

Bridgslam, je demande à voir une telle figure !!

Cordialement,
Rescassol

Michel Coste

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Re : Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

Bonjour,
Bezout se retourne dans sa tombe !

bridgslam

Membre Expert

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Re : Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

Bonjour

Oui en effet ,  puis (re) mourir de chagrin ou de rire, désolé.
Sniff sniff ou hahaha il n' a que l'embarras du choix!

A+

---

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Fred

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Re : Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

Bonjour,

  Plus généralement, pour résoudre des systèmes d'équations polynomiales, il existe des méthodes
basées sur les bases de Groebner.

F.

Black Jack

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Re : Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

Bonjour,

Résoudre en littéral n'est pas facile ...

Par contre si on a des valeurs numériques pour les coefficients, on peut y arriver avec des moyens rudimentaires (ce qui ne veut pas dire que c'est immédiat)

Exemple , si on a le système :

-30 + y + 3y² + 2x + 5xy + 4x² = 0 (1)
-13 + 7y + 4y² - x - 2xy + 2x² = 0 (2)

L'éq (1) est une équation du second degré en y dont les solutions sont trouvées classiquement :

y = [-(1+5x) +/- racine((1+5x)²-12.(-30+2x+4x²))]/6

On remet cette expression de y par exemple dans (2), c'est pelant à écrire mais sans difficulté.  (on le fait 1 fois avec le + du +/- et une fois avec le du +/-)

On entre cela dans une calculette graphique et on regarde quand cela vaut 0 ...

En zoomant, on trouve 2 valeurs de x solutions (qui sont x = 1,7489... et x = 2,7858...)  (cas avec le + du +/-)

Et avec le cas le - du +/- : on trouve 2 autres valeurs de x qui sont -0,4266 et -2,7207

Avec ces 4 valeurs de x remises dans (1), on a des équations du second degré en y ... dont on trouve classiquement les valeurs solutions (dont on vérifiera la validité avec l'équation (2))

Tout cela fait, on trouve 4 couples (x,y) solutions dans l'exemple donné :

(-0,4266 ; -2,986)
(2,7858 ; -0,4916)
(-2,7207 ; -0,4206)
(1,7489 ; 1,0951)

solutions évidemment approchées.

Lyonnais_de_Lyon

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Re : Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues

@Black Jack D'accord, merci beaucoup pour ta réponse !