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bridgslam

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Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour,

Montrer que tout entier relatif s'obtient en ajoutant ou retranchant (au choix) exactement 1 fois  m premiers carrés parfaits successifs ( en partant de 1).
Exemple: $7 = -1^2 +2^2 -3^2 -4^2 +5^2 +6^2 - 7^2 - 8^2 + 9^2$.

▼indice

On pourra s'aider d'un polynôme sur $\mathbb{Z}$ constant, combinaison linéaire (avec des coefficients respectant le problème ) de polynômes de degré 2.

▼précision

Je précise qu'aucune décomposition n'est unique, et pire admet une infinité de possibilités...
Ce fait peut aussi aider à se "mettre en selle"!
Sur un âne ou un pur-sang? Même pas peur :-)...

Bonne chance

Dernière modification par bridgslam (24-06-2025 08:28:02)

Ernst

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Surprenant !

Ce qu’il y a de bien quand on me demande de démontrer, c’est que cela me dit que c’est possible, par conséquent je le tiens pour acquis. Donc là, c’est une propriété tout à fait étonnante, je garde. :-)

Ceci dit, comment a-t-on pu déterminer qu’une sommation des premiers carrés pouvait donner n’importe quel entier, mystère…

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonsoir,

Mystère j'avoue sur cette question en particulier.

Parfois certaines propriétés sont pressenties dans un cadre d'étude  relié à un sujet connexe théorique plus général.
On en est quitte dans un second temps pour conjecturer puis tenter de prouver de plus petits résultats, permettant à plus long terme de revenir sur le sujet principal.
Un jour viendra peut-être où on ne comptera plus les centimes dans les banques ou chez l'épicier  et on paiera sans doute avec des pièces ... carrées :-) et pas rondes.

La preuve par-contre est facile si on tombe sur l'idée à la base de mon indice.
Si je la précise un peu plus, c'est enfantin.
En mode caché, je livrerai le pot aux roses bien-sûr dans quelques jours.
Que ce soit pour Cauchy-Schwarz, pour la puissance d'un point par rapport à un cercle etc, ... et euh... ici, les trinômes fournissent des preuves élégantes, rapides et naturelles.

Bon courage

Alain

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonsoir,

J'ajoute pour rassurer les gens intéressés (et éventuellement un peu déconcertés) que je fournirai un mini supplément d'aide ( notamment en précisant progressivement l'idée) chaque jour jusqu'à la réponse ( le tout en mode caché).

Bonne soirée
A.

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour,

Comme mentionné hier , je donne sous forme de compte à rebours des indications supplémentaires.

▼J-5

On s'intéresse à une égalité entre entiers qui présente deux particularités:

- consécutivité ( jamais de trous) dans l'expression en carrés
- la structure même est indépendante de l'entier auquel on s'intéresse

Ces deux aspects conduisent à introduire un paramètre x, des expressions en carrés fonctions de x ( dans l'idéal consécutives lorsque les expressions sont entières), et dont une combinaison linéaire adaptée au problème stabilise le-dit problème.
Tous les ingrédients sont là.
On verra à J-4 (demain) ce qu'on peut imaginer comme "stabilisation". Une sorte de remise à zéro du compteur?

A+
Alain

Ernst

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour,

Je suis en train de m’amuser avec ces décompositions. Pour mieux comprendre ce qui se passe j’ai fait > un crible < façon Eratosthène. L’idée est de voir quels sont les nombres accessibles à une décomposition en $m$ carrés consécutifs. Avec $m = 1$ il n’y en a qu’un seul (je néglige la symétrie histoire de rester positif ;-), avec $m = 2$ il n’y a que 3 et 5, avec $m = 3$ on obtient 4, 6, 12 et 14, etc. Le crible permet également de visualiser une plage, par exemple toutes les décompositions comprenant de un à huit termes, ce qui permet de constater que 25 n’est toujours pas atteint. Il lui faut neuf termes et on peut alors en afficher une décomposition si on le souhaite : 25 = +1² -2² +3² -4² -5² -6² -7² +8² +9².

