Calculer un "Dôme" en 3D

Ozorvals · 26-07-2025 21:09:48

Bonjour,

Dans un jeu vidéo dont le public est très majoritairement adulte (20 – 60 ans), dont l’objectif (construction…) est normalement très éloigné des maths, je voudrais pouvoir construire à volonté des dômes quelconques à partir de blocs dont la taille et la forme peuvent être définies par une ligne de commande, une rotation pouvant également leur être appliquée. Je m’appuie sur un tableur (libreoffice calc) pour créer un outil réutilisable pour calculer ces dômes, en ne remplissant à chaque fois que les cases correspondant aux principaux paramètres (rayon, nombre de segments verticaux & radiaux, épaisseur).

Comme il s’agit de 3D, on ne construit pas directement une sphère, mais une approximation polygonale de celle-ci. Dans mon cas particulier, j’ai divisé ma demi-sphère avec des méridiens et parallèles. J’ai donc dans un sens une série de (demi-) polygones réguliers (convexes) à n faces tournant autour de l’axe vertical, et une autre série de polygones réguliers à m faces empilés le long du même axe, les deux séries de polygones se croisant à leurs sommets, formant les points définissant les faces de la « sphère ». En posant le problème ainsi, j’ai pu calculer les paramètres relatifs à la forme des blocs, mais un problème majeur demeure pourtant.

Là où ça se complique, c’est que pour construire en jeu ces dômes, je dois m’appuyer obligatoirement sur un point d’accroche (faisant aussi office de centre de rotation) situé au milieu d’un « segment de parallèle ». Je construis donc sur une ellipse, non sur un cercle, et je ne peux pas contourner ce problème. J’ai donc besoin de calculer les différents angles que forment les blocs disposés le long de cette ellipse pour pouvoir le résoudre par une rotation paramétrée. Cette ellipse n’est évidemment pas quelconque, mais définie par les cercles inscrit et circonscrit au polygone à n côtés formant mes méridiens.

On se retrouve donc avec un polygone « régulier-déformé », comprimé horizontalement, coincé les cercles inscrit et circonscrit susmentionnés, « touchant » en deux points opposés chacun des deux cercles, le cercle inscrit horizontalement et le cercle circonscrit verticalement. Toutes les faces de ce nouveau polygone demeurent égales entre elles, mais les angles diffèrent désormais. Il me faut trouver un moyen de les calculer à partir de :
r → rayon du cercle circonscrit
r’ → rayon du cercle inscrit
n → nombre de face du polygone originellement régulier

Cela est au-delà de mes modestes compétences en mathématiques : j’ai choisi soigneusement mes études post-bac pour éviter les maths. Je voudrais donc avoir des conseils, et pourquoi pas une solution, sur la façon de m’y prendre pour calculer ces angles.

Merci pour votre aide

Bernard-maths · 27-07-2025 10:23:38

Bonjour !

Sans dessin la demande reste un peu floue ...

Mais je pense qu'il s'agit de construire des dômes de polygones à symétrie rotatoire d'axe vertical ...?

Il s'agirait alors de connaître les coordonnées des sommets des polygones, pour les tracer ?

Pour transmettre des dessins, utiliser zupimage.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (27-07-2025 11:03:53)

Ozorvals · 27-07-2025 15:04:45

Merci Bernard pour la réponse :)

Oui, il s’agit bien de construire des dômes de polygones à symétrie rotatoire d’axe vertical, et non je n’ai pas besoin directement de connaître les coordonnées des sommets des polygones, c’est un calcul d’angles le long d’une ellipse que j’ai à faire.

En jeu, on construit en plaçant les uns après les autres des blocs dont on détermine la position, forme et l’orientation dans l’espace. Par exemple, pour construire un arc en plein cintre, on fait basculer les un après les autres les claveaux par une rotation dont on choisit l’angle, comme suit sur ce petit GIF, censé être animé :
placement claveaux

Pour construire mon dôme, je vais procéder de manière assez similaire.

Avec ce système, dès lors que l’on souhaite construire un bâtiment complexe ni trop « cubique » ni trop libre, on passe nécessairement par un peu de géométrie généralement assez basique pour laquelle on est censé avoir tous les outils nécessaires à la fin de la 3ᵉ. Sauf que cette fois-ci, c’est plus complexe et ça dépasse mon niveau.

Pour simplifier le problème, on va oublier rapidement la 3D et raisonner dans le plan. Pour cela, j’ai repris votre figure et j’y ai mis en évidence les lignes d’intersections entre l’axe de rotation et le dôme dans deux plans différents :
– l’un, en blanc, passant par les arêtes des faces qui permet de construire une première figure en coupe qui permet de comprendre le système ;
– l’autre, en noir, passant par le milieu des faces qui permet de construire une seconde figure en coupe et qui est celui qui m’intéresse réellement.
En effet, en raison des contraintes internes au jeu, je suis obligé de m’appuyer sur ce plan-là pour construire mon dôme.

