Forum de mathématiques - Bibm@th.net

DrStone

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Bonjour Borassus.

Je crois que je vais introduire cette distinction dans mes cours, et notamment dans l'ouvrage sur lequel je travaille actuellement.

Cela ne sera sans doute pas facile, tant l'appellation "fonction" est systématiquement utilisée !

Remplacer donc
     « Soit la fonction $f$ définie sur tel intervalle par $f(x) = \cdots$ »
par
     « Soit l'application $f$ définie sur tel intervalle par $f(x) = \cdots$ »

Ou écrire « Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \cdots$ », sans indiquer son domaine de calculabilité.

« la fonction carré » est une appellation inexacte car tout nombre, réel ou complexe, possède un carré.
Il s'agit donc d'une application.

« la fonction inverse » est une appellation juste car tout nombre n'a pas forcément un inverse. Il s'agit donc bien d'une fonction.

Si tu ne définis pas correctement en amont ce que sont fonctions et applications (et donc aussi ce que sont des relations, et donc aussi…) je crains fort que tu ne fasses qu'embrouiller tes élèves qui risquent de se dire, comme tu l'as fait envers moi il y a deux jours — sur une distinction pourtant déjà hautement plus importante : la différence entre les fonctions et les fonctions numériques —, que tu es un tantinet casse noisettes avec ton charabia dont ils ne percevront aucunement l'utilité.

C'est d'autant plus vrai si, comme le dit Michel Coste, cette distinction n'a plus lieu y compris dans le supérieur. Tu risques alors d'introduire une notion fortement "élitiste" n'ayant aucune résonance dans la pratique.

Je me permets bien sûr de faire cette distinction ici, car, encore une fois, nous sommes des "pros" et les 2000 vues sont très certainement composées d'étudiants des universités et prépas qui nous lisent. En tout cas ce sont bien les seuls qui auraient quelconque intérêt à suivre nos pérégrinations.
Collégiens et lycéens se contentant très probablement de poser leur question et partir dès qu'ils ont leur réponse sans même s'attarder sur le forum.

Pour autant, à nouveau, je ne préconise aucunement d'introduire ça dans l'enseignement secondaire sans une certaine forme de préparation préalable (voire d'introduire ça tout court).

Dernière modification par DrStone (16-05-2025 13:46:50)

Eust_4che

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Bonjour à tous et à toutes,

Je suis de l'avis de Dr Stone. Il n'y pas d'intérêt à faire une distinction entre une fonction et une application. Si vraiment, pour une raison ou pour une autre, on manipule des fonctions qui ne "sont pas partout définies", autant raisonner directement à l'aide du graphe (fonctionnelle) de la fonction. Ça explique pourquoi on ne fait pas la distinction en pratique.

La formulation "Trouver le domaine de définition de la fonction ..." n'a vraiment de sens. C'est juste une façon d'introduire un exercice différent (trouver les $0$ d'un polynôme, déterminer l'ensemble des $x$ tels que $f(x) \geq 0$, etc.) On ne la retrouve plus par la suite, et c'est tant mieux.

Les compétences attendues d'un Lycéen et collégien sont surtout des "savoir-faire". Le cours n'est finalement là que pour comprendre l'énoncé d'un exercice, sans plus. Pas la peine d'employer un jargon sophistiqué ou de faire des différences qui n'ont pas lieu d'être. Face à la consigne "Trouver le domaine de définition de la fonction ...", il faut seulement que l'élève comprenne ce qu'on lui demande. Et une rédaction "Tout revient à déterminer... " fait amplement l'affaire pour introduire la réponse. Plus vraiment question de fonction.

Borassus

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Bonsoir, ou bonjour,

Avant de partir en cours — deux heures et demie avec un élève de Terminale — je n'ai pas résisté à l'envie d'ajouter une note soigneusement rédigée à propos de la distinction entre fonction et application.

A mon retour, je me suis rendu compte qu'elle n'a pas forcément sa place dans mon opus traitant de la dérivation. Je l'ai donc mise de côté et la réutiliserai peut-être à un autre moment, typiquement dans l'opus traitant, justement, des... fonctions.

je crains fort que tu ne fasses qu'embrouiller tes élèves qui risquent de se dire [...] que tu es un tantinet casse noisettes avec ton charabia dont ils ne percevront aucunement l'utilité.

Il ne me semble pas que j'embrouille mes élèves — ils me le diraient —, bien que j'explique mes cours de façon TELLEMENT différente de ce qu'ils voient avec leur prof.
(Je leur demande régulièrement si je ne les gêne pas par mes explications en opposition frontale avec leurs cours. Ils me répondent à chaque fois que je leur fournis une compréhension complémentaire qu'ils apprécient.)

Par ailleurs, si j'étais si "casse-noisettes", les familles ne me renouvèleraient pas leur confiance sur plusieurs années consécutives — même élève, ou aîné(e) puis petit frère ou petite sœur.

