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Eric Lapeyres

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Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Bonjour.

Je me permets de vous soumettre un exercice dont j'ai la solution mais dont je ne comprends pas la solution (ci-joint).
https://drive.proton.me/urls/5MPBE96F1G#c9utmh4MNunr

En effet, rien que pour la première question, j'aurais répondu spontanément:

- 1er cas : si i < j , alors p(X1 = i , X2 = j) = 0 ;
- 2ème cas : si i >= j , alors p(X1 = i , X2 = j) = 2 / n² .

J'en arrive même à me demander s'il n'y a pas une erreur dans la solution.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.
Eric Lapeyres

Fred

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Bonjour,

Que ne comprends-tu pas dans la correction de la première question ?

F.

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Bonjour Fred. Et merci pour la rapidité de ta réponse !
Et bien, en premier lieu, je ne comprends pas pourquoi le cas (i = j) et le cas (i < j) ne sont pas rassemblés en un cas (i <= j)
et, dans un deuxième temps, je ne comprends pas pourquoi  si i = j , on n'a pas p(X1 = i , X2 = j) = 2 / n² .

Eric Lapeyres

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Boinjour,

L'univers $\Omega$ est l'ensemble des issues des deux tirages , soit $\{1,\ldots,n\}\times \{1,\ldots,n\}$, et les $n^2$ issues sont équiprobables.
Si $1\leq i <j\leq n$, peux-tu décrire l'évènement $\{X_1=i, X_2=j\}$ comme partie de $\Omega$ ?
Si $1\leq i \leq n$, peux-tu décrire l'évènement $\{X_1=i, X_2=i\}$ comme partie de $\Omega$ ?
Si $1\leq j <i\leq n$, peux-tu décrire l'évènement $\{X_1=i, X_2=j\}$ comme partie de $\Omega$ ?

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Bonjour Michel Coste et merci pour la rapidité de ta réponse.

Pour commencer par les cas les plus faciles:
- si 1 <= i <= n, l'événement { X1 = i, X2 = i} rassemble les cas (1 ; 1), (2 ; 2), ... , (i ; i), ... , (n ,n);
  il y a n cas ainsi constitués ;
- si 1 <= j < i <= n, l'événement { X1 = i, X2 = j } rassemble les cas situés sur le triangle supérieur (diagonale exclue) ;
  il y a (n - 1)*(n -1) cas ainsi constitués et p(X1 = i, X2 = j) = p( X1 > X2) = p( le plus petit numéro soit plus grand que le plus grand) = 0;
- si 1 <= i < j <= n, l'événement { X1 = i, X2 = j } rassemble les cas situés sur le triangle inférieur (diagonale exclue) ;
   il y a (n - 1)*(n -1) cas ainsi constitués, ils sont équiprobables, donc:
Somme [ (p(X1 = i, X2 = j), pour 1 <= i < j <= n ] = 1, d'où a*(n-1)*(n-1) = 1
et a = 1 / (n-1)*(n-1)

Je suis un peu perdu.
Merci pour le temps consacré à ce problème.
Eric Lapeyres

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Pas d'accord avec la première ligne, j'arrête là la lecture. L'évènement $\{X_1=i, X_2=i\}$ comprend une seule issue : $(i,i)$. Tu confonds avec l'évènement $\{X_1=X_2\}$.

Dernière modification par Michel Coste (17-04-2025 12:39:40)

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Merci Michel Coste.
Je comprends le cas (i = j) que tu expliques (comme tu l'écris, cela parait facile) et je comprends le cas (i > j).

Reste le cas (i < j).
Je suis désolé de te décevoir mais je ne comprends pas le cas (i < j).
Dans ce cas, le corrigé dit que l'on doit obtenir les numéros i et j dans un ordre ou dans un autre.
Mais on n'a pas p(X1 = i, X2 = j) = p(X2 = j, X1 = i) ?

J'ai beau le tourner dans tous les sens, je ne comprends pas.

Merci pour ta patience.
Eric Lapeyres

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Je ne suis pas sûr que tu comprennes vraiment le cas $i>j$.
Quelles sont les issues qui appartiennent à l'évènement $\{X_1=i, X_2=j\}$ quand $i> j$ ?

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Les issues qui appartiennent à l'événement { X1 = i , X2 = j } pour i > j  sont les issues où
X1 = i est le plus petit numéro tiré, X2 = j est le plus grand numéro tiré et X1 > X2.
Or, X1 est plus petit que X2. donc p { X1 = i , X2 = j } =0 pour i > j .

