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Vassillia

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Geometrie projective analytique

Bonjour à toutes et tous,
Il se trouve que j'ai découvert la géométrie projective analytique sur ce site https://les-mathematiques.net/vanilla/d … agregatifs. J'y ai appris à résoudre, très rapidement, la quasi-totalité des exercices de géométrie plane en partant de presque rien (disons connaissances du secondaire et un peu d'algèbre linéaire du supérieur quand même). Comme je n'interviendrai plus sur le site d'origine, je me demandais si cela intéressait au moins une personne sur ce site pour celles et ceux qui ne connaissent pas encore.
Si oui, je vais essayer de faire plusieurs étapes avec des exercices au fur et à mesure sachant qu'il faudra assez rapidement se servir de logiciel de calcul formel (disponible gratuitement en ligne).
Ce sera tout autant intéressant pour moi de voir si j'arrive à être claire. J'aurais peut-être l'aide ou conseils de Rescassol qui en sait déjà au moins autant que moi et peut-être même aussi celle de pldx1 qui est de facto une référence dans ce domaine.
Si non, je ne vous en voudrais pas. Il suffit de ne pas répondre.

Dernière modification par Vassillia (29-06-2025 11:40:30)

Bernard-maths

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Re : Geometrie projective analytique

Bonjour à tous !

Bonjour Vassilia.

Je me suis toujours demandé comment Rescassol faisait ... Je n'ai jamais compris exactement ce qu'il se passait ...

Si d'autres veulent s'y mettre, j'essayerai de suivre, car je suis très occupé ... et plutôt lent dans mes activités.

Donc j'attends la suite ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (29-06-2025 14:41:01)

Vassillia

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Re : Geometrie projective analytique

Bonjour Bernard-maths et merci de te dévouer. Si c'est trop lent, trop rapide, trop... n'hésite pas à le faire remarquer. Pour qu'il n'y ait pas de malentendu, je ne prétends pas être spécialiste, ce que je vais présenter n'est que mon interprétation mais je te rassure quand même : je comprends Rescassol donc objectif atteignable !

Première partie
L'idée extrêmement intéressante en géométrie projective analytique, c'est que tous les objets (points, droites, coniques...) vont être en coordonnées homogènes, c'est à dire définis à un facteur multiplicatif non nul près, ce qui simplifie énormément les calculs.

Un point $P$ dans le plan avec pour coordonnées cartésiennes $(x_P,y_P)$ n'est pas égal à $(k\cdot x_P,k \cdot y_P)$ pour tout $k\neq 0$, certes, alors on va rajouter une troisième coordonnées égale à 1 et dire que
$P=\left(\begin{array}{c} x_P \\ y_P \\ 1 \end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} k \cdot x_P \\ k \cdot y_P \\ k \end{array}\right)$. Pour retrouver notre "vrai point", il suffit alors de tout diviser par la dernière coordonnée, on appellera cela la normalisation. Cette opération de normalisation est possible sauf si la dernière coordonnée est nulle, on considère alors que le point est à l'infini.

Une autre manière de voir les choses est donc de dire qu'il existe une droite $\mathcal L_{\infty}=[0,0,1]$ pour normaliser.
- si $\mathcal L_{\infty}\cdot P=0$ le point est à l'infini
- si $\mathcal L_{\infty}\cdot P=k\neq 0$ le "vrai point" est $P/k=(x_P,y_P,1)$

La droite $(AB)$ se calcule comme $A \wedge B = [y_A - y_B, -x_A + x_B, -x_By_A + x_Ay_B]$ et un point $M=\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \end{array}\right)$ appartient à cette droite ssi $(AB)\cdot M=0$. En effet, on retrouve l'équation $(y_A - y_B)x+(-x_A + x_B)y-x_By_A + x_Ay_B=0$ qui est bien de degré $1$ en $x$ et $y$ et qui s'annule au point $A$ et au point $B$. Bien sûr, tout cela reste vrai en coordonnées homogènes puisque la présence d'un facteur multiplicatif non nul ne change rien à l'équation obtenue.

