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ummy

Invité

processus de Poisson composé

Bonjour,

J'aimerais montrer qu'un processus de Poisson composé est un processus à accroissement stationnaires indépendants.
Je sais que c'est un résultat classique mais les preuves que j'ai trouvées étaient soit informelles, soit je ne les comprenais pas.

Pour le côté stationnaire je pense que c'est bon, je suis passée par la fonction caractéristique et le résultat obtenu ne dépend que de la "durée écoulée".

Par contre je ne vois pas trop comment montrer proprement l'indépendance des accroissements.

Merci d'avance pour l'aide !

pentium mix

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Re : processus de Poisson composé

Bonjour,

Un processus ([tex] X_t [/tex]) est un processus de poisson composé s'il s'écrit de la facon suivante:
[tex] X_t [/tex]=[tex]
\sum_{i=1}^{N_t} Y_i
[/tex]
Ou [tex]N_t[/tex] est un processus de poisson de base d'intensité [tex]\lambda[/tex] et [tex] (Y_i)[/tex] est une suite de variables aléatoire independante et identiquement distribuées selon une loi de probabilité quelconque, et in,dépendant de N.
On veux montrer que ce processus à des accroissements stationnaires et indépendants

Partie 1 — Accroissements indépendants
Il s'agit de montrer que :

\[
X(t_1) - X(t_0), \quad X(t_2) - X(t_1), \quad \ldots, \quad X(t_n) - X(t_{n-1})
\]

sont indépendants pour \(0 \leq t_0 < t_1 < \cdots < t_n\).

Démonstration :
Pour tout  \( t_1 < t_2 \leq t_3 < t_4 \) on a :
\[
P(X_{t_4} - X_{t_3} \leq s \cap X_{t_2} - X_{t_1} \leq t)
= P\left( \sum_{i=N_{t_3}+1}^{N_{t_4}} J_i \leq s \cap \sum_{i=N_{t_1}+1}^{N_{t_2}} J_i \leq t \right)
\]
re-indexé les \( J_i \) partant 1 (car les  \( J_i \) sont i.i.d.):
\[
= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} P\left( \sum_{i=1}^{N_{t_4}-N_{t_3}} J_i \leq s \cap \sum_{i=1}^{N_{t_2}-N_{t_1}} J_i \leq t \, \bigg| \, N_{t_4}-N_{t_3} = n \cap N_{t_2}-N_{t_1} = m \right)
\times P(N_{t_4}-N_{t_3} = n, N_{t_2}-N_{t_1} = m)
\]
conditionné par rapport aux valeurs de  \( N(t) \):
\[
= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} P\left( \sum_{i=1}^{N_{t_4}-N_{t_3}} J_i \leq s \cap \sum_{i=1}^{N_{t_2}-N_{t_1}} J_i \leq t \, \bigg| \, N_{t_4}-N_{t_3} = n \cap N_{t_2}-N_{t_1} = m \right)
\times P(N_{t_4}-N_{t_3} = n) P(N_{t_2}-N_{t_1} = m)
\]
\( N(t) \) est a accroissements indépendant:
\[
= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} P\left( \sum_{i=1}^{n} J_i \leq s \cap \sum_{i=1}^{m} J_i \leq t \right) P(N_{t_4}-N_{t_3} = n) P(N_{t_2}-N_{t_1} = m)
\]

\[
= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} P\left( \sum_{i=1}^{n} J_i \leq s \cap \sum_{i=1}^{m} J_i \leq t \right) P(N_{t_4} - N_{t_3} = n) P(N_{t_2} - N_{t_1} = m)
\]

puisque \( J_i \) et \( N(t) \) sont independant:

\[
= \sum_{n=0}^{\infty} P\left( \sum_{i=1}^{n} J_i \leq s \right) P(N_{t_4} - N_{t_3} = n) \sum_{m=0}^{\infty} P\left( \sum_{j=1}^{m} J_j \leq t \right) P(N_{t_2} - N_{t_1} = m)
\]

car les \( J_i \) sont indépendants entre eux:

\[
= P\left( \sum_{i=N_{t_3}+1}^{N_{t_4}} J_i \leq s \right) P\left( \sum_{i=N_{t_1}+1}^{N_{t_2}} J_i \leq t \right)
\]

Après reconditionnement
\[
= P(X_{t_4} - X_{t_3} \leq s) P(X_{t_2} - X_{t_1} \leq t).
\]

Partie 2 — Accroissements stationnaires
Il s’agit de montrer que :

\[
X(t+h) - X(t) = (d) X(h)
\]

Autrement dit, la loi d’un accroissement ne dépend que de la longueur de l’intervalle \(h\), pas du point de départ \(t\).

Pouvez vous s'il vous plait expliquer comment vous avez montrez la stationnarité??
Merci d'avance

Merci de critiquer ce qui est fait plus haut

Dernière modification par yoshi (25-04-2025 16:28:16)