Bon, j’ai fait ce que j’ai pu avec Inkscape pour les figures. Pardonnez-moi, mais c’est inévitablement très ramassé, donc difficilement lisible. J’ai choisi de représenter un dodécaèdre, mais j’ai besoin de généraliser plus que cela, ce dodécaèdre doit pouvoir être dans les calculs n’importe quel polygone régulier convexe (du moins tous ceux dont le nombre de faces est un multiple de 2).

Si on représente le dôme en coupe dans le plan « blanc » (celui qui passe par les arêtes, on obtient la figure suivante :

En A, la figure entière, absolument pas lisible. En B, un quart de la figure, plus lisible, le reste devant être reconstruit mentalement par symétrie. Dans le détail, on a :
- En rouge, notre polygone régulier ;
- en bleu, son cercle circonscrit ;
- en vert, son cercle inscrit.

Maintenant quand on change de plan pour passer au plan « noir », on se retrouve avec la figure suivante :

En bleu, le cercle circonscrit précédent ;
en vert, le cercle inscrit précédent ;
en jaune, l’ellipse tangente à la fois au cercle inscrit au cercle circonscrit, le long de laquelle,
en orange, se répartissent les « sommets » de notre polygone, vu selon ce plan de coupe.

J’ai donc besoin de calculer les angles nommés β1’ à βn’ qui ne sont plus aussi aisément calculables à partir de l’angle α, afin de pouvoir construire ce dôme.

Merci pour l’aide et la patience, je sais que ce n’est pas simple.

Dernière modification par Ozorvals (27-07-2025 15:30:50)

Bernard-maths · 27-07-2025 20:13:07

Bonsoir Ozor !

Pas simplet mais amusant. Je n'ai pas de calcul simple en tête, mais une méthode graphique (aussi précise qu'on veut) à proposer.

Je la mets sur GeoGebra, mais il reste quelques détails à arranger !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (27-07-2025 20:27:38)

Ozorvals · 28-07-2025 20:58:37

Merci pour la suggestion Bernard, ce n'est pas idéal mais au moins ça fonctionne :)

Bernard-maths · 29-07-2025 06:57:49

Bonjour !

Voilà qui est mieux, architecturalement parlant ...

Ensuite on peut gérer une clé de voute, et aussi des morceaux plus ou moins longs ...

De même pour le tour du dôme ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (29-07-2025 07:48:20)

Bernard-maths · 29-07-2025 16:00:20

Il semble assez compliqué de gérer un dôme ellipsoïdal quelconque !

Par contre une demie sphère semble simple ...

Alors que veut Ozorvals ?

B-m

Ozorvals · 29-07-2025 18:11:42

Tout d'abord, encore merci pour votre aide Bernard.

Je souhaite bien entendu faire un dôme en forme de demi-sphère, et non de un dôme ellipsoïdal. En revanche, les contraintes internes au jeu* me contraignent, pour faire basculer les blocs les uns sur les autres, de suivre une trajectoire ellipsoïdale. C'est ce que j'ai essayé d'expliquer un peu plus tôt avec mes histoires de plan "noir", et de plan "blanc".

Par ailleurs, votre figure pourra peut-être me permettre de déduire intuitivement une formule en entrant les données (lisibles sur le graphe) dans un tableur et en traçant quelques courbes. Mathématiquement parlant ce ne sera pas joli et il n'y aura aucune démonstration mais ça pourrait marcher. Je vais essayer ça demain matin à tête reposée, je devrais avoir le temps nécessaire.

* Bon, j'avais essayé de rédiger une explication détaillée sur le pourquoi de cette contrainte interne, mais je l'ai supprimée. C'est tellement complexe à expliquer à l'écrit que ça induirait bien trop de confusion, il vaudrait mieux me croire sur parole sur ce point.

Edit : J'ai commencé à regarder ce soir, et je doute maintenant que ma méthode brouillonne m'apprenne quoi que ce soit que je ne sache déjà. L'idéal serait d'avoir une formule qui me permette de calculer ces angles à partir des paramètres de l'ellipse (demi grand-axe, demi petit-axe, excentricité...)

Dernière modification par Ozorvals (29-07-2025 19:57:53)

Bernard-maths · 30-07-2025 08:05:24

Bonjour !

Je vais éditer les angles pour un dôme sphérique ... en construisant un igloo mathématique.

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (30-07-2025 14:04:50)

Bernard-maths · 30-07-2025 15:47:07

Pour cela je construis sur une sphère (de rayon a=10) les méridiens, tous les 30°, donc 12 méridiens, et les parallèles du haut, tous les 30°, donc équateur plus 2.

