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#26 29-01-2025 11:03:33

Michel Coste
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Tu te trompes, bridgslam.
Selon toi, la phrase "Les vaches normandes sont les seules vaches à taches" dit que toute vache à tache est une vache normande, mais ne dit absolument pas que toute vache normande est une vache à taches. Donc, selon toi, la phrase "Les triangles obtusangles sont les seuls triangles qui ont trois côtés égaux" est correcte. Chacun appréciera.

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#27 29-01-2025 11:03:44

Borassus
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour Michel, bonjour brigslam, bonjour à tous qui suivez cette discussion vachement intéressante,

Je comprends donc que le fait qu'une vache ait des taches implique qu'elle est normande.
Je comprends aussi (peut-être pas tant que cela du point de vue de la logique formelle) qu'une vache normande n'a pas nécessairement des taches.
Et je comprends aussi qu'une vache non normande n'a pas de taches.
Je suis d'accord aussi avec brigslam : la formulation logique ne va forcément de pair avec l'ambiguïté du langage.

Point important que j'ai compris grâce à vous, c'est qu'une assertion est équivalente à sa contraposée, et que cette équivalence produit une identité entre deux ensembles (ensemble des triangles rectangles, et ensemble des triangles dont le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ; ensemble des vaches à taches, et ensemble des vaches normandes).
Par rapport à cette équivalence, la réciproque est presque accessoire.

La compréhension acquise, à plus forte raison lorsqu'elle est consolidée par de précieux échanges, m'est primordiale car c'est précisément cette compréhension (parfois difficilement) acquise que je transmets ensuite à mes élèves.


Par contre, je ne comprends toujours pas en quoi j'ai pu confondre réciproque et contraposée. Michel m'a bien confirmé que la première phrase représente la réciproque, et que la seconde représente la contraposée, ce que j'avais toujours perçu et compris.

Bonne journée à tous.
Bien cordialement,
Borassus


A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

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#28 29-01-2025 11:13:19

bridgslam
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour,

Une transposition peut-être pour donner à réfléchir, idéale vu le contexte météo actuel:
"Les humains sont les seuls êtres animés à tenir un parapluie".
Lu et interprété simplement en français, sans aucune traduction mathématique instantanée , le signifiant essentiel de cette proposition est que les dauphins , les singes ( encore que...), les huitres, les palourdes, les goélands * etc ... n'utilisent pas cet accessoire.
Mais tout le monde parmi vous tient-il un parapluie?
Mathématiquement, seulement dans un second temps, je peux en tirer juste une inclusion, ou une implication :
$Parapluie \Rightarrow Humain$.
Si par-contre je traduis la phrase mathématiquement en même temps que je la lis, je suis d'accord avec Michel que je n'aboutis pas du tout à la même conclusion ( fausse ici).
Certains peuples n'ont même jamais entendu parler de cet ustensile !
Pour moi soit on lit du français et on l'interprète d'abord comme tel sémantiquement avant éventuellement de se payer le luxe d'une interprétation mathématique, soit on fait les deux en même temps au risque de s'éloigner du sens commun initial.

(*) Goéland se lèche le gland , pas du beau temps, si c'est le cul pas beau non plus !
Dobre dien tovaritch

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#29 29-01-2025 11:21:40

Michel Coste
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

 

Point important que j'ai compris grâce à vous, c'est qu'une assertion est équivalente à sa contraposée, et que cette équivalence produit une identité entre deux ensembles

Absolument pas. Une proposition est équivalente à sa contraposée, et chacune traduit (quand elle est quantifiée universellement) une inclusion d'ensembles, pas une égalité.
C'est la conjonction d'une implication et de sa réciproque, toutes deux quantifiées universellement, qui produit une égalité d'ensembles, comme l'égalité entre l'ensemble des triangles $ABC$ rectangles en $A$ et l'ensemble des triangles $ABC$ qui vérifient $BC^2= AB^2+AC^2$ qui vient du théorème de Pythagore et de sa réciproque. L'implication produit une inclusion dans un sens, sa réciproque l'inclusion dans l'autre sens.