De manière similaire, l'intersection de deux droites $d_1$ et $d_2$ se calcule comme $d_1 \wedge d_2$. Si les deux droites sont parallèles, ce n'est pas grave, elles s'intersectent quand même mais en un point situé sur la droite de l'infini  $\mathcal L_{\infty}$.

En cherchant l'intersection de la droite $(AB)$ avec $\mathcal L_{\infty}$, le calcul est donc $(AB) \wedge \mathcal L_{\infty} =\left(\begin{array}{c} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ 0 \end{array}\right)$. On constate qu'il s'agit d'un vecteur directeur de la droite mais attention :
- vu comme point à l'infini, ce sont des coordonnées homogènes donc à un facteur multiplicatif près
- vu comme vecteur, la norme et le sens compte, le calcul doit être impérativement fait avec des points normalisés.
$\overrightarrow{AB}=\dfrac{B}{\mathcal L_{\infty}\cdot P}-\dfrac{A}{\mathcal L_{\infty}\cdot P}$

Au final, comment vérifier que 3 points $A$, $B$, $C$ sont alignés ? $(A \wedge B)\cdot C=\det(A,B,C)=0$
Pareil pour 3 droite concourantes et si l'une d'entre elles est la droite de l'infini alors les 2 autres sont parallèles.

Pour les coordonnées barycentriques, presque rien ne change, on écrit un point en fonction de
$A =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$, $B =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ et $C =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$. Par exemple $I_C \simeq \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ est le milieu de $A$ et $B$ comme il est autant attiré par $A$ que par $B$. Pour la normalisation, il faut que la somme des coefficients soit égale à $1$ autrement dit $\mathcal L_{\infty}=[1,1,1]$

Application 1 : A partir de 4 points $A$, $B$, $C$ et $D$ en coordonnées cartésiennes
- trouver l'intersection de $(AB)$ et $(CD)$
- l'intersection de $(AB)$ avec la parallèle à $(BC)$ passant par $D$
Remarque : évidemment que tout le monde sait faire en résolvant des systèmes mais j’espère vous convaincre que c'est plus pratique, vous pouvez utiliser https://sagecell.sagemath.org/ avec A=vector([...,...,...]) où ... sont des valeurs numériques et A.cross_product(B) donne $A \wedge B$.

Application 2 : Démontrer Ceva ou Menelaus https://www.bibmath.net/dico/index.php? … elaus.html en coordonnées barycentriques

Dernière modification par Vassillia (29-06-2025 20:31:55)

Bernard-maths

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Re : Geometrie projective analytique

Merci Vassila, je regarde tranquillement !

B-m

Vassillia

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Re : Geometrie projective analytique

Je ne suis pas pressée, prends ton temps, la suite devrait être les coniques quand la première étape sera passée.
Si tu as des questions, n'hésite pas.

Rescassol

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Re : Geometrie projective analytique

Bonjour,

Je suis, et répondrai aux éventuelles questions.

Cordialement,
Rescassol

Bernard-maths

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Re : Geometrie projective analytique

Bonjour à tous !

Ah, me voilà suivi, bien.

Alors, la 1ère question qui m'est venue : est ce que ça marche aussi en 3D ?

B-m

Vassillia

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Re : Geometrie projective analytique

Oui et non,
En 3D, un point sera représenté par 4 coordonnées et si le déterminant de 4 points est nul alors ils sont coplanaires (de manière similaire à 3 points sont alignés dans le plan).
Un droite sera malheureusement une matrice 4x4 qui ne contient que 6 coefficients différents donc représentable par ses 6 coefficients.
Mais je ne m'en suis jamais vraiment servi en 3D alors j'ai tendance à te conseiller de commencer par la 2D.
D'ailleurs as-tu réussi les applications que j'ai proposées ? Si oui, cela intéressa peut-être d'autres lecteurs et lectrices.

Dernière modification par Vassillia (01-07-2025 07:53:51)

Bernard-maths

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Re : Geometrie projective analytique

Bonjour à tous !

Je suis désolé, je n'a pas le temps nécessaire pour continuer dans cette activté ...
Merci de me l'avoir proposée !

Bernard-maths