Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 981

Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Bonsoir à tous,

Travaillant avec un élève de Terminale sur une série d'exercices de dénombrement générés par Kwyk, nous nous sommes trouvés gênés par l'exercice suivant :

Dans un jeu de 44 cartes comprenant les valeurs 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As, combien y a-t-il de mains de cinq cartes contenant exactement 1 roi et deux trèfles ?

La difficulté est comment interpréter "exactement un roi et deux trèfles" :
un roi non trèfle, deux trèfles sans le roi, deux cartes parmi les cartes restantes ?
un roi de trèfle, une autre carte de trèfle, trois cartes parmi les autres restantes ?
autre interprétation ?

Quelle que soit l'interprétation utilisée, nous ne trouvons pas une valeur parmi les quatre affichées :
$147 \, 136$,
$99 \, 325$,
$64 \, 233$,
$22 \, 540$, la réponse indiquée comme juste étant $99 \, 325$.

Merci de vos lumières.
Bien cordialement.

Dernière modification par Borassus (28-02-2025 21:46:02)

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 336

Re : Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Bonjour,

  Pour moi, l'interprétation est  :
* ou bien la main comporte le roi de trèfle, dans ce cas, elle comporte encore également un autre trèfle, puis 3 cartes qui ne sont ni un roi, ni un trèfle
* ou bien la main ne comporte pas le roi de trèfle : dans ce cas, elle comporte un roi qui n'est pas le roi de trèfle, un trèfle qui n'est pas le roi de trèfle, et deux cartes qui ne sont ni un roi, ni un trèfle.

En particulier, il y a donc une somme à faire quand on veut dénombrer toutes les mains.

F.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 839

Re : Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Bonsoir Borassus !

Si l'énoncé n'est pas plus précis, j'interprète 1 roi exactement ET 2 trèfles exactement, le reste ni roi ni trèfle.

Puis je fais un arbre des choix. On peut commencer par les rois, puis les trèfles, puis le reste.

Donc 2 branches ...

SOIT RT + 1T parmi 10 + 3 autres parmi 30

SOIT 1R parmi 3 + 2t parmi 10 + 2 autres parmi 30

Sauf erreur (hélas toujours surprenante), et donc à vérifier.

Je ne fais pas les calculs, je suis crevé, bonne nuit !

Bernard-maths

PS : en cas de crevaison, manger des rustines.

---

Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 443

Re : Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Bonsoir,
Il faut corriger une partie du message de Fred :

* ou bien la main ne comporte pas le roi de trèfle : dans ce cas, elle comporte un roi qui n'est pas le roi de trèfle, deux trèfles dont aucun n'est le roi de trèfle, et deux cartes qui ne sont ni un roi, ni un trèfle.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 981

Re : Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Bonjour Fred, Bernard et Michel, bonjour à tous,

Merci de vos réponses.

Sauf erreur de ma part, la réunion des deux cas possibles — la main ne contient pas le roi de trèfle ou la main contient le roi de trèfle — s'écrit
[tex]\displaystyle \binom{3}{1} \times \binom{10}{2} \times \binom{31}{2} + \binom{4}{1} \times \binom{10}{1} \times \binom{30}{3} = 225 \,175[/tex]
valeur qui ne fait pas partie de celles affichées.

Si on ne considère que le premier cas, la valeur correspondante $\displaystyle \binom{3}{1} \times \binom{10}{2} \times \binom{31}{2} = 62 \, 775$ ne figure pas non plus parmi les valeurs affichées.

J'ai toutefois eu plusieurs fois l'occasion de remarquer, alors que j'étais absolument sûr du résultat, que Kwyk génère parfois des valeurs affichées fausses.
Il est donc probable qu'il en soit ainsi avec cet exercice.

Bonne journée de samedi à tous.

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 443

Re : Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Il y a erreur de ta part. Le bon calcul est  :
$$\binom{10}{1}\times \binom{30}{3}+ \binom{3}{1}\times \binom{10}{2}\times\binom{30}{2}$$
Je te laisse voir comien ça fait.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 981

Re : Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Merci, Michel, de cette réponse qui effectivement fournit la valeur $99 \, 325$.

Je n'en comprends toutefois pas la logique :
pourquoi dans le premier terme, qui semble correspondre au cas où la main comporte le roi de trèfle, le total des cartes est de 40 et le total de la main est de 4 cartes ?
et pourquoi dans le second terme, qui semble correspondre au cas où la main contient un roi autre que celui de trèfle, le total des cartes est de 43 ?

Dernière modification par Borassus (01-03-2025 09:31:25)

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 443

Re : Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Dans le premier cas la main de 5 cartes comprend
- le roi de trèfle (aucun choix à faire)
- un trèfle parmi les 10 trèfles hormis le roi
- trois cartes parmi les 30 qui ne sont ni des rois, ni des trèfles.
Je te laisse raisonner dans le second cas.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 981

Re : Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Une fois de plus, tu me fais précieusement avancer dans une compréhension, et donc dans la compréhension que je pourrai ensuite transmettre !
Merci grandement !!

Comme il n'y a qu'un seul roi de trèfle, le tirer correspond à $\displaystyle \binom{1}{1}$
Le total des deuxièmes lignes des combinaisons $\displaystyle \binom{1}{1}$, $\displaystyle \binom{10}{1}$ et $\displaystyle \binom{30}{3}$ — le $k$ de $\displaystyle \binom{n}{k}$ a-t-il un nom spécifique ? — est donc bien égal à 5 cartes tirées.

Ce que tu m'as aussi fait comprendre, c'est qu'il n'est pas nécessaire que le total des premières lignes soit égal à 44.

Dans le second terme, il y a effectivement le choix entre trois rois autres que le roi de trèfle (carreau, cœur et pique), d'où le facteur $\displaystyle \binom{3}{1}$.

Je vais pouvoir expliquer cela à mon élève (et aux suivants, car cet exercice me servira d'exemple pédagogique).
Merci encore !

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 443

Re : Main de 5 cartes parmi 44, exactement un roi et deux trèfles

Avec plaisir.