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#30 29-01-2025 11:24:40

Michel Coste
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Je note, bridgslam, que tu estimes bien que la phrase "Les triangles obtusangles sont les seuls triangles qui ont trois côtés égaux" est correcte. Cette phrase est bien une phrase française, n'est-ce pas ?

Dernière modification par Michel Coste (29-01-2025 12:09:07)

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#31 29-01-2025 12:11:24

Borassus
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Michel Coste a écrit :

 C'est la conjonction d'une implication et de sa réciproque, toutes deux quantifiées universellement, qui produit une égalité d'ensembles, [...] L'implication produit une inclusion dans un sens, sa réciproque l'inclusion dans l'autre sens.

Compris ! Merci, Michel !

Donc, pour revenir aux vaches avec taches et aux vaches normandes, la réciproque de " Une vache avec des taches est une vache normande " est fausse si on considère qu'une vache normande n'a pas nécessairement des taches.
[Ajouté] ET les deux ensembles vaches à taches et vaches normandes ne sont pas égaux.

Dernière modification par Borassus (29-01-2025 12:14:25)


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#32 29-01-2025 12:25:25

bridgslam
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour

Les vaches normandes sont les seules vaches sans cornes !
C'est l'exemple de Michel pour les obtusangles transposé aux vaches.
C'est évidemment correct puisqu'il n'y en a pas.
Vu en terme d'ensembles et d'inclusions , l'ensemble vide est inclus dans tout ce qu'on veut, l'assertion reste correcte, ainsi que sa transposée.
Après je ne suis pas un spécialiste de logique  ni des bovins :-), malgré un bon bout de temps passé en Normandie...

Bonne journée
A.


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#33 29-01-2025 12:40:32

Michel Coste
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

"Les vaches normandes sont les seules vaches sans cornes !" : c'est correct selon toi, puisque tu dis qu'il suffit d'une inclusion pour que la phrase soit correcte. Tu dis que "Les vaches normandes sont les seules vaches ayant la propriété Q" signifie "Toute vache ayant la propriété Q est normande".
Cet exemple montre bien que "Les vaches normandes sont les seules vaches ayant la propriété Q"  signifie que les vaches normandes ont la propriété Q, et que les autres ne l'ont pas.
Les échidnés à nez court et les ornithorynques sont les seuls mammifères ovipares.

Dernière modification par Michel Coste (29-01-2025 12:54:14)

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#34 29-01-2025 15:26:55

bridgslam
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour,

@Michel
En conservant la même logique que celle des vaches , ton affirmation que les obtusangles sont les seuls équilatéraux signifie seulement l'assertion "équilatéral implique obtusangle".
Cela est faux géométriquement.
Un triangle obtusangle possède un angle supérieur à un angle droit, on est bien d'accord?
La contraposée est tout aussi fausse:
Tout triangle non obtusangle n'est pas équilatéral.
Au lieu d'avoir des implications vraies avec des vaches, on tombe sur des implications fausses avec ton exemple géométrique.
A mon sens, il n' y a pas d'antinomie, et on peut donc accepter la  sémantique implicative du sens commun, ou l'inclusion a priori stricte en terme ensembliste, sans autre information fournie pour la réciproque.

Je me demande après coup si mon exemple des vaches ne provient pas d'une introduction à la logique dans un tome L1 de la série des bouquins de chez Pearson.
Je vérifierai ... mot à mot comment s'était formulé.
Chaque tome étant conçu de mémoire par une équipe de 5 ou 6 mathématiciens, je doute fort qu'il y ait un syllogisme de leur part.
En algèbre j'étais tombé il y a peu sur des erreurs patentes  sur les groupes et anneaux, mais c'était une auteure unique ( à sa décharge livres excellents par ailleurs à part ces accidents),
mais même multi-auteurs il est sage de vérifier à la virgule près.

Merci à tous pour les échanges fructueux et la patience investie.

Alain, 
PS: [ je vous tiens au courant pour la version littérale "Pearson"]


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#35 29-01-2025 16:02:12

bridgslam
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour,

J'ai pu retouver le passage... :
Page 17 de l'ouvrage L1 Tome 1 éditions Pearson ( qui propose pas mal de tomes par ailleurs)

quid des vaches normandes

Ma mémoire ancienne ne semble pas m'avoir joué de mauvais tours.

