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Paris65

Invité

Suites récurrentes.

Bonjour,

Soit, [tex]( u_n )_{ n \geq 0 }[/tex] une suite numérique convergente, définie par,
[tex]\begin{cases} u_0 = a > 0 \\
u_{n+1} = f(u_n) = g(u_n) \end{cases}[/tex]
avec, [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] sont deux fonctions continues sur [tex]I[/tex], un domaine réel.

Est ce que nécessairement, [tex]f = g[/tex] sur [tex]I[/tex] ?

Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Suites récurrentes.

Bonsoir,

Avec par exemple a=1 , f l' identité et g la fonction carré...
Tu as un contre-exemple.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Paris65

Invité

Re : Suites récurrentes.

Merci bridgslam. Mais si, [tex]a = 2[/tex], est ce que nécessairement [tex]f = g[/tex] ?
Merci d'avance.

bridgslam

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Re : Suites récurrentes.

Bonjour,

On peut se ramener au cas a=1, si a=2.
Par exemple $ f= Id$ et $g(x)= 1+ (x-1)^2$.
C'est la suite constante égale à 2.
Sauf erreur.

C'est toujours faisable en se "translatant" en 1 avant de prendre le carré puis de translater dans l'autre sens (pour la fonction g).
Ainsi $g (x) = ( x-t)^2 + t $ où $ t = a-1$.

Visiblement la fonction Id et g sont continues mais pas égales, pourtant les suites obtenues au moyen de ces fonctions sont convergentes et égales.

Dernière modification par bridgslam (20-04-2025 09:57:07)

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