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Laure

Invité

technique de calcul des splines [Résolu]

Bonjour à tous,

Je vous écris afind e vous demander un renseignement concernant le calcul des splines.
En effet, nous avons quelque peu "survolé" cette partie en cours, et je ne sais pas vraiment commencer mon exercice.
De plus, la recherche Google me donne énormément de cours théoriques et quasiment pas d'exemples.
Voici mon problème : j'ai un ensemble de points x situés dans l'intervalle [0;4], avec leurs images, par f(x).
On me demande tout d'abord d'obtenir le système linéaire pour calculer la spline naturelle dans cet intervalle, puis de résoudre ce système et obtenir la valeur des dérivées secondes de la spline en chque point d'interpolation.

Pouvez-vous m'indiquer comment démarrer, s'il vous plait?
Merci d'avance

Barbichu

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Re : technique de calcul des splines [Résolu]

Hello,
S'il s'agit d'une spline cubique, la page de bibmath est relativement bien faite :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … pline.html
Elle t'explique comment obtenir obtenir le système sachant que, comme tu veux une spline naturelle, tu pourras supposer S''(0)=S''(4)=0

Si tu ne vois pas comment commencer ton exercice :
on va nommer [tex]0=x_0 < x_1 < \ldots, x_{n-1}, x_n=4[/tex] tes n+1 noeuds.
Commence par poser pour [tex]i \in \{0,\ldots,n-1\}[/tex], [tex]S_i(x) = a_i x^3 + b_i x^2 + c_i x + d_i[/tex] (interpolation de [tex]f[/tex] sur [tex][x_i,x{i+1}][/tex]
Ensuite en exprimant les valeurs des [tex]S_i[/tex] en les [tex]x_i[/tex] et [tex]x_{i+1}[/tex] ainsi que les phénomènes de continuité des dérivées première et seconde en les noeuds, tu obtiendras des équations en [tex]a_i, b_i, c_i[/tex] et [tex]d_i[/tex] pour tout i.
Reste la condition de naturalité :   [tex]S_0''(0)=S_{n-1}''(4)=0[/tex]
Et tu auras suffisamment d'équations pour résoudre ton système linéaire.

NB : s'il ne s'agit pas d'une spline cubique, dis le nous.
++

Dernière modification par Barbichu (17-10-2008 11:33:05)

Laure

Invité

Re : technique de calcul des splines [Résolu]

Bonsoir Barbichu,

Merci pour ta réponse très complète, cependant j'ai tenté d'appliquer ta méthode à mon problème, et je suis bloquée.
En effet, voici mes points :
x : 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0, ces points ont respectivement pour image par f(x) : 0.0 2.0 36.0 252.0 1040.0

Or, j'ai vu dans le lien qu'on devait avoir un système à 4n-6 équations (donc ici 14), et 4(n-1) inconnues.

Je me suis renseignée auprès de camarades, qui m'ont dit qu'il fallait 6 équations pour l'expression des si, trois équations pour les dérivées premières et trois équations pour les dérivées secondes, mais aussi une équation de la forme s(0)=f(0)(donc = 0), et s(xn)=f(xn)( donc  = 4, ici).

Pourtant, je ne comprends pas pourquoi je trouve plus de 6 équations lorsque je remplace par les valeurs de si avec i appartenant à [0,4]; j'ai en effet 8 équations.

De plus, j'ai une formule "générique" pour les dérivées premières et seconde :
si'(x) = 3aix²+2bix+ci
et pour la dérivée seconde :
si''(x) = 6ai(x)+2bi

Or, si je remplace ces formes par les noeuds, j'aurai bien plus que 3 équations pour la dérivée première et 3 équations pour la dérivée seconde.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait????

Barbichu

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Re : technique de calcul des splines [Résolu]

Hello,
Il y a 5 points, donc 4 intervalles.
On a donc :
* 8 équations pour les [tex]s_i[/tex] (les 2 extrémités de chacun des 4 intervalles), tes camarades ont juste isolés (pourquoi ?) les cas x=0 et x=4.
* 3 pour les dérivées premières (une par noeud intermédiaire,  de la forme [tex]s_i(n_{i+1}) = s_{i+1}(n_{i+1})[/tex]) :
    [tex]3a_0\cdot 1^2+2b_0\cdot 1+c_0 = 3a_1\cdot 1^2+2a_1\cdot 1+c_1[/tex]
    [tex]3a_1\cdot 2^2+2b_1\cdot 2+c_1 = 3a_2\cdot 2^2+2b_2\cdot 2+c_2[/tex]
    [tex]3a_2\cdot 3^2+2b_2\cdot 3+c_2 = 3a_3\cdot 3^2+2b_3\cdot 3+c_3[/tex]
* 3 pour les dérivées secondes (une par noeud intermédiaire, idem mais en utilisant les dérivées secondes)
* 2 équations de naturalité (s"(0) = 0  et s"(4) = 0)
soit un total de 16 équations.
Or il y 4 coefficients à déterminer pour chacun des 4 intervalles : 16 coeffs au total.
T'ai-je éclairé ?
++

Laure

Invité

Re : technique de calcul des splines [Résolu]

Bonsoir barbichu,

Merci pour la clarté de ta réponse, j'ai bien compris maintenant^^

Merci encore!!!
à bientôt!