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Alice87

Invité

Produit semi-direct de deux groupes.

Bonjour,

Soient [tex]N[/tex] et [tex]H[/tex] deux groupes.
Soient [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] deux morphismes de groupes de [tex]H[/tex] dans [tex]\mathrm{Aut} (N)[/tex], le groupe des automorphismes de [tex]N[/tex].
Sous quelles conditions entre [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex], il existe un isomorphisme entre [tex]N \rtimes_f H[/tex] et [tex]N \rtimes_g H[/tex] ?

Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Bonjour,

Tu peux regarder ce qui se passe quand tu composes $f : H\to \mathrm{Aut}(N)$
1) avec un automorphisme de $H$ à droite,
2) avec un automorphisme intérieur de $\mathrm{Aut}(N)$ à gauche.

Alice87

Invité

Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Je n'ai pas compris où vous voulez en venir. Pouvez vous être plus précis s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

DeGeer

Membre

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Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Bonjour
Tu peux essayer de vérifier si les deux produits semi-directs obtenus sont isomorphes.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Soit $h$ un automorphisme de $H$. Compare le produit semi-direct obtenu en tordant le produit pas $f : H \to \mathrm {Aut}(N)$ et celui obtenu en le tordant par $f\circ h$.
Soit $g$ un automorphisme de $N$, et $i_g : \mathrm {Aut}(N) \to \mathrm {Aut}(N)$ l'automorphisme intérieur défini par $u\mapsto gug^{-1}$. Compare le produit semi-direct obtenu en tordant le produit pas $f : H \to \mathrm {Aut}(N)$ et celui obtenu en le tordant par $i_g\circ f$.

Alice87

Invité

Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Bonsoir,

Merci à vous deux pour vos réponses.
@Michel,

Pour le produit tordu par [tex]f[/tex] dans [tex]N \rtimes_f H[/tex], il est défini par,
[tex](n,h).(n',h') = (nf(h)(n'),hh')[/tex], pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex].
Pour le produit tordu par [tex]f \circ \varphi[/tex] dans [tex]N \rtimes_{f \circ \varphi} H[/tex], il est défini par,
[tex](n,h).(n',h') = (nf(\varphi ((h)) (n'),hh')[/tex], pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex].
Que faut-t-il faire après ? Montrer que le morphisme, [tex]\psi \ : \ N \rtimes_f H \to N \rtimes_{f \circ \varphi} H[/tex], défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (n,\varphi (h))[/tex] est un isomorphisme ?

Merci d'avance.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Produit semi-direct de deux groupes.

La réponse est dans ta question, à un bémol près dont tu t'apercevras en y regardant de plus près.

Dernière modification par Michel Coste (24-04-2025 07:21:58)

Alice87

Invité

Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Bonjour,

Montrons alors que, [tex]\psi \ : \ N \rtimes_f H \to N \rtimes_{f \circ \varphi} H[/tex], défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (n,h)[/tex] est un isomorphisme. En effet,
[tex]\psi[/tex] est trivialement une bijection.
Montrons que, [tex]\psi[/tex] est un morphisme de groupes.
Pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h)(n',h'))= \psi ( (nf(h)(n'),hh') ) = (nf(h)(n'),hh')[/tex].
Pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h))\psi ((n',h')) = (n,h)(n',h')= (nf(\varphi (h) (n'),hh')[/tex]
Pour que, \psi ((n,h)(n',h')) = \psi ((n,h))\psi ((n',h')), il faut que, [tex](nf(h)(n'),hh')=(nf(\varphi (h) (n'),hh')[/tex]
Donc, pour qu'il existe un isomorphisme entre [tex]N \rtimes_f H[/tex] et [tex]N \rtimes_g H[/tex], il faut que, [tex](nf(h)(n'),hh')=(nf(\varphi (h) (n'),hh') = (ng(h)(n'),hh')[/tex] ? Non ?

Merci d'avance.

Alice87

Invité

Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Bonjour,

Montrons alors que, [tex]\psi \ : \ N \rtimes_f H \to N \rtimes_{f \circ \varphi} H[/tex], défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (n,h)[/tex] est un isomorphisme. En effet,
[tex]\psi[/tex] est trivialement une bijection.
Montrons que, [tex]\psi[/tex] est un morphisme de groupes.
Pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h)(n',h'))= \psi ( (nf(h)(n'),hh') ) = (nf(h)(n'),hh')[/tex].
Pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h))\psi ((n',h')) = (n,h)(n',h')= (nf(\varphi (h) (n'),hh')[/tex]
Pour que, [tex]\psi ((n,h)(n',h')) = \psi ((n,h))\psi ((n',h'))[/tex], il faut que, [tex](nf(h)(n'),hh')=(nf(\varphi (h) (n'),hh')[/tex]
Donc, pour qu'il existe un isomorphisme entre [tex]N \rtimes_f H[/tex] et [tex]N \rtimes_g H[/tex], il faut que, [tex](nf(h)(n'),hh')=(nf(\varphi (h) (n'),hh') = (ng(h)(n'),hh')[/tex] ? Non ?

Merci d'avance.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Tu avais eu une bonne première réaction

Montrer que le morphisme, [tex]\psi \ : \ N \rtimes_f H \to N \rtimes_{f \circ \varphi} H[/tex], défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (n,\varphi (h))[/tex] est un isomorphisme ?

