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bridgslam

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Interversion de quantificateurs: encore des sommes de carrés

Bonjour,

Quelle est la différence logique entre les énoncés suivants:

1) pour tout entier naturel non nul, il existe des entiers naturels $a_1, ..., a_n $ non nuls tels que la somme de leurs carrés soit un carré.

2) il existe une suite d'entiers naturels non nuls telle que les sommes des  carrés de ses premiers  termes soient carrées.

Pensez-vous qu'une proposition soit vraie?
Si oui , la démontrer...

▼indications

Visiblement la seconde assertion implique la première.
On peut déjà tenter de vérifier 1) , moins rigide, pour laisser une chance à la 2), dont la véracité ne saute pas aux yeux...
Donc zoomons sur la première :
Une idée simple est de procéder par récurrence , en utilisant par ailleurs une égalité bien connue de la forme $a^2+b^2=c^2$ en nombres entiers.

Disons d'emblée que la seconde proposition, nettement plus forte, est vraie aussi.
Il était donc possible de s'y atteler directement, afin de prouver les deux d'un seul coup, avec une recherche néanmoins plus subtile.

La voie est libre, la broussaille ayant été un peu dégagée, du moins je l'espère.

▼une solution grossière pour la 1)

La proposition est claire pour n=1, il suffit de considérer un carré  quelconque.
Supposons ensuite que n entiers non nuls élevés au carré donnent une somme carrée s.
En multipliant ces n entiers par 3 et la racine de s par 4, la somme de ces n+1 entiers élevés au carré vaut 9s+16s=25s qui est un carré. Donc la propriété est vraie pour tout n.
Cela marche bien-sûr pour (3,4,5) comme avec les autres triplets pythagoriciens.

Mais cette transformation assez brutale ne nous rapproche guère de la seconde assertion...

▼solution de la 2)

La suite 3,4,12,84,   ...répond à la question.
En toile de fond elle se forme avec l'identité remarquable:
$N^2=( \frac {N^2+1}{2} )^2 - ( \frac {N^2-1}{2})^2$

Une fois obtenue comme somme de carrés le carré de gauche,
le terme suivant de la suite est facile à deviner

Bonne fin de semaine

Alain

Dernière modification par bridgslam (16-07-2025 08:26:01)