Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

Michel Coste · 15-05-2025 13:19:27

Quel problème avec les fonctions rationnelles ? $x\mapsto \dfrac1x$ n'est pas une fonction de $\mathbb R^*$ dans $\mathbb R$ ?
En quoi Bourbaki se serait-il planté ? On y trouve une définition de "fonction" qui me convient parfaitement. Pas à toi ?

Bernard-maths · 15-05-2025 14:44:42

Re !

Il y a parfois un certain "flou" dans le vocabulaire ...

Sur Wikpedia, je trouve un bon consensus :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ … 9matiques)

B-m

Michel Coste · 15-05-2025 15:10:48

Mouais ... Cette page wikipedia maintient un flou artistique sur la notion de fonction. La page wikipedia en anglais https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics) est plus carrée et me convient beaucoup mieux.

Bernard-maths · 15-05-2025 17:31:29

J'espère que mes remarques destinées à faire sauter au plafond ne t'ont pas occasionné trop de bosses ...

Wiki anglais est bien intéressant, en retraçant l'histoire de la "fonction". Donc initialement fonction de E dans F => Df = E.

Mais, comme y dit aussi, les choses ont évolué, et on a considéré des "sous fonctions" avec Df ≠ E ...

Dans la réalité de ce que j'ai enseigné, je suis à fonction si Df ≠ E, et application si Df = E !

Donc dans la pratique, faut faire attention ...?

QUI peut trancher, ou conseiller ???

B-m

Michel Coste · 15-05-2025 17:40:10

Rassure-toi, je reste paisiblement assis sur ma chaise.
Dis-tu, écris-tu que $x\mapsto \sqrt{x}$ est une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ ?
Moi, ça me choque et je ne le dis / l'écris pas.

Bernard-maths · 15-05-2025 18:09:17

Chacun son truc !???

https://fr.wikipedia.org/wiki/Applicati … 9matiques)

Bonne soirée, B-m

DrStone · 15-05-2025 18:10:00

Bonsoir.

Personnellement je ne vois pas ce qui peut bien choquer. Voir par exemple :

DrStone · 15-05-2025 19:42:20

En lisant le dernier lien fourni par Bernard-maths, je me rends compte que je ne suis pas complétement fou (peu s'en faut malgré tout) et qu'effectivement Bourbaki ont changé leurs définitions.

Les définitions données sur ce lien sont effectivement peu ou prou celles que je me souviens avoir lu dans leur traité (ou des documents des versions préliminaires qui circulaient (?) de ces années pré-70 — que je dois toujours avoir quelque part et que j'essaierai de les retrouver —) et desquelles je n'ai pas pris le temps (encore une fois, j'en manque en ce moment) de lire en entier la définition revisitée que j'ai postée hier et qui m'aura causée une déconvenue. Je dois bien dire que je n'aurais jamais imaginé qu'ils aient changé des définitions aussi simples et précises.

Dernière modification par DrStone (15-05-2025 19:55:57)

Michel Coste · 15-05-2025 20:19:11

Vous évitez soigneusement de répondre à ma question :

Dis-tu, écris-tu que $x\mapsto \sqrt x$ est une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ ?

*

Je note dans la page wikipedia

Cette distinction ne commence à disparaître des ouvrages scolaires qu'à partir de 1985, à l'adoption de nouveaux programmes

Vos réactions me renseignent donc sur votre âge. Il ne faut pas rester attaché aux vieilles habitudes ! ;)

DrStone · 15-05-2025 20:27:03

Michel Coste a écrit :

Vous évitez soigneusement de répondre à ma question :
Dis-tu, écris-tu que $x\mapsto \sqrt x$ est une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ ?

Moi oui.

Et je dis que $x\mapsto \sqrt x$ est une application de $\mathbf{R}_+$ dans $\mathbf{R}_+$ et je n'en suis pas mort. :=)

Michel Coste · 15-05-2025 20:55:21

Merci pour cette réponse nette.
Je n'ai pas d'expérience sur ce qui se dit / s'écrit dans l'enseignement secondaire, mais pour sûr "$x\mapsto \sqrt x$ est une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$" ne passe plus de nos jours dans l'enseignement supérieur.

DrStone · 15-05-2025 21:18:28

C'est fort possible, oui.

Mais de toute manière il est plus qu'improbable que je parle ou étudie la «fonction $x\mapsto \sqrt x$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$» ; me contentant plutôt d'étudier l'application (nommée ainsi) de $\mathbf{R}_+$ dans $\mathbf{R}_+$ associée. Ce qui, j'ose l'espérer, ne poserait aucun souci que ce soit.

Dernière modification par DrStone (15-05-2025 21:23:01)

Michel Coste · 15-05-2025 21:28:29

Aucun souci puisque application = fonction selon l'usage actuel (et l'usage actuel tend à privilégier "fonction" quand l'ensemble d'arrivée est $\mathbb R$, ou $\mathbb C$).

DrStone · 16-05-2025 02:40:09

Bonjour.

Je vois. Aucun souci donc, finalement, même selon l'usage actuel.