Pour établir le crible le programme calcule les $2^{m}$ combinaisons pour un $m$ donné, ce qui devient vite monstrueux. Comme les processeurs peuvent aujourd’hui être multicœurs, j’ai ajouté le nombre de ‘workers’ souhaités, par exemple huit dans mon cas, ce qui accélère grandement les calculs quand on veut explorer $m>20$. On s’aperçoit qu’il existe toujours un premier nombre non décomposable dans la plage donnée (normal) et que celui-ci n’est finalement pas très grand...

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour ,

m  = 6 commun à 7 et 9, on tombe à m=2 commun à 3 et 5 en utilisant ton crible...
Ces résultats, même limités, peuvent permettre déjà de se forger une idée de ce qui se passe.
Merci pour ton intérêt sur le sujet, surprenant peut-être de prime abord, et ton joli crible.

Mais quid de l'entier 0 dans ton crible?
On ajoute ou soustrait des valeurs non nulles, son cas mérite de l'attention je pense...

Cordialement
Alain

Dernière modification par bridgslam (24-06-2025 16:26:15)

Ernst

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Amis des casse-têtes, bonsoir.

Merci pour ton intérêt sur le sujet, surprenant peut-être de prime abord, et ton joli crible.

Au départ c’était une curiosité à titre personnel, mais j’ai mis en ligne en me disant que cela pouvait en intéresser d’autres.

Mais quid de l'entier 0 dans ton crible?
On ajoute ou soustrait des valeurs non nulles, son cas mérite de l'attention je pense...

C'est vrai. Comme je me suis aussi amusé à faire un programme de > décomposition < pour n’importe quel entier positif (pour les négatifs suffit de changer les signes) on peut s'en servir pour explorer le zéro.

Bref, ton casse-tête hors de ma portée sur le plan théorique m’a quand même bien cassé la tête sur le plan pratique, c'est cool.

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour,

▼J-4

Le carré d'un entier augmente plus vite que cet entier, et ce, d'autant plus qu'on est sur des grandes valeurs.
D'une manière ou d'une autre, le fait d'introduire des coefficients négatifs dans les sommes doit juguler leur augmentation.

On peut se demander logiquement si des tronçons particuliers
(i.e. des blocs précis) permettraient de rester en deçà d'une certaine valeur, donc d'être bornés, et cela  indépendamment de leur hauteur ( point essentiel).
Et pourquoi pas espérer même encore plus simple?

On verra à J-3 que nos espoirs deviennent une réalité à moindres frais.

A J-5 , fin de l'époque médiévale, on pensait guerroyer sur un fier destrier pour gagner le trophée...( j'ai oublié Sancho Pansa)
A J-4 on est vers les années 1900, on peut délaisser le pur-sang pour essayer l'automobile et on a même eu l'idée des tours de manivelle ( manœuvre par nature cyclique  qui pratiquement donne l'impression fallacieuse de tourner en rond, mais fera toute la différence ici).
On est fin près pour prendre le volant et admirer de splendides paysages...

A.

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour,

Chacun est libre de suivre le calendrier, car chaque jour suffit à sa peine.
J'accélère le timing afin d'essayer de rester homogène dans mes propos, et de pouvoir gérer des questions bien terre à terre: de gros travaux de fosse sceptique dès aujourd'hui!

▼ J-3

Il faut se demander si des blocs de carrés consécutifs, indépendamment de leur hauteur , pourraient  par hasard ne jamais dépasser une valeur k fixe.

▼J-2

Pour formaliser  on introduit donc x , pouvant être quelconque , on cherche concrètement si des sommes ou différences de carrés de trinômes "consécutifs" pouvaient être majorés par k...
Voire être constantes, sait-on jamais.
On peut donc tâtonner avec des k et des trinômes comme $x^2, (x+1)^2, ....$ en quantité finie bien-sûr,

▼J-1

Avec k=4 et des tronçons de 4 trinômes "consécutifs", c'est le miracle: on a même des blocs de longueur fixe, dont une combinaison linéaire idoine vaut k pour tout x.

