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#1 31-01-2025 20:16:04

Guilhem
Invité

Série de fourrier

Bonjour,
Je travailles depuis plusieurs jours sur cet exercice où il m'est impossible de retomber sur le AN demandé. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ? Y aurait-il une erreur dans l'énoncé ?

\textbf{Exercice 4 :} Soit \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) l'application \( 2\pi \)-périodique, paire, telle que :

\[
\forall x \in [0, \pi], \quad f(x) = -x^2 + \pi x.
\]

Démontrer que pour tout \( n \geq 1 \), le coefficient de Fourier \( a_n \) de \( f \) est donné par :

\[
a_n(f) = -\frac{2}{n^2} \left( (-1)^n + 1 \right).
\]

#2 01-02-2025 12:31:13

DeGeer
Membre
Inscription : 28-09-2023
Messages : 131

Re : Série de fourrier

Bonjour
Tu as essayé de décomposer l'intégrale puis de faire des intégrations par parties?

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#3 01-02-2025 14:56:38

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 196

Re : Série de fourrier

Bonjour,
je ne trouve pas ce résultat pour les $a_n$. On a vite fait de se tromper avec les signes - qui se cumulent dans ce genre de calcul..

Dernière modification par Zebulor (01-02-2025 14:57:13)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#4 01-02-2025 15:29:52

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 233

Re : Série de fourrier

Bonjour,
A priori, je trouve bien le résultat annoncé, mais j'ai pu me tromper. Guilhem, peux-tu nous donner ton calcul ?
Ah au fait, Fourier a droit à la majuscule de son patronyme, qui n'a pas trois "r".

Dernière modification par Michel Coste (01-02-2025 15:49:45)

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#5 01-02-2025 16:19:10

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 196

Re : Série de fourrier

Re,
après recalcul, je trouve finalement le même résultat qu'au post #1 ... L'erreur est humaine mais ça m'aurait étonné que Michel se trompe..

Néanmoins je me pose une question : dans le post #1 les $a_n(f)$ d'indice impair sont tous nuls. Or la fonction $f$ étant paire, est il possible qu'un seul des $a_n(f)$ soit nul ?

Dernière modification par Zebulor (02-02-2025 16:49:38)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#6 02-02-2025 17:03:50

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 95

Re : Série de fourrier

Bonjour,

Je confirme :
si la fonction f  est impaire,   les an (f) sont tous nuls ( y compris a0 bien sûr)
si la fonction f  est paire, les bn(f) sont tous nuls.

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#7 02-02-2025 19:17:07

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 196

Re : Série de fourrier

Re,
néanmoins $f(x)$ ne s'écrit $\pi x-x^2$ que sur l'intervalle $[0;\pi]$, demi période sur laquelle $a_n(f)$ est calculée... Si bien qu'il me semble que :
$a_n(f)=\dfrac {2}{\pi} \int_0^{\pi}\,(\pi x -x^2) cos(nx) dx$

Et bien que $f$ soit paire, des $a_n(f)$ peuvent être nuls...

Dernière modification par Zebulor (02-02-2025 22:02:43)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#8 03-02-2025 11:46:11

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 95

Re : Série de fourrier

Oui, certains an(f) peuvent être nuls je suis d'accord. Mais tous non.

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#9 06-02-2025 16:36:28

YACOUB CANTOR
Membre
Inscription : 05-02-2025
Messages : 1

Re : Série de fourrier

Bonjour,

J'ai effectué les calculs et je suis bien tombé sur le résultat demandé, je pense qu'il est mieux de nous faire parvenir  la demarche que vous avez menée

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