Dit autrement, dans le tableau du corrigé, l'événement { X1 = i , X2 = j } pour i > j  correspond aux éléments situés
sur le triangle supérieur droit du tableau, diagonale exclue et ces éléments sont nuls.

Eric Lapeyres

Dernière modification par Eric Lapeyres (18-04-2025 07:55:28)

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Eh bien non, tu n'as pas bien compris et tu ne réponds pas à la question posée.
Dans la question que je te pose, $i$ et $j$ sont fixés.
J'essaie autre chose, en prenant un exemple. Je fixe $n=5$. Les issues possibles (résultat du 1er tirage, résultat du 2e tirage) sont donc au nombre de 25, et elles sont équiprobables.
Parmi ces 25, quelles sont les issues qui appartiennent à l'évènement $\{X_1=3, X_2=3\}$ ? Celles qui appartiennent à l'évènement $\{X_1=4, X_2=2\}$ ? Celles qui appartiennent à l'évènement $\{X_1=1, X_2=3\}$ ?

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Voici ma réponse:
i , j fixés ; n =5 ; X(Oméga) = X1(Oméga) x X2(Oméga) ; card(X(Oméga)) = 5² = 25.

* {X1 = 3 ; X2 = 3} = {(3;3)} ;
* {X1 = 4 ; X2 = 2} = {ensemble vide} ;
* {X1 = 1 ; X2 = 3} = {(1;3) ; (3;1)}.

d'où card({X1 = 3 ; X2 = 3}) = 1/25 ;
card({X1 = 4 ; X2 = 2}) = 0 ;
et card({X1 = 1 ; X2 = 3}) = 2/25.

Si c'est exact, Michel Coste, je te remercie vivement.

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Ça va, sauf que dans ton écriture tu confonds cardinal et probabilité.

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Bonjour Michel Coste, bonjour à tous.
Merci Michel pour ta patience et ta rapidité de réponse.
Je suis ok pour la première question.

J'ai essayé de comprendre la solution de la deuxième question.
Je comprends à peu près tout (normal, il n'y a que des calculs) sauf,
dans le (a) - 2ème cas, l'égalité entre p( X1 = i ; X2 = j ) et 2 / (n*(n-1)).

J'essaie de deviner mais je ne comprends pas.
J'essaie de deviner que card (X1(Oméga)) = n-1 ou card(X2(Oméga)) = n-1 .

Merci d'avance pour votre aide.
Eric Lapeyres.

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Il y a une erreur : le dénominateur est bien sûr $n^2$ et pas $n(n-1)$.

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Bonjour Michel, bonjour à tous.

J'ai essayé de rédiger en prenant en compte la correction de l'erreur dans la solution.
Du coup, voici la nouvelle solution selon moi et selon le corrigé que je consulte:

https://drive.proton.me/urls/FMWV637G08#EtFDyxoBV1do

Je te remercie encore pour ta patience et ton temps passé.
Eric Lapeyres.

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Il y a une erreur dans ce que tu as écrit. La preuve, si tu fais la somme sur $i$ des probabilités conditionnelles que tu as écrites, tu trouves $\dfrac{2j}{2j-1} >1$. Je te laisse chasser ton erreur.

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Merci Michel.
Je te remercie pour ton sens de la pédagogie.
Je vois bien qu'il y a quelque chose qui cloche mais je ne vois pas quoi.
En effet, si l'on en croit ce que j'ai écrit, somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à n =
somme sur i allant de 1 à n (p(X1 = i  | X2 = j)) =
somme sur i allant de 1 à j-1 (p(X1 = i  | X2 = j) + p(X1 = i | X2 = i) =
somme sur i allant de 1 à j-1 (1/(j-1)) + (1/(2j-1)) =
(j-1)/(j-1) + 1/(2j-1) =
2j/(2j-1) > 1.

Et là, je bloque.
Il y aurait bien quelque chose:
Il faudrait, comme c'était écrit dans mon premier envoi:
https://drive.proton.me/urls/5MPBE96F1G#c9utmh4MNunr.

Dans le 2ème cas (i<j): p(X1 = i | X2 = j) = 2 / (2j-1) (mais comment y arriver ?).
Et dans le 3ème cas (i=j): p(X1 = i | X2 = i) = 1 / (2j-1).
D'où la somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à n qui vaudrait là 1.

Je sèche.