Mais là dans ton dernier message ça ne va plus du tout. Comme je l'ai écrit, il y a un petit bémol à mettre :
Question : l'application $\psi$ définie par [tex]\psi ((n,h)) = (n,\varphi (h))[/tex] est-elle un isomorphisme de $N \rtimes_f H$ sur $N \rtimes_{f \circ \varphi} H$ ou de $N \rtimes_{f \circ \varphi} H$ sur $N \rtimes_f H$ ?

Alice87

Invité

Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Tu avais eu une bonne première réaction

Montrer que le morphisme, [tex]\psi \ : \ N \rtimes_f H \to N \rtimes_{f \circ \varphi} H[/tex], défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (n,\varphi (h))[/tex] est un isomorphisme ?

Mais là dans ton dernier message ça ne va plus du tout. Comme je l'ai écrit, il y a un petit bémol à mettre :
Question : l'application $\psi$ définie par [tex]\psi ((n,h)) = (n,\varphi (h))[/tex] est-elle un isomorphisme de $N \rtimes_f H$ sur $N \rtimes_{f \circ \varphi} H$ ou de $N \rtimes_{f \circ \varphi} H$ sur $N \rtimes_f H$ ?

Ah oui, on a, [tex]\psi \ : \ N \rtimes_{f \circ \varphi} H \to N \rtimes_f H[/tex] défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (n,\varphi (h))[/tex], qui est évidemment une bijection, car, [tex]\varphi[/tex] est une bijection.
Il reste à montrer que, pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h)(n',h')) = \psi ((n,h))\psi ((n',h'))[/tex].
Soient, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex],
On a, [tex]\psi ((n,h)(n',h'))= \psi ( (nf(\varphi(h))(n'),hh') ) = (nf(\varphi(h))(n'),\varphi(hh'))[/tex]
On a, [tex]\psi ((n,h))\psi ((n',h')) = (n,\varphi(h))(n',\varphi(h'))= (nf(\varphi (h) (n'),\varphi (hh'))[/tex]
D'où, pour tout, [tex](n,h),(n',h') \in N \times H[/tex], [tex]\psi ((n,h)(n',h')) = \psi ((n,h))\psi ((n',h'))[/tex].
Par conséquent, [tex]\psi[/tex] est un isomorphisme de [tex]N \rtimes_{f \circ \varphi}H[/tex] dans, [tex]N \rtimes_{f} H[/tex].
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Ben oui. Maintenant tu peux passer tout seul, je pense, au deuxième point de mon premier message.

Alice87

Invité

Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Merci.
Pour le deuxième point de ton message, que faut-t-il faire ? Montrer que le morphisme, [tex]\rho \ : \ N \rtimes_f H \to N \rtimes_{i_g \circ f } H[/tex], défini par, [tex]\psi ((n,h)) = (i_g (n),h)[/tex] est un isomorphisme ?
Merci d'avance.

Michel Coste

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Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Je te laisse réfléchir, je pense que tu as eu suffisamment d'indications, mais je te signale tout de même une chose : $i_g$ n'est pas un automorphisme de $N$, mais un automorphisme intérieur de $\mathrm{Aut}(N)$. C'est $g$ qui est un automorphisme de $N$.

Alice87

Invité

Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Ce dernier point est trop dur pour moi. Je n'arrive pas à trouver la forme de [tex]\rho[/tex]. Est ce que tu peux me proposer un début de réponse, et moi, je m'occuperai du reste.
Merci infiniment.

Michel Coste

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Re : Produit semi-direct de deux groupes.

N'oublie pas que tu as $g$ qui est un automorphisme de $N$, et tu as le modèle de ce qui a été fait avec un automorphisme de $H$. Qu'est-ce qui te paralyse ? Ce n'est pas trop dur, il suffit de prendre les choses calmement.

bridgslam

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Re : Produit semi-direct de deux groupes.

Bonjour,

En notant $\gamma$ un automorphisme de N et $\psi$ l'application  de $N \rtimes_{\gamma o f o \gamma^{-1}} H $ vers $ N \rtimes_f H $ qui au couple $(n,h)$associe le couple $( \gamma^{-1}  (n), h) $ , $\psi$ est un isomorphisme, sauf erreur.
Cela me semble OK, tous calculs intermédiaires faits, on retombe bien sur ses pieds.
J'ai préféré noter par $\gamma$ au lieu de g qui lui vit dans $Hom( H, Aut(N))$ déjà nommé g au début de la question d'Alice.
Ma notation de composition pour le produit semi-direct de gauche a une vocation symbolique (fausse stricto sensu ) afin de faire apparaître directement la conjugaison par $\gamma$.
Il est plus rigoureux de la noter à la place par $i_{\gamma} \;o \; f$, avec bien sûr $i_{\gamma}$ qui est l'automorphisme  intérieur associé à $\gamma$ appliqué sur Aut(N) évoqué en toute rigueur par Michel.
On a aussi  en inversant la position des deux groupes une expression symétrique sans prendre l'inverse de $\gamma$, qui peut surprendre de prime abord.
On a des conditions suffisantes pour déterminer (depuis f )un bon paquet de fonctions g répondant au problème, je ne sais pas si la question est soluble dans l'autre sens, donc en terme de conditions nécessaires...si on peut circonscrire complètement la question. Cela me semble difficile (sauf pour un expert en théorie des groupes, peut-être ?)

Dernière modification par bridgslam (28-04-2025 17:33:49)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."