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UnPrepa

Invité

Developpement limité

Bonjour à tous, quelqu'un pourrait-il me donner un argument compréhensible par un PCSI qui justifie qu'on a pas le droit de dériver un DL.

Bonne journée,
Merci

LCTD

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Messages : 101

Re : Developpement limité

Bonjour,

un développement limité est une approximation d'une fonction n fois dérivable au voisinage d’un point x0 par une fonction polynomiale dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.
un DL n'est pas une fonction donc aucune notion de dérivée envisageable.

UnPrepa

Invité

Re : Developpement limité

Rebonjour, mais je ne comprends pas pourquoi on a le droit de primitiver un DL celui de 1/1+x par exemple et avoir celui de ln(1+x) comme ça mais on peut pas dériver, je veux savoir où ça bloque parce qu'avec votre explication, je ne vois pas comment on pourrait primitiver un DL si ce n'est pas une fonction ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 340

Re : Developpement limité

Bonjour,

  Le problème vient du reste. Dire que $f$ admet un développement limité à l'ordre $p$ en $0$ signifie qu'on peut écrire :
$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_p x^p +x^p\varepsilon(x)$
où $\varepsilon$ tend vers $0$ en $0.$ Tu peux très bien dériver cette égalité et tu trouves :
$f'(x)=a_1+2a_2x+\cdots+p a_p x^{p-1}+px^{p-1}\varepsilon(x)+px^p\varepsilon'(x).$
Le problème vient de ce dernier terme : tu as des informations sur $\varepsilon,$ mais aucune sur $\varepsilon'$.
En particulier, la dérivée pourrait tendre très vite vers l'infini et ruiner tes efforts pour obtenir quelque chose de petit,
même multiplier par $x^p.$

Ceci ne se produit pas quand on intègre un développement limité. La raison essentielle est qu'on peut intégrer des inégalités, pas les dériver.

F.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 457

Re : Developpement limité

Bonjour,
Je ne suis pas d'accord avec l'explicatiion de @LCTD.
Pour savoir pourquoi ça marche pour intégrer et pas pour dériver, il faut revenir aux démonstrations et se souvenir qu'un d.l. à l'ordre $n$ en $0$ de $f$, c'est $f(x)=P(x)+x^n\epsilon(x)$ avec $\lim_{x\to 0} \epsilon(x) =0$, où $P$ (la partie régulière) est un polynôme de degré $\leq n$ (et $f$ n'est pas forcément dérivable $n$ fois à l'origine !).
On peut intégrer $\int_0^x f(t)\,dt$ et vérifier que c'est $\int_0^x P(t)\,dt + x^{n+1} \phi(x)$ avec $\lim_{x\to 0} \phi(x) =0$. Par contre si on dérive, il y a un os parce qu'il n'y a aucun contrôle sur un éventuel $\epsilon'(x)$, d'ailleurs rien ne dit que $\epsilon$ est dérivable !
Regardons un exemple simple : $f(x)=x^2\cos(1/x)$ que l'on prolonge en $0$ par $f(0)=0$. On a bien $f(x) = 0 + o(x)$. Mais si on dérive , $f'(x)= \sin(1/x)+2x\cos(1/x)$ pour $x\neq 0$ et $f'(0)=0$. La dérivée de $f$ n'est pas continue en $0$, on n'a pas $f'(x)=0+o(1)$.

PS. Fred a répondu pendant que j'écrivais, et nos réponses concordent pour l'essentiel. Je dirais plutôt qu'on peut intégrer une fonction continue, mais pas la dériver.

Dernière modification par Michel Coste (10-04-2025 13:53:07)

UnPrepa

Invité

Re : Developpement limité

Merci les gars