J'ai posé la question dans mon entourage, sur ce qu'il comprenait de cette phrase ( sans aucune notion de logique ), c'était bien celle du livre.
Tout le monde s'est vu examiner spontanément et sans indication le cas des vaches non normandes sans autre forme de procès.

Moi, comme conclusion, j'en retire que le langage courant peut conduire, a minima, à avoir des doutes sur le sens logique d'une affirmation, qu'elle soit vraie ou fausse, et surtout si on fait des mathématiques en surcouche...

Alain


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#36 29-01-2025 16:09:48

Michel Coste
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Oui, je voulais écrire ""Les triangles acutangles sont les seuls triangles qui ont trois côtés égaux".
Ceci rectifié, maintiens-tu que cette affirmation est correcte ? Elle devrait l'être, selon toi. À mon avis, personne ne l'accepterait comme telle.
À propos de ton exemple "Les humains sont les seuls êtres animés à tenir un parapluie". Il y a déjà une différence de taille, tenir un parapluie n'est pas une qualité comme avoir des taches ou être ovipare, c'est une action. Mais passons. Franchement, ne trouves-tu pas que cette phrase sonne très bizarrement ? Parce que justement, quand on entend cette phrase, on voit tous les humains tenir un parapluie.
Quand tu dis "Nous sommes les seuls à vivre ça", tu ne dis pas seulement que les autres ne vivent pas ça. Tu dis aussi que ceux que tu englobes dans le "nous" le vivent.
Plus j'y pense, et plus je suis convaincu que tu as tort.

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#37 29-01-2025 16:14:35

Michel Coste
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Et les gens qui ont écrit ce passage du Pearson se trompent aussi.
Quant à ton enquête, quelle question as-tu posé ?
As-tu demandé, après avoir affirmé "Les vaches normandes sont les seules vaches à tache", si une vache normande a des taches ?

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#38 29-01-2025 16:24:40

bridgslam
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour,

Je pouvais aussi signaler en exemple la suite d'implications suivantes qui tient à la subtilité de sens du langage courant, dès qu'on sort  d'un cadre strictement mathématique:
Les choses bon marché sont rares, les choses rares sont chères, donc les choses bon marché sont chères.

Evidemment quelque chose cloche, le sens de certaines propositions joue sur une ambiguïté.

Bonne fin de journée


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#39 29-01-2025 16:43:12

bridgslam
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour,

J'ai simplement posé la phrase, sans aucun ajout, ni remarque annexe, en demandant juste ce que ça voulait dire pour eux.
Ma femme m'a demandé simplement pourquoi je riais aux éclats en tournant dans tous les sens une brique de lait du frigo, ouverte hier pour faire une quiche - ratée soit dit en passant- brique dont le carton offrait des taches noires sur fond blanc (ou vice versa ?) . Il a bien fallu dévoiler le pot aux roses.

Sur l'erreur commise par les auteurs, vue leur compétence générale dans toute la série, et leur nombre, je pense que la probabilité  avoisine celle de rencontrer
une vache à taches belge ou suédoise et franchement je doute qu'ils se soient tous fourvoyés.

Mais je suis d'accord avec toi qu'il reste une mini-dose d'ambiguïté, qui tourne autour du mot "seules" et de sa place dans la phrase.

[la question était pliée si Pearson disait dans leur exemple: les vaches normandes sont les seules à pouvoir porter des taches, mais ça privait l'affaire d'une partie de son sel ( à mon avis) ]

Merci en tous cas  pour tes analyses, toujours judicieuses.
Merci Borassus aussi pour ce débat entre deux visites phocéennes (j'imagine...) . Et quid des vaches marseillaises ?

Alain

Dernière modification par bridgslam (29-01-2025 16:49:41)


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#40 29-01-2025 17:18:00

Michel Coste
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Je reste sur ma faim. Une fois la conclusion obtusangle-acutangle levée, que penses-tu de la phrase

"Les triangles acutangles sont les seuls triangles qui ont trois côtés égaux" ?
Si chacun devait reconnaître qu'il y a dans cette phrase uniquement l'implication équilatéral  ==> acutangle, comme le prétendent les auteurs du Pearson, personne ne devrait voir de problème dans cette phrase.

