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Renard90

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Contraction d'une tenseur.

Bonsoir,

Comment en général, contracte-t-on un tenseur [tex]T \in E \otimes E^* \otimes \dots \otimes E \otimes E^*[/tex] ? Quelle est la méthode à suivre ?

Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Contraction d'une tenseur.

Bonsoir,

En dimension finie p de E (et son dual):
Si T est une application 2n-linéaire , un tenseur une fois contracté de T est une application (2n-2 )- linéaire obtenue par restriction de T sur les 2n-uplets dont deux termes sont figés à un vecteur de base d'un des espaces E et à son vecteur dual d'un des espaces dual de E, ce qui fournit sur ton exemple pas mal de possibilités ($pn^2$ sauf erreur)
En terme de coordonnées tensorielles, cela revient à fixer et égaliser deux indices de variances opposées.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Renard90

Invité

Re : Contraction d'une tenseur.

... cela revient à fixer et égaliser deux indices de variances opposées.

Merci.
Qu'entends tu par : fixer et égaliser deux indices de variances opposer. Est ce que vous pouvez me proposer un exemple ?.
Par exemple, sur l'exemple,
[tex]T \in \mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2 \otimes ( \mathbb{R}^2 )^* \otimes ( \mathbb{R}^2 )^*[/tex] où, [tex]T_{ij}^{km} = T(e_i , e_j , e_{k}^* , e_{m}^* ) = 2^i 3^j 5^k 7^m[/tex] .
Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Contraction d'une tenseur.

Bonjour

$S_{ik}$ dont l'image en $ (e_i, e_k^*) $ est $21\times2^i5^k$ est un tenseur contracté de T.

Dernière modification par bridgslam (20-04-2025 09:35:55)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Renard90

Invité

Re : Contraction d'une tenseur.

$S_{ik}$ dont l'image en $ (e_i, e_k^*) $ est $21\times2^i5^k$ est un tenseur contracté de T.

Merci bridgslam.
Est ce que, $S_{ik}$ dont l'image en $ (e_i, e_k^*) $ est $(21)^2 \times2^i5^k = 42 \times2^i5^k$ est aussi un tenseur contracté de [tex]T[/tex] ?.
Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Contraction d'une tenseur.

Bonsoir,

Oui, vu que chaque espace est de dimension 2.
Il y en a d'autres  en considérant d'autres paires d'espaces duaux.

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bridgslam

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Re : Contraction d'une tenseur.

Bonsoir,

Désolé, une erreur grossière de ma part, l'indice désignant les vecteurs de base duaux n'est évidemment pas fixé, on somme sur lui.
On obtient ainsi effectivement un tenseur d'ordre n-2 si on part d'un tenseur d'ordre n.
Je vous laisse corriger vos exemples, c'est immédiat  et facile.
Le calcul tensoriel s'est hélas flouté dans mon esprit, avec le temps, induisant cette erreur idiote.
Je ne fais pas de calcul tensoriel  tous les jours, loin de là.
Je crois que cela a un sens même en dimension infinie.
Je suppose qu'il faut davantage replonger dans la théorie pour le voir, ce qui est loin aussi...
Vous êtes dans un cursus de physique ( genre mécanique des milieux continus/fluides  ou relativité générale)?

Bon courage

Dernière modification par bridgslam (23-04-2025 12:36:07)

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