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Borassus

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Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$

Bonsoir ou bonjour,

Nouvelle question borasussienne :

En dehors des fonctions racine, existe-t-il des fonctions définies en une valeur $v_0$ et dont la dérivée est infinie pour cette valeur ?

Merci de vos lumières.
Bon week-end.
Bien cordialement,
Bor.

DeGeer

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Re : Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$

Bonjour
Tout d'abord, la dérivée d'une fonction ne peut pas prendre de valeur infinie, tout simplement car une fonction est dérivable en un point si la limite du taux d'accroissement en ce point existe et est finie. Si cette limite est infinie (comme pour la fonction racine carrée en 0), la fonction n'est pas dérivable.
Si tu veux que la dérivée tende vers l'infini en $v_0$, toute fonction qui admet un asymptote verticale d'équation $x=v_0$ et qui est dérivable autour de $v_0$ devrait faire l'affaire si tu la prolonges arbitrairement en $v_0$.
Si tu imposes que la fonction soit continue en $v_0$, tu peux prendre la fonction définie par $f(x)=x\ln(x)$ prolongée par continuité en 0.

Borassus

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Re : Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$

Bonsoir DeGeer, bonsoir tout le monde,

Merci de ta réponse !

Effectivement, je me suis improprement exprimé : j'entendais "dont la dérivée tend vers l'infini lorsque la variable tend vers la valeur". Merci d'avoir rectifié ma formulation.

En fait, je cherche une fonction dont la courbe présente une tangente verticale bien visible, avec ou sans point d'inflexion, comme celles représentant la racine (carrée, cubique, 4ème, 5ème...) d'une fonction s'annulant pour une valeur donnée.

La fonction définie par $x \ln x$ illustre peu la "verticalité" de la courbe en $0$, car il faut zoomer fortement pour se rendre compte de cette verticalité (et calculer la dérivée $ln x + 1$) :

Je voudrais trouver une fonction dont la courbe présente une "verticalité" bien visible, comme par exemple la racine cubique de $\ln x$

ou la racine cubique de $\cos x$

mais sans que ce soit la racine d'une fonction s'annulant pour une valeur donnée.

Bonne fin de soirée, et bon et fructueux début de semaine.

Roro

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Re : Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$

Bonjour,

Est ce que la fonction définie par $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\ln(x)}$ pourrait t'aider ?

Tu peux en faire des variations comme $\displaystyle g(x) = \frac{x}{|x|}\frac{1}{\ln(|x|)}$...

Roro.

Dernière modification par Roro (07-04-2025 07:25:34)

Borassus

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Re : Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$

Bonjour Roro, bonjour à tous,

Oh que oui, ces deux fonctions f et g peuvent m'aider ! Merciii !!
Voici d'abord les trois représentations de $y = f(x)$ , $y = f(|x|)$ et de $y = g(x)$
   

J'ai beaucoup apprécié la technique consistant à multiplier une fonction paire s'annulant en 0 par $\dfrac{x}{|x|}$ et permettant de transformer la fonction paire en fonction impaire !
Exemple avec $y = \dfrac{x}{|x|} x^2$ :

Je l'enseignerai autant que possible (en te citant ! :-)

Merci encore !

Borassus

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Re : Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$

Je reviens sur la fonction définie par $\sqrt [3] {\ln x}$ .

En traçant sa dérivée $\dfrac 1 3 \dfrac 1 {\sqrt [3] {\ln ^2x}} \cdot \dfrac 1 x$ on voit nettement les deux branches tendant vers $+\infty$ de part et d'autre de la droite verticale $x = 1$ correspondant au point d'inflexion à tangente verticale.

D'autre part, le minimum de cette dérivée permet de localiser avec précision le point d'inflexion de coordonnées $(0,51 ; -0,87)$ existant nécessairement entre les deux asymptotes verticales $x=0$ et $x=1$ :

Enfin, la compréhension des deux branches infinies de part et d'autre d'une asymptote verticale permet de déterminer les quatre configurations "symétriques" de tangente verticale, avec point d'inflexion ou avec pointe :
En effet, tout primitive de limite $l$ en $x_0$ d'une fonction présentant une asymptote verticale à gauche et à droite de $x_0$ présente une tangente verticale selon l'une de ces quatre configurations.

Dernière modification par Borassus (07-04-2025 23:28:58)

jelobreuil

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Re : Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$

Bonjour Borassus,
"... avec point d'inflexion ou avec point de rebroussement" serait une formulation plus exacte, me semble-t-il ...
Bien amicalement, JLB

Borassus

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Re : Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$

Bonsoir Jean-Louis, bonsoir à tous,

Effectivement, l'expression est plus "mathématique" que "pointe".

Merci de ta suggestion.
Bien amicalement aussi,
Bor.