Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Renard90

Invité

Polynome.

Bonjour à tous,

Je cherche à résoudre l'exercice suivant,

Montrer que, [tex]\exists ! a \in \mathbb{C}, \forall t \in \mathbb{C} , \exists P_t \in \mathbb{C} [X] \ [/tex] : [tex] \ X^4 + 7 X^3 + t X^2 + 3 X + 6 = (X+a) P_t(X)[/tex].

[tex]P_t[/tex] est un polynôme de troisième degré en l'indéterminé [tex]X[/tex] dont les coefficients dépendent du paramètre [tex]t[/tex].

Pouvez vous m'expliquer la démarche à suivre ?

Merci d'avance.

Renard90

Invité

Re : Polynome.

Par absurde, ça marche, non ?

Renard90

Invité

Re : Polynome.

Pardon, je corrige :

Je cherche à montrer que, [tex]\exists a \in \mathbb{C}, \forall t \in \mathbb{C} , \exists P_t \in \mathbb{C} [X] \ [/tex] : [tex] \ X^4 + 7 X^3 + t X^2 + 3 X + 6 = (X+a) P_t(X)[/tex].

[tex]P_t[/tex] est un polynôme de troisième degré en l'indéterminé [tex]X[/tex] dont les coefficients dépendent du paramètre [tex]t[/tex].

Pouvez vous m'expliquer la démarche à suivre ?

Merci d'avance.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 780

Re : Polynome.

Bonjour,

Si je comprend bien ta question, tu souhaites montrer que le polynôme $P=X^4+7X^3+tX^2+3X+6$ admet une racine $-a$ qui ne dépend pas du paramètre $t$.

Si c'était le cas alors le $-a$ que tu cherches serait solution de $X^4+7X^3+tX²+3X+6=0$ pour tout $t\in \mathbb C$. Tu devrais en particulier avoir $a^2=0$ donc $a=0$ ce qui ne fonctionne pas...

J'ai sans doute loupé une étape !

Roro.

Dernière modification par Roro (05-04-2025 09:44:14)

Renard90

Invité

Re : Polynome.

Merci Roro pour toutes ces précisions.
Est ce qu'on peut prouver l'exercice par absurde puisque ta démarche ne fonctionne pas ?.
Voici comment je démontre le résultat par absurde,
Par absurde, supposons que, [tex]\forall a \in \mathbb{C}, \exists t \in \mathbb{C} , \forall P_t \in \mathbb{C} [X] \ [/tex] : [tex] \ X^4 + 7 X^3 + t X^2 + 3 X + 6 \neq (X+a) P_t(X)[/tex] Ce qui est faux. Car il suffit, d'effectuer la division Euclidienne de [tex]X^4 + 7 X^3 + t X^2 + 3 X + 6[/tex] par, [tex]X+a[/tex] et choisir [tex]t[/tex] de sorte que, le reste de cette division Euclidienne soit égale à zéro, d'où, [tex]\forall a \in \mathbb{C}, \exists t \in \mathbb{C} , \exists P_t \in \mathbb{C} [X] \ [/tex] : [tex] \ X^4 + 7 X^3 + t X^2 + 3 X + 6 = (X+a) P_t(X)[/tex].

Est ce qu'il est correct mon raisonnement par absurde ?

Merci d'avance.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 780

Re : Polynome.

Bonsoir,

Merci Roro pour toutes ces précisions.
Est ce qu'on peut prouver l'exercice par absurde puisque ta démarche ne fonctionne pas ?

Ce n'est pas que ma démarche ne fonctionne pas : elle prouve que ce que tu veux démontrer est faux !

Roro.

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 499

Re : Polynome.

Bonjour,

Je ne comprends pas le problème posé (celui du message 3) de la même manière.

On a (aux erreurs près) :

x^4 + 7x^3 + t.x^2 + 3 x + 6 = (x+a).[x^3 + (7-a)x^2 + (t - 3a + a^2).x + 3] + (a^4 - 7a³ + a².t - 3a + 6)

Il faut que (a^4 - 7a³ + a².t - 3a + 6) = 0

Il y a quatre "valeurs" de a qui conviennent ... elles dépendent évidemment de t. (Les 4 solutions trouvées par mon singe sont longues ... mais peu importe)

Il suffit alors de remplacer les "a" par une de ces expressions trouvées par le singe dans :

x^4 + 7x^3 + t.x^2 + 3 x + 6 = (x+a).[x^3 + (7-a)x^2 + (t - 3a + a^2).x + 3]

Et on aura Pt(x) = [x^3 + (7-a)x^2 + (t - 3a + a^2).x + 3] ... en ayant remplacé les "a" par une des expressions trouvées par le singe, les coeff de Pt(x) dépendront de t.

Cela ne répond-il pas au problème posé (message 3) ?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 780

Re : Polynome.

Bonjour,

Il y a quatre "valeurs" de a qui conviennent ... elles dépendent évidemment de t.

C'est bien ça le soucis, Renard90 cherche un $a$ qui ne dépend pas de $t$, et je lui ai montré que c'était impossible.

Roro.

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 499

Re : Polynome.

Bonjour,

Il y a quatre "valeurs" de a qui conviennent ... elles dépendent évidemment de t.

C'est bien ça le soucis, Renard90 cherche un $a$ qui ne dépend pas de $t$, et je lui ai montré que c'était impossible.

Roro.

Bonjour,

C'est ton interprétation de l'énoncé... pas la mienne.

Quel que soit le "t" choisi, il existe un "a" tel que ... n'implique pas  que a est indépendant de t.

Pour moi, cela veut dire que : quel que soit "t", il est possible de trouver un "a" tel que ...

Il n'y a pas explicitement la contrainte que le "a" ne peut pas dépendre du t choisi, juste qu'il existe une "valeur" de a pour un "t" choisi.

Il faudrait savoir ce qu'avait en tête l'auteur de la question ... mais cela on ne le saura probablement jamais.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 311

Re : Polynome.

Bonjour,

  Quand même, il est écrit $\exists a,\ \forall t\dots$ qui correspond à l'interprétation de Roro, pas $\forall t,\ \exists a\dots$
qui correspond à la réponse que tu donnes. Pas impossible que l'auteur ait mal recopié l'énoncé, mais vu comme il est écrit dans le premier post, la réponse de Roro est correcte.

F.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 780

Re : Polynome.

Bonjour,

Tu me surprends Black Jack !

Il y a quatre "valeurs" de a qui conviennent ... elles dépendent évidemment de t.

C'est bien ça le soucis, Renard90 cherche un $a$ qui ne dépend pas de $t$, et je lui ai montré que c'était impossible.
Roro.

Bonjour,
C'est ton interprétation de l'énoncé...

Je n'ai pas interprété car l'énoncé est très clair : je reprend le post 3 auquel tu faisais allusion :

Je cherche à montrer que, [tex]\exists a \in \mathbb{C}, \forall t \in \mathbb{C} , \exists P_t \in \mathbb{C} [X] \ [/tex]...

Il n'y a aucune ambiguité sur ce qui est demandé...

Roro.