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Sebastien90

Invité

Prolongement d'un opérateur.

Bonjour,

Pouvez vous m'expliquer la réponse de @remarque sur la page suivante : https://les-mathematiques.net/vanilla/d … teur-trace , affirmant :

Le prolongement, s'il existe, n'a aucune chance d'être de B dans H, mais plutôt de B dans B. Pour qu'il existe, il faut et il suffit que L soit continu sur H pour la norme de B.

Je cherche plus précisément à saisir ce qui est souligné et en gras dans le passage ci - dessus.

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 341

Re : Prolongement d'un opérateur.

Bonjour,
 
  Ne serait-ce pas le théorème de prolongement des applications uniformément continues ?

F.

Sebastien90

Invité

Re : Prolongement d'un opérateur.

Merci Fred.

Comment montrer que si [tex] \mathcal{F} \ : \ L^2 ( \mathbb{R} ) \to L^2 ( \mathbb{R} )[/tex] est un opérateur linéaire qui est le prolongement par continuité d'un opérateur linéaire ''autoadjoint'' [tex]F \ : \ H^1 ( \mathbb{R} ) \to H^1 ( \mathbb{R} )[/tex] tel que, [tex]H^1 ( \mathbb{R} )[/tex] est dense dans [tex]L^2 ( \mathbb{R} )[/tex], alors ce [tex]\mathcal{F}[/tex] est aussi ''autoadjoint'' ?

Merci d'avance.

Sebastien90

Invité

Re : Prolongement d'un opérateur.

Voici comment je propose répondre à cette question :
Puisque [tex]\mathcal{F}[/tex] est le prolongement par continuité de [tex]F[/tex], alors, [tex] || \mathcal{F} ||=|| F || [/tex].
Puisque [tex]F[/tex] est autoadjoint, alors, [tex]||F|| = ||F^*||[/tex].
Puisque [tex]\mathcal{F}[/tex] est le prolongement par continuité de [tex]F[/tex], alors, [tex]\mathcal{F}^* [/tex] est le prolongement par continuité de [tex]F^*[/tex]. D'où, [tex] || \mathcal{F}^* ||=|| F^* || [/tex].
Par conséquent, [tex]||\mathcal{F}||=||\mathcal{F}^*||[/tex].
Comment, en déduire que, [tex]\mathcal{F} = \mathcal{F}^*[/tex] ?

Merci d'avance.

Sebastien90

Invité

Re : Prolongement d'un opérateur.

Bonjour,

Je pense avoir trouvé la réponse. Je m'explique,
Soit, [tex]\mathcal{F}[/tex] le prolongement par continuité de [tex]F[/tex].
Soit, [tex]G[/tex] le prolongement par continuité de [tex]F^*[/tex]
Puisque, le prolongement par continuité d'un opérateur est unique ( D'après le lien de Fred ), et puisque, [tex]F = F^*[/tex] ( [tex]F[/tex] est autoadjoint ), alors, [tex]\mathcal{F} = G[/tex].
Il reste à montrer que, [tex]G = \mathcal{F}^*[/tex] l'adjoint de [tex]\mathcal{F}[/tex] pour en conclure que, [tex]\mathcal{F} = \mathcal{F}^*[/tex], et par conséquent, [tex]\mathcal{F}[/tex] est autoadjoint.
En effet,
Il suffit de montrer que, pour tout, [tex]x,y \in L^2 ( \mathbb{R} )[/tex], [tex]\langle \mathcal{F} (x) , y \rangle = \langle x , G(y) \rangle[/tex].
Soient, [tex]x,y \in L^2 ( \mathbb{R} )[/tex],
Puisque, [tex]L^2 ( \mathbb{R} ) = \overline{H^{1} ( \mathbb{R} ) }[/tex], alors, il existe deux suites, [tex](x_n )_{ n \geq 0 } , (y_n )_{n \geq 0} \subset H^1 ( \mathbb{R} )[/tex], tels que, [tex]x = \displaystyle \lim_n x_n[/tex] et [tex]y = \lim_n y_n[/tex].
D'où, [tex]\langle \mathcal{F} (x) , y \rangle = \langle \mathcal{F} ( \lim_ n x_n ) , \lim_m y_n \rangle = \lim_n \lim_m \langle \mathcal{F} (x_n ) , y_m \rangle = \lim_n \lim_m \langle T (x_n ) , y_m \rangle = \lim_n \lim_m \langle x_n , T^* (y_m) \rangle [/tex]
[tex]= \lim_n \lim_m \langle x_n , G (y_m) \rangle = \langle \lim_n x_n , \lim_m G (y_m) \rangle = \langle \lim_n x_n , G ( \lim_m y_m) \rangle = \langle x , G(y) \rangle [/tex]
D'où, [tex]G[/tex] est un adjoint de [tex]\mathcal{F}[/tex].  CQFD