▼J

Que vaut $x^2 - (x+1)^2 - (x+2)^2 + (x+3)^2$ ?
En déduire la propriété, en remarquant qu'elle consiste à ne vérifier que quelques cas.

Bonne journée
A.

Michel Coste

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour,
De quoi doute la fosse sceptique ? ;)

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour Michel,

Bien vu ,  "septique" bien-sûr, mea culpa  ( même si on n'en a généralement pas besoin de sept ...).
Un scepticisme par-contre sur son effondrement proche qui se réduit à 0 pour ses bénéficiaires.
Sceptre, trône ( eh oui) , septique, le vocabulaire français permet de bonnes boutades à quelques lettres près.
En tous cas après 28 ans de bons et loyaux services, opter pour du pvc au lieu du ciment est un bon pari...

Alain

Ginger40

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour !

Assez marrant comme propriété donc j'ai essayé de m'y coller !
J'avoue que j'ai eu du mal à comprendre les premiers indices, donc j'ai un tout petit peu tricher pour aller jusqu'à J-2 où là ça m'a bien éclairé.

En spoiler mes raisonnements :

▼Texte caché

Déjà il y a globalement $2$ moyens de raisonner : soit montrer par un théorème d'existence (TVI, existence d'une racine, etc.) soit trouver un algo. Le premier paraît assez compliqué dans notre cas étant donné le caractère discret et la grande liberté des paramètres (choix sur le nombre d'entiers à prendre puis sur les signes).
De plus, les indices de @bridgslam ont l'air de conforter l'idée d'un algo (les conseils orientent d'avantage sur comment la somme des entiers consécutifs est structurée afin de l'analyser et voir ce qui en découle).

Au final, avec l'indice J-2 il faut comprendre qu'un petit miracle va se produire en trafiquant un peu la somme des $k^2, (k+1)^2, (k+2)^2, (k+3)^2$. En fait :
\begin{gather}
k^2 = k^2 \\
(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 \\
(k+2)^2 = k^2 + 4k + 4 \\
(k+3)^2 = k^2 + 6k + 9
\end{gather}
Donc en faisant L1 + L4 - L2 - L3 on obtient $\forall k \in\mathbb{R}$
$$
k^2 - (k+1)^2 - (k+2) ^2 + (k+3)^3 = 4,
$$
et on utilisera surtout cette formule pour $k$ entier.
Grâce à cela, on peut atteindre n'importe quel entier positif divisible par $4$. Il n'y a en effet aucun critère sur $k$, on peut donc obtenir n'importe quel nombre $4q$, $q\in\mathbb{N}$ en répétant $q$ fois la somme donnant $4$, en partant de $k=1$.

Afin de finir le travaille, il ne reste plus qu'à exprimer $0$, $1$, $2$ et $3$ avec des carrés consécutifs et le tour sera joué.

\begin{gather}
0 = 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2 -5^2 + 6^2 + 7^2 - 8^2 \\
1 = 1^2 \\
2 = -1^2 -2^2 -3^2 + 4^2 \\
3 = -1^2 + 2^2
\end{gather}

Pour écrire n'importe quel nombre $n\in\mathbb{N}$ sous la forme demandée, il suffit de faire sa division euclidienne par $4$.
Le reste $r\in\{0,1,2,3\}$ s'exprime avec les formules ci-dessus, et le quotient $4q$ en répétant $q$ fois la formule donnant $4$, en partant de l'entier $k$ qui se trouve juste après le dernier entier de la décomposition de $r$.

Merci pour le casse-tête @bridgslam !
Ginger

Dernière modification par Ginger40 (26-06-2025 16:08:04)

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour ,

De rien, avec plaisir.
Les congruences modulo 4 représentent en filigrane les tours de manivelle que j'ai évoqués dans ma blague des années folles.
La non unicité des décompositions était claire vu que 4 + (-4) dans cet ordre est égal à ( -4 )+4 , et par ailleurs l'infinité est claire aussi en ajoutant 0 ( sous l'une ou l'autre forme) autant qu'on veut à toute décomposition.
Imposer des décompositions à nombre de termes minimum n'implique pas l'unicité.
Chercher les entiers dont les décompositions minimum sont uniques est une bonne question ( que je n'ai pas creusée)...