Bof bof pour l'argument d'autorité sur les auteurs de Pearson. Au minimum, ils ont complètement loupé leur coup en partant de cette phrase pour introduire la notion de contraposée.

Dernière modification par Michel Coste (30-01-2025 00:19:26)

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#41 29-01-2025 18:02:15

bridgslam
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

A mon sens, il n'y a un problème dans cette phrase sur la géométrie que si elle signifie qu'un triangle acutangle est forcément équilatéral, donc selon l'interprétation sémantique que tu souhaites lui attribuer.
L'implication dans l'autre sens est en phase avec l'équipe du Pearson.
Maintenant je reconnais effectivement l'ambiguïté et donc le doute que peut susciter la phrase.
Si je dis "les chiens, les loup, les porcs, les sangliers et les phacochères sont les seuls êtres vivants  à avoir un flair exceptionnel ", c'est une phrase généraliste vissée à une propriété intrinsèque de ces animaux, pas une activité, pourtant il n'est pas certain que le prochain cabot que je vais croiser dans la rue n'aura pas perdu l'odorat.
C'est un exemple bidon, n'étant pas spécialiste de ces questions animales, mais c'est l'idée que je souhaite faire passer, afin de souligner le flou qui règne sur le langage commun.
Par-contre l'implication dont on parles reste d'actualité, et l'autre reste à caution.

Comme j'ai dit je ne suis pas logicien, et sans actions chez Pearson, donc ton avis est aussi valable que le mien.

A.


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#42 30-01-2025 00:08:43

Borassus
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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonsoir, bonsoir,

J'ai bien ri en lisant vos échanges lorsque je suis rentré à mon logement après mes pérégrinations marseillaises.

C'est fou comme une interrogation d'un élève de 4ème a pu générer un tel débat !!
Nous sommes à deux doigts de nous demander si on peut légitimement affirmer que toute vache ovipare espagnole ayant une grand-mère normande pond des œufs obtusangles tachetés portant des parapluies à cornes et bénéficiant d'un odorat exceptionnel.

Je suis d'accord avec Alain : ces échanges montrent toute l'ambiguïté du langage et la difficulté de la traduire selon un formalisme rigoureux.
En particulier, je décèle ici deux difficultés : comme traduire par une implication indiscutable "seul(e)(s)" et "peut" ou "peuvent", par exemple "seuls les triangles acutangles peuvent avoir trois côtés égaux" ?

J'avais par exemple eu à un moment le projet de créer un cours destiné aux juristes et aux avocats portant notamment sur l'attention qu'on doit porter à la négation d'une succession de "et" et de "ou", des indications du type "dans le cas contraire" pouvant donner lieu à un véritable casse-tête en cas de litige.
(J'ai eu aussi l'occasion de traduire un texte commercial juridique de français en russe. Je repérais alors des ambiguïtés qui pouvaient être exploitées par les Russes, sachant à quel point ils peuvent être roublards en affaires. Je téléphonais alors au directeur juridique en lui expliquant les interprétations possibles. "Surtout pas !" me répondait-il immédiatement. Nous revoyions alors le texte en français pour réduire autant que possible les risques d'interprétation roublarde.)


Pour revenir à la question initiale, ce que je retiens de ce débat est que la proposition et sa contraposée sont synonymes, et il peut être plus facile de démontrer la contraposée plutôt que de démontrer la proposition première.
Le fait que la réciproque soit vraie ou non n'a aucune influence sur cette synonymie.
La question posée n'a donc finalement pas lieu d'être.

Bonne fin de soirée, et bonne journée de demain.
Pour ma part, je pars demain à Toulon et embarque en soirée pour Ajaccio.

Bien cordialement,
Boris

(Mon prénom, que je dévoile ici, représente une double non implication : le fait qu'un homme porte ce prénom n'implique pas qu'il soit russe ou d'origine russe (exemple : Boris Vian) ; réciproquement (sic), le fait qu'un homme soit russe ou d'origine russe n'implique pas qu'il soit prénommé Boris.
Comment traduire mathématiquement la non implication ? par un $\Rightarrow$ barré ?
Comment formaliser sa "réciproque" ? voire sa "contraposée" ?)


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