Je ne trace que les parties extérieures des "blocs", qui sont des trapèzes isocèles.
Les angles à la base sont du bas en haut : 86.16° et 79.45°, et 75.52°.

J'imagine que les blocs ont une certaine épaisseur vers l'intérieur, à partir du trapèze isocèle.

Un tel bloc aura sur les côtés 2 faces verticales, comprises entre les 2 méridiens concernés.

Il aura aussi 2 faces inclinées, selon les modèles en jaunes, les inclinaisons seront de 0° et 30° en bas, de 30° et 60° au milieu, et de 60° (90°?) en haut ...

Mais le bloc du haut se réduit à un triangle isocèle.

Je ne vois pas comment aller plus loin sans indication ...

Je suis "perdu" par l'approche elliptique ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (30-07-2025 15:52:28)

Ozorvals · 31-07-2025 18:00:49

Merci beaucoup pour l'aide apportée Bernard, mais je crois que mon problème est trop complexe ou plus probablement abordé par le mauvais angle. Malheureusement, il est probable qu'il restera sans solution, on ferait mieux de s'en tenir là.

Bernard-maths · 31-07-2025 19:47:22

OK, bonne suite !

B-m

Ozorvals · 05-08-2025 15:15:28

Après quelques jours à explorer d’autres voies, souvent sans issue, j’ai enfin trouvé une solution à mon problème. Elle est brutale, peu élégante, mais elle fonctionne : J’ai calculé la position des sommets de mon polygone avec l’équation de l’ellipse dans un repère orthonormé, et de là j’ai pu déduire une formule me permettant de calculer les angles internes θ_k de mon polygone. Au final, j’arrive à la formule suivante si :
– a est le demi grand-axe de l’ellipse, b son demi petit-axe ;
– n le nombre de faces du polygone ;
– On numérote, dans le sens positif, de 0 à k les sommets P du polygone à partir du point P₀ (0 ; b) ;
– On pose : p = (k-1/2)*(2π/n) et q = (k+1/2)*(2π/n).

[tex]\widehat{\theta_k}=Arcos\left(\frac{-\left(a²\cdot cos\left(p\right)\cdot cos\left(q\right)\right)+\left(b²\cdot \:sin\left(p\right)\cdot \:sin\left(q\right)\right)}{\sqrt{a²\cdot cos²\left(p\right)+b²\cdot sin²\left(p\right)}\cdot \sqrt{a²\cdot \:cos²\left(q\right)+b²\cdot \:sin²\left(q\right)}}\right)[/tex]

Évidemment, en raison de la nature pratique du problème et de mon niveau modeste en maths, j'ai utilisé toute l'aide que je pouvais trouver sur internet, aussi bien de la documentation qu'une IA spécialisée.

Merci encore pour l'aide apportée ici Bernard.

Dernière modification par Ozorvals (05-08-2025 15:41:10)

Bernard-maths · 06-08-2025 16:56:49

Bonjour Ozorvals !

Tant mieux si tu progresses !

MAIS j'attends de voir le machin fonctionner, peut-être comprendrai-je mieux ...

B-m

Ozorvals · 06-08-2025 18:08:33

J'ai une version fonctionnelle de la feuille de calcul que je voulais finir avec cette formule, hébergée sur catupload.

Il faut garder à l'esprit que j'ai essayé de rester au plus près de la face mathématique du problème dans ce fil, et que le jeu en question (Rising World, pour ceux que ça intéresserait) a son fonctionnement propre qui impose un certain nombre de contraintes sur la façon de présenter les données. En gros, il s'agit d'une liste d'instructions avec les valeurs numériques requises pré-calculées. Un joueur n'est censé ne modifier que les quatre variables incontournables - les quatre cases vertes - et ne surtout pas toucher au reste. C'est en anglais, mais ça reste assez simple. Il reste sûrement quelques erreurs, mais l'essentiel est là.

En jeu, on peut construire le dôme. Il reste un petit écart avec une forme "parfaite" qui est due à une approximation que je fais dans les calculs avec la formule donnée quelques posts plus haut, je vais voir si je corrige ça plus tard ou si je fais avec.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 26-07-2025 21:09:48

Calculer un "Dôme" en 3D

#2 27-07-2025 10:23:38

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#3 27-07-2025 15:04:45

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#4 27-07-2025 20:13:07

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#5 28-07-2025 20:58:37

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#6 29-07-2025 06:57:49

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#7 29-07-2025 16:00:20

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#8 29-07-2025 18:11:42

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#9 30-07-2025 08:05:24

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#10 30-07-2025 15:47:07

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#11 31-07-2025 18:00:49

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#12 31-07-2025 19:47:22

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#13 05-08-2025 15:15:28

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#14 06-08-2025 16:56:49

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

#15 06-08-2025 18:08:33

Re : Calculer un "Dôme" en 3D

Réponse rapide

Pied de page des forums