Courbe convexe ou concave ; quid d'une fonction convexe ou concave ?

DrStone · 13-05-2025 00:12:56

Il m'aura donc fallu moins d'une vingtaine d'heures et à peine cinq messages pour être considéré comme étant un épouvantable et fort enquiquinant forumeur. Un vrai record personnel ! M'enfin bon, ce n'est pas grave.

Et puis tu sais, cher Borassus, tu n'es pas obligé de prendre à cœur toutes mes interventions comme cela : je ne suis qu'un inconnu parmi d'autres n'étant en rien plus spécial que toutes les personnes que tu croises dans la rue. De même tu n'as aucunement l'obligation d'introduire mes lubies dans tes écrits ! Ce sont les tiens après tout.
Pour tout te dire lorsque j'ai écrit mon message duquel, après relecture, j'arrive à peu près à comprendre en quoi il a pu te paraître importun, je n'avais pas spécialement d'autre but que de remettre une définition correcte du mot fonction pour le présent forum — où l'on trouve avant tout des matheux (dont pas mal d'étudiants qui ne font que passer) — pour que les lecteurs du présent forum ne se mette à généraliser une notion aujourd'hui assez mal enseignée par facilité*. À aucun moment je n'aurais imaginé que tu aurais modifié ton cours en conséquence.

Quoi qu'il en soit, je ne suis pas enquiquinant et à cheval sur les définitions par pur sadisme ou pour de te mettre hors de tes gonds. C'est plutôt une déformation professionnelle due à l'enseignement que j'ai reçu**. Les joies d'apprendre la différence entre relations (binaires), applications et fonctions dès la sixième (et en réalité même avant). :=)

Mine de rien, cela laisse des traces !

Quoi qu'il en soit, ne nous énervons pas les uns contre les autres pour si peu. Ce n'est définitivement pas bon pour nos cœurs.

Je te souhaite une bonne semaine. ;-D

* Il est très tentant de considérer que toute fonction n'est qu'une fonction numérique de la variable réelle mais cela est quand même très trompeur.
** Tu auras sans doute remarqué que je suis certes infernal, mais que je m'auto-inflige ce côté infernal : j'ai pris le temps d'écrire «fonction $f$ de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$» à chaque fois. Je ne le fais donc pas juste pour me faire mousser ni même pour t'énerver. D'ailleurs si je ne l'avais pas écrit tel quel, tu aurais eu tout à fait le droit de m'envoyer des noms d'oiseaux. :=)

Dernière modification par DrStone (13-05-2025 00:21:38)

Rescassol · 13-05-2025 08:14:55

Bonjour,

Comme dit ailleurs:
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y) \in f$ et $(x,z) \in f$ alors $y=z$.

Cordialement,
Rescassol

Michel Coste · 13-05-2025 10:28:46

Bonjour, je préfère voir une fonction comme un triplet d'ensembles $f=(A,B,G)$ où $G\subset A\times B$ est tel que pour tout $x\in A$, il existe un unique $y\in B$ tel que $(x,y)\in G$. On dit alors que $f$ est une fonction de $A$ dans $B$, et $G$ est son graphe.

DrStone · 13-05-2025 12:28:43

Bonjour.

Comme je l’ai mentionné précédemment, une fonction $f$ est une relation définie par un ensemble de départ $A$, un ensemble d'arrivée $B$, et un graphe $\Gamma\subset A\times B$, telle que pour tout élément $x$ de l'ensemble de départ $A$, il existe au plus un élément $y$ de l'ensemble d'arrivée $B$ tel que $\left(x, y\right)\in\Gamma$.

On peut encore réécrire cette définition par : une relation $f$ d'un ensemble $A$ vers un ensemble $B$ est une fonction si et seulement si pour tout élément $x$ de $A$ il existe, au plus, un élément $y$ de $B$ tel que $\left(x, y\right)$ soit lié par $f$.

Notons que si tout élément de $A$ est toujours associé à exactement un (unique) élément de $B$, la fonction $f$ est alors une application.

Il me semble là que ce sont les définitions les plus propres et les plus simples qu'on puisse obtenir à un niveau élémentaire dans trop risquer de mélanger les définitions de relation, application et fonction.

On remarquera par d'ailleurs que lorsque le commun des mortels emploie le terme "fonction", il désigne en réalité une application numérique (de la variable réelle).