Enfin, "cher" Doc, je te saurai gré de ne pas m'enseigner mon métier, que je pratique depuis treize années scolaires, souvent sept jours sur sept, et que tu ne pratiques pas. Je pense en effet être en droit d'estimer pouvoir être "seul maître à bord".  :-)

Bonne fin de soirée à tous, et bon week-end.

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Borassus

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Bonsoir Eust_4che,

Le cours n'est finalement là que pour comprendre l'énoncé d'un exercice, sans plus.

Malheureusement...

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DrStone

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Bonsoir.

À quel moment ai-je écrit que tu embrouillais tes élèves ? Après relecture assidue, il me semble que je ne l'ai présentement pas écrit.

Enfin, "cher" Borassus. Il semblerait que je ne sois pas le seul à considérer que ce serait une mauvaise chose. Eust_4che étant, je cite, «de mon avis».
Il faut dire qu'il n'y a pas besoin d'être prof depuis treize ans pour se rendre compte qu'instaurer ces distinctions au pied levé n'est pas une bonne idée.

Bonne soirée et bon weekend néanmoins.

Dernière modification par DrStone (16-05-2025 23:40:35)

Borassus

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

C'est d'autant plus vrai si, comme le dit Michel Coste, cette distinction n'a plus lieu y compris dans le supérieur.

Ah bon ?
Il y a à peine quatre et trois ans, j'expliquais cette distinction à deux frères successivement en Première année de Prépa, non pas parce que je voulais introduire une notion fortement élitiste, mais tout simplement parce qu'ils voyaient les deux notions en cours, et qu'ils ne les comprenaient pas véritablement.

C'est précisément à ce moment que j'ai appris à expliquer qu'il y a fonction lorsque le domaine de définition n'est pas précisé, et qu'il y a application s'il est précisé. Plus précisément, si est utilisée l'écriture « Pour toute valeur de la variable appartenant à tel domaine ».

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DrStone

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Il y a à peine quatre et trois ans, j'expliquais cette distinction à deux frères successivement en Première année de Prépa, non pas parce que je voulais introduire une notion fortement élitiste, mais tout simplement parce qu'ils voyaient les deux notions en cours, et qu'ils ne les comprenaient pas véritablement.

"Cher" Borassus, tu penses bien que lorsque j'évoque une distinction ou une notion «élitiste» alors même que je prétends, dans le même temps, la faire ici pour nous autres "pros" ainsi que les étudiants du supérieur, je le fais concernant les élèves du secondaire…

C'est d'autant plus vrai si, comme le dit Michel Coste, cette distinction n'a plus lieu y compris dans le supérieur.

Ah bon ?

C'est en tout cas ce que je comprends des présents posts, cités ci-dessous, de ce dernier :

Je n'ai pas d'expérience sur ce qui se dit / s'écrit dans l'enseignement secondaire, mais pour sûr "$x\mapsto \sqrt x$ est une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$" ne passe plus de nos jours dans l'enseignement supérieur.

Aucun souci puisque application = fonction selon l'usage actuel (et l'usage actuel tend à privilégier "fonction" quand l'ensemble d'arrivée est $\mathbb R$, ou $\mathbb C$).

Borassus

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Bonjour à tous, bonjour Doc,

La nuit portant conseil, je crois que je vais finalement me ranger à vos avis : la distinction fonction vs application ne semble pas vraiment apporter une consolidation de la logique de compréhension.

Je vais néanmoins la tester à l'occasion. (Je teste systématiquement mes nombreuses et permanentes évolutions explicatives, et il est rare que je fasse un bide.)

Bonne première journée de week-end.

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Borassus

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

« Je vais néanmoins la tester à l'occasion. »

Ne serait-ce que pour indiquer que la distinction a fait l'objet d'un débat notable sur Bibmath. (Mes élèves savent que j'y suis Borassus. :-)

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DrStone

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Bonsoir tout le monde. Bonsoir Borassus.

As-tu finalement eu l'occasion de tester l'introduction de cette distinction fonction/application ? Si oui, qu'est-ce que cela a donné ?

En vous souhaitant à tous une agréable semaine. :=)

Borassus

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Re : Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Bonsoir (ou bonjour) Doc, bonsoir (ou bonjour) tout le monde,

Je n'ai pris connaissance de ton message que tout récemment. (J'ai été pas mal absent sur le forum ces jours-ci.)

Dont acte :
J'ai expliqué cette distinction à mon élève de quatrième fétiche, ainsi qu'à un élève de Terminale ce matin.
Tous deux ont trouvé que la distinction est très simple à comprendre.

J'ai aussi expliqué que si on demande à GeoGebra de tracer la courbe $y = \sqrt x$, comme il place par défaut le repère au centre de la fenêtre, on voit le tracé de la fonction définie par $f(x) = \sqrt x$.
Mais si ensuite on décale le repère vers la gauche de façon à ce que l'axe des ordonnées touche le bord gauche de la fenêtre, on voit le tracé de l'application $f(x) = \sqrt x$.

Dernière modification par Borassus (12-06-2025 22:12:38)

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