De toute manière, il faut bien avouer que ceci n'est que d'ordre sémantique, et dans le fond tant que l'on définit correctement nos objets en amont il n'y a pas tant lieu de se crêper le chignon comme on le fait depuis deux pages. :-)

Agréable journée à vous.

Borassus · 16-05-2025 08:05:49

Bonjour à tous,

Je suis renté tard hier soir.
Je découvre, impressionné, ce matin le débat que ma discussion a provoqué, et n'ai parcouru que très rapidement les échanges.

Ce que j'explique simplement pour les fonctions numériques :
Lorsqu'on indique seulement la logique de calcul, par exemple $f(x) = \dfrac {1}{x^2 + x -2}$, il s'agit d'une fonction.
Lorsque, de plus, on indique le domaine de définition $\mathbb{R} \setminus \{-1, -2\}$, il s'agit d'une application.

Bonne journée à tous.

Borassus · 16-05-2025 08:10:38

Il est donc à mon sens impropre d'écrire, comme on le voit extrêmement souvent

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1, -2\}$ par $f(x) = \dfrac {1}{x^2 + x - 2}$

Zebulor · 16-05-2025 08:29:18

Bonjour,

Borassus a écrit :

Il est donc à mon sens impropre d'écrire, comme on le voit extrêmement souvent
Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1, -2\}$ par $f(x) = \dfrac {1}{x^2 + x - 2}$

Non si j'en crois la définition d'un ensemble de définition : -1 et -2 n'ont pas d'image par $f$.

Borassus · 16-05-2025 08:47:22

A partir du moment où on précise le domaine de définition — je préfère utiliser "domaine de calculabilité", à mon sens plus signifiant —, la fonction n'est plus une fonction mais devient une application.

Cela me rappelle la plaisanterie suivante :
Quel est le point commun entre une femme du monde et un diplomate ?

Quand une femme du monde dit "Non", c'est "Peut-être".
Quand elle dit "Peut-être", c'est "Oui".
Quand elle dit "Oui", elle n'est plus une femme du monde.

Quand un diplomate dit "Oui", c'est "Peut-être".
Quand il dit "Peut-être", c'est "Non".
Quand il dit "Non", il n'est plus un diplomate.

Borassus · 16-05-2025 08:50:36

Zebulor a écrit :

Bonjour,
Non si j'en crois la définition d'un ensemble de définition : -1 et -2 n'ont pas d'image par $f$.

Tout à fait !
Dans une fonction, tous les éléments de départ n'ont pas systématiquement une image.
Dans une application, si.

Borassus · 16-05-2025 10:16:40

Je crois que je vais introduire cette distinction dans mes cours, et notamment dans l'ouvrage sur lequel je travaille actuellement.

Cela ne sera sans doute pas facile, tant l'appellation "fonction" est systématiquement utilisée !

Remplacer donc
« Soit la fonction $f$ définie sur tel intervalle par $f(x) = \cdots$ »
par
« Soit l'application $f$ définie sur tel intervalle par $f(x) = \cdots$ »

Ou écrire « Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \cdots$ », sans indiquer son domaine de calculabilité.

Borassus · 16-05-2025 10:21:44

Lorsque, de plus, on indique le domaine de définition $\mathbb{R} \setminus \{-1, -2\}$, il s'agit d'une application.

Oups ! Pardon !
Il faut lire

Lorsque, de plus, on indique le domaine de définition $\mathbb{R} \setminus \{+1, -2\}$, il s'agit d'une application.

Borassus · 16-05-2025 10:58:01

Allons un peu plus loin, voulez-vous ?

« la fonction carré » est une appellation inexacte car tout nombre, réel ou complexe, possède un carré.
Il s'agit donc d'une application.

« la fonction inverse » est une appellation juste car tout nombre n'a pas forcément un inverse. Il s'agit donc bien d'une fonction.

DeGeer · 16-05-2025 11:18:53

Le fait que tout élément de l'ensemble de départ d'une application a une image unique alors qu'un élément de l'ensemble de départ d'une fonction n'a pas forcément d'image n'implique pas que pour certaines fonctions, tout élément de l'ensemble de départ admet une image unique.
Toute application est une fonction mais certaines fonctions ne sont pas des applications.

Borassus · 16-05-2025 11:49:12

Le fait que tout élément de l'ensemble de départ d'une application a une image unique alors qu'un élément de l'ensemble de départ d'une fonction n'a pas forcément d'image n'implique pas que pour certaines fonctions, tout élément de l'ensemble de départ admet une image unique.

Bonjour DeGeer (excuse-moi, Zebulor, je ne t'ai explicitement pas souhaité le bon jour),

Peux-tu préciser s'il te plaît ?

[...] certaines fonctions ne sont pas des applications

j'ajouterais « tant qu'on n'a pas précisé le domaine sur lesquelles elles sont calculables »

Zebulor · 16-05-2025 13:08:09

Bonjour Borrassus !
pas de problème ... Je ne vois pas trop quoi ajouter à mon post #67, et ce que tu écris dans ton post #69 est conforme à ce qui est écrit dans mon cahier de maths de 3ème (année 1986)

J'ai l'impression que les lycéens et collégiens qui nous lisent pourraient se perdre dans tous ces échanges..

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