Dernière modification par DrStone (13-05-2025 14:25:45)

Bernard-maths · 13-05-2025 14:46:55

Bonjour à tous !

Eh bien, il reste à enchainer avec injectivité, surjectivité, bijectivité, ... périodicité ?

B-m

DrStone · 13-05-2025 14:55:08

Bonjour Bernard-maths.

De mon temps tout ceci était vu en classes de cinquième (bijectivité) quatrième (surjectivité et injectivité) et troisième (périodicité). J'ai donc envie de dire… Pourquoi pas ? :)

Michel Coste · 13-05-2025 15:30:37

Pour moi (et pas que pour moi !) fonction = application. Et on dit plus volontiers fonction quand c'est à valeurs dans $\mathbb R$.

DrStone · 13-05-2025 16:04:11

Comme pour beaucoup de monde !

Mais ces deux mots ne font pas référence à des objets tout à fait identiques et n'ont pas tout à fait les mêmes définitions.

Par exemple Bourbaki les définissent comme suit (notez, par pitié, que je ne préconise pour autant absolument pas d'entrer autant dans le détail pour des élèves du secondaire !)

Michel Coste · 13-05-2025 16:17:02

Merci d'apporter cet argument à mon identification application = fonction (quand j'écrivais "pas que pour moi", je savais bien que c'est aussi ce que fait Bourbaki).
Quand je lis la Définition 9, je vois que $f=(F,A,B)$ est une fonction si et seulement si pour tout $x\in A$ il existe un unique (et pas "il existe au moins plus un" !) $y\in A$ tel que $(x,y)\in F$.

Dernière modification par Michel Coste (13-05-2025 16:26:34)

DrStone · 13-05-2025 16:22:07

Quand je lis la définition 9, je lis plutôt que $f=(F, A, B)$ est une fonction si et seulement si pour tout $x\in A$ il existe au plus (je n'ai jamais évoqué de "il existe au moins un" !) un $y\in B$ tel que $(x,y)\in F$.

Et quand je lis comment est défini l'application, je lis : une application est une fonction pour laquelle pour tout $x\in A$ il existe un unique $y\in B$ tel que $(x,y)\in F$.

Edit: Oops, le copier-coller c'est le mal!

Dernière modification par DrStone (13-05-2025 16:25:49)

Bernard-maths · 13-05-2025 16:29:18

Hum ...

Je na comprends pas trop ce que fait y dans A ???

B-m

DrStone · 13-05-2025 16:30:24

J'avais copier-coller "$x\in A$" comme un sagouin et juste modifié le $x$ avant de m'en rendre compte et d'éditer mon message. :=D

Michel Coste · 13-05-2025 16:34:53

Relis soigneusement la phrase
"On dit qu'une correspondance $f=(F,A,B)$ est une fonction si son graphe est fonctionnel [= pour tout $x\in A$, il existe au plus un $y\in B$ tel que $(x,y)\in F$], et si son ensemble de départ $A$ est égal à son ensemble de définition $\mathrm{pr}_1(F)$."
Ce deuxième morceau de phrase dit clairement que $A=\mathrm{pr}_1(F)$, autrement dit que pour tout $x\in A$ il existe $y\in F$ tel que $(x,y)\in F$.

Bernard-maths · 13-05-2025 16:56:03

Donc on oublie l'application, notion arrivée plus tard que la fonction ...

J'étais en seconde en 1963 lorsqu'on a introduit les "maths modernes" en cours au lycée.

Question de vocabulaire donc ...

B-m

DrStone · 13-05-2025 17:01:50

J'ai relus et je maintiens.

Voici par exemple comment Queysanne-Revuz font la distinction en classe de 2e C&T en 1969.

Dernière modification par DrStone (13-05-2025 17:03:50)

Michel Coste · 13-05-2025 17:26:56

J'ai relus et je maintiens.