Les travaux pour pouvoir trôner en toute sérénité sont en train de s'achever et on n'a pas perdu tous les plants non plus ,  ceux-là même qui auraient pu nous servir de linceul floral "automatique". Royal!

Bonne fin de journée

Alain

Dernière modification par bridgslam (26-06-2025 19:06:31)

yoshi

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour Ginger40,

La dernière ligne de calcul proposée dans ton spoiler m'a choqué :
j'y ai vu  $0 = ... = 1$ !
J'ai donc vérifié le texte-source de ton message.
J'en ai été rassuré parce que j'ai conclu que donc le $1=1^2$ aurait dû constituer une ligne à part entière.
Dans ce cas, tu as raté un retour à la ligne (i.e. \\) dans ton code Latex...

Je te laisse le plaisir de rectifier le tir.

@+

Ginger40

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

@Yoshi,

Effectivement, ça pique les yeux ! Merci pour la remarque, j'ai rajouté le passage à la ligne

Ginger

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

Bonjour,

Une petite annexe ( minime ) au sujet initial.
Appelons "entier étroit (resp. large)"  tout entier relatif dont la décomposition signée en somme de carrés comportant un minimum de termes soit unique ( resp. multiple ).
Montrer que ces propriétés sont stables par passage à l'opposé.

Par exemple, pour cette terminologie,  8,9 sont larges, 1 est étroit.

▼pas dur

Comme une décomposition possible  de longueur m pour un entier n induit une décomposition possible de même longueur m pour son opposé -n, la longueur minimum de décomposition  pour chacun est majorée par la longueur de décomposition minimum  de l'autre , donc sont égales.
Ainsi n large est équivalent à -n large ( et idem pour étroit qui est la propriété contraire), vu l'injectivité du passage aux signes contraires sur les m-uplets de signes.

O est large.
Des entiers consécutifs larges existent, et 1 est étroit, les entiers larges ne forment donc pas un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.

Amusant, même si l'intérêt n'est pas phénoménal...

Alain

Dernière modification par bridgslam (27-06-2025 08:39:54)

bridgslam

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Re : Une décomposition à base des premiers carrés

bonjour,

En appelant longueur le plus petit m dans la décomposition (unique ou non ) on a la propriété :
" deux entiers de même longueur ont même parité " .
Pas dur non plus...

Ainsi en classant par longueur, jusqu'à n = 15 (on ne prend que les n positifs ou nul, le signe ne jouant pas )

L   :  n
-------------------------
1   :   1
2   :   3, 5
3   :   4, 6, 12, 14
4   :   2, 10,...
5   :   13, 15,...
6   :   7, 9, 11,...
7   :   0, 8, ...

En rouge sont les entiers larges...
Sans calculs, on peut donc dire que 100 n'est ni de longueur 1 (clair), ni 2, ni 5, ni 6 ( en fait L(100) =7 ).
L'application n -> L(n) est-elle surjective ?  quel est le plus petit n (s'il existe) tel que L(n) = 8?
En mouillant un peu  le maillot, la longueur 7 semble ne concerner que des entiers larges. Est-ce le cas ?

▼réponses

Le plus petit antécédent de 8 par L est 44 (sauf erreur).
En tout cas L est bien surjective (on aurait pu avoir un doute avant de trouver 44...):
La (vraie) somme des m premiers carrés donne forcément un nombre étroit de longueur L = m puisque
cette somme est la plus grande de cette longueur.
La surjectivité est donc assurée.
On voit aussi que les antécédents de longueur L donnée sont en nombre fini,
le plus grand étant $\Sigma_{i=1}^L i^2$
Par exemple dans le tableau ci-dessus, la rubrique L=3 est pleine.
L'ensemble de entiers étroits contient toutes les sommes vraies des premiers carrés.

L(24) = 7 et 24 est étroit (contre-exemple).

Bon dimanche
Alain

Dernière modification par bridgslam (29-06-2025 15:44:18)