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Reprends ton calcul de la probabilité de $\{X_2=j\}$.

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Je devine, mais je ne raisonne pas.
Je pense qu'il faut écrire:
p(X2 = j) = somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à n (p(X1 = i ; X2 = j))
              = somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à j ) ( 2 / n²)
              = somme sur i des probabilités conditionnelles pour i allant de 1 à (j-1) ( 2 / n²) + (1/n²) = 2 (j-1) / n² + (1/n²).

Mais pour moi, ce + (1/n²) n'est pas possible car il vient de p(X1 = i ; X2 = j) avec j=i. Or, on est dans le cas (i<j), donc on n'a pas j=i.

Pas mieux.

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Essaie tout de même de raisonner ! Reviens aux fondamentaux : compte le cardinal de l'évènement $\{X_2=j\}$, c.-à-d. le nombre d'issues pour lesquelles le maximum des numéros des deux jetons tirés est égal à $j$.

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Ok, je reprends le calcul du cardinal de { X2 = j }:
{ X2 = j } = réunion pour i de 1 à n de { X1 = i ; X2 = j }
                = réunion pour i de 1 à j de { X1 = i ; X2 = j } U { X2 = j ; X1 = i }

d'où card ({ X2 = j }) = somme pour i=1 à i=j (card({ X1 = i ; X2 = j }) + somme pour i=1 à i=j-1 (card({ X2 = j ; X1 = i })
                                 =  j + (j-1) = 2j-1

d'où, toujours pour le cas (Deuxième question - (a) - 2ème cas i<j ),
p({ X2 = j }) = (2j-1)/n²

et p(X1 = i | X2 = j) = p( X1 = i ; X2 = j ) / p({ X2 = j}) = (2/n²) / ((2j-1)/n²) = 2 / (2j-1)

Si cela était juste, il me resterait à traiter le cas (Deuxième question - (a) - 3ème cas i=j ).

Et je pense qu'il faudrait que p( X1 = i | X2 = i) soit égal à (2i-3) / (2i-1).

C'est laborieux !

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

"Et je pense qu'il faudrait que p( X1 = i | X2 = i) soit égal à (2i-3) / (2i-1)."

Pourquoi penses-tu ça ? Décidément, tu passes ton temps à te compliquer la vie. Tu as à calculer $P(X_1=j,\ X_2=j)/ P(X_2=j)$ Tu as déjà calculé $P(X_2=j)$. Il te reste à calculer $P(X_1=j,X_2=j)$. De combien d'issues se compose l'évènement $\{X_1=j, X_2=j\}$ ?

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Bonjour Michel. Désolé pour l'absence, je ne pouvais pas répondre ces derniers jours.

Donc, comme tu dis, j'ai déjà calculé p({ X2 = j }) = (2j-1)/n² dans mon post du 22-04.
Il me reste à calculer p( X1 = j ; X2 = j ).
Or, { X1 = j ; X2 = j } = { (j ; j) }, d'où card ({ X1 = j ; X2 = j }) = 1, et p({ X1 = j ; X2 = j }) = 1/n².
Donc p({ X1 = j | X2 = j }) = (1/n²)/((2j-1)/n²) = 1/(2j-1).

Le problème est que, lorsque je somme les probabilités pour i de 1 à n, je ne trouve pas 1 mais plutôt:
(2j / (2j-1)) + (1/(2j-1)) = (2j+1)/(2j-1).

Eric Lapeyres

Eric Lapeyres

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Bonjour Michel.
Je suis désolé de te décevoir mais je sèche, je nage.
Je récapitule: j'en suis à la deuxième question, 2ème et 3ème cas.

Pour le 2ème cas (i < j), je trouve p(X1 = i | X2 = j) = 1 / (j-1).

Pour le 3ème cas (i = j), je trouve p(X1 = i | X2 = i) = 1 / (2i-1) = 1 / (2j-1).

Merci pour ton aide.

Eric Lapeyres

Michel Coste

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Re : Jetons dans un sac: variables aléatoires à deux dimensions

Tu récapitules très mal. Ce n'est pas ce qui a été trouvé pour $P(X_1=i \mid X_2=j)$ dans le cas $i<j$.
Et tu calcules aussi très mal : quand tu sommes les probabilités pour $i $ de 1 à $n$, tu fais comme s'il y avait $j$ entiers $\geq 1$ et $<j$.
Pourrais-tu faire plus attention, s'il te plait ?