Ou tu as mal relu, ou tu es de mauvaise foi.
Que veut dire à ton avis la condition "si son ensemble de départ $A$ est égal à son ensemble de définition $\mathrm{pr}_1(F)$." ?
Es-tu d'accord que $\mathrm{pr}_1(F)$, la première projection de $F$, est $\{x\in A\mid \exists y\in B\ (x,y)\in F\}$ ? Sinon, que signifie $\mathrm{pr}_1(F)$ pour toi ?
Si tu es d'accord sur la signification de $\mathrm{pr}_1(F)$, je ne vois pas comment tu pourrais nier que la condition citée veut dire que pour tout $x\in A$, il existe $y\in B$ tel que $(x,y)\in F$.

yoshi · 13-05-2025 17:29:06

Bonjour,

Fonctions, applications, injection surjection, bijection il me semble me souvenir que j'ai enseigné ça en Collège (et les Barycentres, en 4e. Là, c'est sûr !), à la "glorieuse époque" des Maths dites modernes...

Mais je ne crois pas qu'il me reste un manuel correspondant : j'en ai viré un certain nombre, il n'y a pas si longtemps...

@+

Michel Coste · 14-05-2025 21:58:52

Bonsoir,
DrStone est devenu bien silencieux. Peut-être a-t-il fini par relire Bourbaki avec l'attention nécessaire ?

DrStone · 15-05-2025 02:16:50

Bonjour.

Étant pris par le temps je n’ai surtout pas le loisir de venir titiller les intervenants du forum pour m’adonner en spectacle.

Quoi qu’il en soit, peut-être as-tu raison et peut-être (probablement ?) ai-je effectivement surinterprété cette définition 9 ? Si tel est le cas, j’aurais alors "appris" quelque chose et c’est tant mieux.

Mais en réalité, n’y mettant pas ma vie en jeu, je t’avoue que cela m’importe, pour ainsi dire, peu de toute manière que ce soit.

Après tout, l’on m’a toujours appris à faire la différence entre une fonction et une application — ainsi qu’entre fonction numérique et application numérique associée — d’aussi loin que je me souvienne, du début à la fin de mes études — ce je ne sors pas de mon chapeau non plus —, et je ne changerai pas cette habitude.

Sur ce, je vous souhaite à tous une agréable journée.

Dernière modification par DrStone (15-05-2025 02:28:39)

Michel Coste · 15-05-2025 09:28:15

Bonjour,
Finalement, nous sommes donc bien d'accord sur la définition de fonction par Bourbaki : tout élément de l'ensemble de départ a une et une seule image (et pas au plus une).
Je ne nie pas qu'on puisse trouver "au plus une image" dans la définition de fonction de A dans B chez certains auteurs. Et même, des auteurs peuvent avoir un avis changeant. Tu as cité le Queysanne-Revuz (version "au plus une"), mais dans le manuel d'algèbre de Queysanne on trouve "une et une seule".
Il serait donc erroné de prétendre que le "au plus une" pour une fonction est la version universellement reconnue. De ce que je vois par ma pratique mathématique, le "une et une seule" est de loin la version la plus utilisée actuellement.

Bernard-maths · 15-05-2025 09:45:18

Bonjour à tous !

Quid alors de l'ensemble de définition ?

B-m

Michel Coste · 15-05-2025 10:10:05

Ensemble de définition = ensemble de départ (relire la définition 9 de Bourbaki).

Bernard-maths · 15-05-2025 10:55:40

Oui mais, en milieu scolaire, on donne une "fonction" de E vers F, par une formule f(x) = ...

On en demande l'ens de déf Df !

Donc que doit-on dire de f si Df ≠ E ???

B-m

Michel Coste · 15-05-2025 11:39:51

Es-tu sûr qu'on donne une fonction de $\mathbb R$ vers $\mathbb R$ par la formule $f(x)=\sqrt{x}$ ?
Pour moi, $x\mapsto \sqrt{x}$ est une fonction de $\mathbb R_+$ vers $\mathbb R$ : ensemble de départ = ensemble de définition.
($y=\sqrt{x}$ est la relation fonctionnelle dans $\mathbb R\times \mathbb R$ définie par $y^2=x\text{ et } y\geq 0$, mais je ne suggère pas de parler de relation fonctionnelle dans le secondaire. Quoique ...)

Dernière modification par Michel Coste (15-05-2025 11:48:07)

Bernard-maths · 15-05-2025 13:03:36

Quoique ... couac !

Et les fonctions rationnelles ...?

... on tatillone trop ? Bourbaki s'est planté ? Vocabulaire à redéfinir ? Y'a du boulot ...

B-m

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#26 13-05-2025 00:12:56

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#28 13-05-2025 10:28:46

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