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jelobreuil

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Un alignement classique

Bonsoir à tous,
Je vous propose le petit exercice consistant à montrer que dans un triangle ABC, le centre de gravité G appartient au segment qui part du pied d'une hauteur et qui aboutit au point symétrique du sommet origine de cette hauteur (A par exemple) par rapport à la médiatrice du côté opposé à ce sommet (donc, de BC si ledit sommet est le point A).
Bien amicalement, JLB

Rescassol

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Re : Un alignement classique

Bonjour,

% Jelobreuil - 14 Juin 2025 - Un alignement classique

clear all, clc

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

G=[1; 1; 1]; A1=[0; Sc; Sb]; MedBC=[c^2-b^2, -a^2, a^2];
A2=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(A,MedBC,a,b,c));
% On trouve A2=[a^2; c^2-b^2; b^2-c^2];
Nul=Factor(det([G A1 A2])) % Nul=0 et c'est gagné
 

Cordialement,
Rescassol

jelobreuil

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Re : Un alignement classique

Merci Rescassol !

bridgslam

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Re : Un alignement classique

Bonjour,

Si on note P la projection orthogonale de G sur la hauteur AA1,
Le vecteur PG est colinéaire à A1A' et donc par construction au vecteur AA2 dont la norme est deux fois celle de A1A'
En norme PG est 2/3 de celle de A1A', donc 1/3 de celle de AA2.
Vu le parallélisme des segments concernés, G appartient au segment A1A2, car A1P est en norme le tiers de A1A.

En somme on utilise Thalès ou  sa réciproque et quelques rapports entre diverses normes.
Les proportions 1/3 ( ou 2/3 ) sur une médiane ou en projection vis à vis d'un côté avec Thalès sont classiques pour G ( ou preuve en 1 ligne  immédiate).

Alain

Dernière modification par bridgslam (15-06-2025 10:02:04)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

jelobreuil

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Re : Un alignement classique

Merci, Alain, de t'être intéressé à cette petite chose !
Bien cordialement, Jean-Louis B.

bridgslam

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Re : Un alignement classique

Bonsoir,

De rien  avec plaisir.

A.

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