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Saitoh

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Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Bonjour,

Je suis tombé sur une question dont je ne comprends ni l'énoncé, ni la solution.

Dessiner un ouvert connexe U c C* contenant -1 et 1 sur lequel on puisse définir une branche du logarithme l: U-> C telle que l(1) = 2i*pi et l(-1) = i*pi

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur cet énoncé ?
Je ne comprends même pas ce qu'on entend par "branche de logarithme telle que l(1)=2i*pi et l(-1) = i*pi"

Cordialement

Paco del Rey

Invité

Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Bonjour.

Tu peux choisir \( U = \mathbb C \backslash \mathbb R_+ \).

Paco.

Michel Coste

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Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Bonjour,

La réponse précédente ne va pas puisque 1 appartient à [tex]\mathbb R_+[/tex].

Tu sais, j'espère, que le logarithme complexe est déterminé à un multiple de [tex]2i\pi[/tex] près.
On ne peut pas avoir une détermination continue du logarithme sur [tex]\mathbb C^*[/tex] tout entier. Pour avoir une détermination continue, on retire généralement du plan de la variable complexe une demi-droite issue de l'origine ; de cette façon on a un ouvert simplement connexe, et on obtient une détermination continue du logarithme sur cet ouvert simplement connexe en fixant cette détermination en un point de l'ouvert.
Le problème est ici : comment peut-on choisir cette demi-droite ?

Une petite remarque : le logarithme d'un nombre complexe de module 1 est [tex]i[/tex] fois son argument (déterminé, comme on sait, à un multiple de [tex]2\pi[/tex] près). Ici on impose l'argument [tex]\pi[/tex] pour [tex]-1[/tex] et l'argument [tex]2\pi[/tex] pour [tex]1[/tex]. Dans quelle zone faut-il couper le cercle unité pour avoir une détermination continue de l'argument qui satisfait ça ?

Paco del Rey

Invité

Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Oups !

Je voulais dire : $U = \mathbb C \backslash i\mathbb R_+$.

Paco.

Michel Coste

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Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Cette réponse est-elle "éclairante" ?

Michel Coste

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Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

On n'est pas obligé de retirer une demi-droite. On peut aussi, par exemple, retirer la spirale [tex]\rho=\theta[/tex] pour [tex]\rho\in [0,+\infty[[/tex].

Saitoh

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Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Cette réponse est-elle "éclairante" ?

Bonjour,

Désolé pour la réponse tardive, mais oui, vos réponses m'ont aidé.

Je vous en remercie, et vous souhaite une très bonne journée!

Saitoh

Membre

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Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Hum...
Excusez-moi, je reviens sur ce que j'ai dit.

En tombant sur une correction d'un exercice similaire, il y a toujours quelque chose que je ne comprends pas.

Pourquoi la deuxième figure ne convient-elle pas ?
La rotation doit-elle se faire par rapport à l'origine, ou alors je manque encore d'un élément de compréhension ?

[EDIT @yoshi - Modérateur -]
Tous mes essais de correctif de l'adresse ci-dessus se sont révélés infructueux...
Or, j'ai vu cet avertissement  sur l'hébergeur noelshack :

À partir du 21/11/2019, Noelshack sera dédié exclusivement à l'hébergement d'images pour une utilisation sur jeuxvideo.com. En conséquence, l'ensemble des images qui ne sont pas utilisées sur jeuxvideo.com seront supprimées de Noelshack.

Est-ce pourquoi je n'ai pu accéder à la page citée (annoncée comme introuvable ou n'existant plus) ?
Si cette page est pourtant bien visible, je serais très intéressé de savoir comment : ça manque à ma culture et ça me contrarie ;-(

Dernière modification par yoshi (29-05-2025 14:27:07)

Michel Coste

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Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Effectivement, la détermination du logarithme est essentiellement la détermination de l'argument (la partie imaginaire du logarithme), et donc on compte les tours autour de l'origine.
Dans la figure de gauche, quand on va de 1 à -1 à l'intérieur de la région dessinée, on fait un tour et demi dans le sens des aiguilles d'une montre, donc l'argument baisse de [tex]3\pi[/tex], de [tex]2\pi[/tex] à [tex]-\pi[/tex]. Tandis que dans la figure de droite, on ne fait qu'un demi-tour et l'argument baisse de [tex]\pi[/tex].

Saitoh

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Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Super, tout s'éclaircit, encore merci !

Dernière modification par yoshi (29-05-2025 14:09:22)

Michel Coste

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Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Avec plaisir.

LOHORE

Invité

Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

BONJOUR
j aimerais  s il vous plait que vous m aidiez à déterminer les expressions des determination continue sur C\R+
C\iR+  et C\{x+ix/ x est positif}

Michel Coste

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Re : Branche du logarithme sur un ouvert connexe

Bonjour,

Sur chacun de ces ouverts, il n'y a pas unicité de la détermination continue du logarithme. Il y a unicité si on impose par exemple que le logarithme de $-1$ est $i\pi$.
Comme expliqué plus haut, la détermination du logarithme est le choix de l'argument. Tu peux dessiner les plans privés des demi-droites, et voir dans chaque cas entre quoi et quoi varie l'argument dans le complémentaire de la demi-droite, si on impose que l'argument de $-1$ est $\pi$.