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Borassus

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La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour à tous !

Question que mon élève de 4ème préféré — celui à qui j'expliquais l'année dernière le développement de la somme de cinq termes élevée à la puissance 4 et à qui j'ai expliqué récemment les formules d'Al-Kashi — et moi nous nous sommes posée hier :

La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Au plaisir de vous lire.
Bonne et fructueuse journée.

PS : Je ne sais si la question a un sens.

PPSS : Posée autrement, la question peut être « Peut-il y avoir contraposée si la réciproque est fausse ? »

Dernière modification par Borassus (23-01-2025 07:57:26)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
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Roro

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour,

Pour moi, la question n'a pas de sens :-p

$\bullet$ La contraposée d'une implication $A\Rightarrow B$ c'est juste $\neg B\Rightarrow \neg A$.

$\bullet$ La réciproque de $A\Rightarrow B$ est $B\Rightarrow A$.

On peut toujours parler de ces choses là indépendamment de la véracité de $A$, $B$, $A\Rightarrow B$, etc.

Après savoir si ces assertions sont vraies, ça dépend évidemment de $A$ et $B$...

Ce qui est certain, c'est que une implication est vraie si et seulement si sa contraposée est vraie, alors que pour la réciproque ce n'est pas toujours le cas.

Des "logiciens" seront beaucoup plus fiables (et clairs) que moi sur ce type de question !

Roro.

Dernière modification par Roro (23-01-2025 08:09:38)

bridgslam

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour,

Une proposition bien formée a toujours un sens, elle est juste vraie ou fausse selon le principe du tiers exclus.

En soi ta question n'a pas de sens.
Par-contre  en terme de véracité :
on a toujours entre deux propositions que l'une des deux implique l'autre.
(cela peut surprendre, mais il n'y a pas de causalité en logique,
par contre en sciences physiques, entre deux phénomènes, il est possible, et même fréquent, qu'aucun des deux n'entraîne l'autre).
Autrement dit si la réciproque d'une implication est fausse, la contraposée est vraie ( synonyme de l'implication).
On pourra aussi s'en persuader en revenant aux tables de vérité.

Bonne journée
A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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agrega_sarrachles_tif

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour,

B = "la contraposée a-t-elle un sens", A = "la réciproque est fausse".
La question est donc de savoir si $A \Rightarrow  B$ ?
Sachant que B est toujours vrai (la contraposée d'une implication existe toujours), la réponse est oui :).

Dernière modification par yoshi (23-01-2025 11:31:27)

Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Merci Roro, bridgslam, agrega_sarrachies-tif de vos retours qui m'ont permis de mieux comprendre les notions de réciproque et de contraposée.

Notre questionnement venait du fait que les formulations de la réciproque et de la contraposée sont en quelque sorte "symétriques".

Par exemple, pour le célébrissime Théorème de Pythagore, la réciproque est « Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors le triangle est rectangle. »

La contraposée est « Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors le triangle n'est pas rectangle. »

Cette symétrie laisse à penser que la réciproque et la contraposée "vont de paire" : si la réciproque est fausse, qu'advient-il de la contraposée ?

Vos explications m'ont permis de comprendre que les propositions qui "vont de paire" sont en réalité la proposition de base et sa contraposée, et non la réciproque et la contraposée, qui sont en fait "découplées".

Merci encore.

Dernière modification par Borassus (23-01-2025 15:49:44)

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bridgslam

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonsoir,

Pour Pythagore, ce n'est pas la contraposée que tu as énoncée, mais justement la réciproque ( par le biais de sa contraposée...
qui lui est équivalente).
Je pense que tu t' emmêles les pinceaux.

A.

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jelobreuil

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour à tous,
Borassus, un détail : dans l'expression "aller de pair", le mot "pair" s'écrit sans "e" : d'après A. Rey, il s'agit de l'adjectif "pair" substantivé au sens (ancien) de "compagnon" ...
Bien amicalement, Jean-Louis B.

Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour Grifgslam, bonjour à tous,

???
J'ai toujours quasi détesté la logique, en dehors de la différence entre $\Longrightarrow$ et $\Longleftrightarrow$.
Là, je sens que je vais détester un peu plus.  :-)

Je lis dans un des manuels de 4ème relativement récent dont je dispose (Collection Myriade de chez Bordas, programme 2016) :

« Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. »

« Réciproque du théorème de Pythagore
Si la carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtes, alors ce triangle est rectangle. »

Sans que la contraposée soit nommée :
« Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce rectangle n'est pas rectangle. »

Ce sont les formulations que j'ai toujours vues dans les notes de cours de mes élèves ou dans les polycopiés de cours.
et ce sont ces formulations que j'explique à mes élèves !

Sur Wikipédia, je lis
« Réciproque du théorème de Pythagore — Si dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté. »

Par contre, la contraposée est formulée différemment :
« Si un triangle ABC n’est pas rectangle en C, alors $AB^2$ n’est pas égal à $AC^2 + BC^2$. »

Dans letudiant.fr, je lis
« La réciproque du théorème de Pythagore est un énoncé qui explore l'inverse de la relation énoncée dans le théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est un triangle rectangle. »
La contraposée n'est par contre pas citée.

Mêmes formulations dans https://clg-france-clayes.ac-versailles.fr/ :
« Réciproque du théorème de Pythagore :
Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. »

« Contraposée du théorème de Pythagore:
Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle, »

Pour Pythagore, ce n'est pas la contraposée que tu as énoncée, mais justement la réciproque ( par le biais de sa contraposée...
qui lui est équivalente).
Je pense que tu t' emmêles les pinceaux.

Oui, maintenant, je m'emmêle les pinceaux ! (Et apparemment, les auteurs des passages cités. :-)
Tu peux expliquer s'il te plaît ?

Bonne et fructueuse journée à tous.

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DeGeer

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour

Si dans un triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $C$, alors $AB^2$ n'est pas égal à $AC^2+BC^2$

Ceci est la contraposée de la réciproque.

Dernière modification par DeGeer (24-01-2025 10:32:18)

Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour DeGeer,

Merci de ta réponse qui amorce un début de compréhension.

Contraposée de la réciproque, et non contraposée du théorème ?

Pourquoi alors la formulation courante — si le carré [...], alors le triangle n'est pas rectangle — est-elle si répandue, alors que, semble-t-il, elle est fausse ??!!

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Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Le sujet est pour moi d'autant plus important que je me base précisément sur les formulations classiques de la réciproque et contraposée du Pythagore pour expliquer ce que sont la réciproque et la contraposée !

Je dois donc bien comprendre ce qu'est la contraposée — j'avoue ne pas avoir fait l'effort auparavant — de façon à montrer en quoi la formulation classique de celle du théorème de Pythagore est erronée et quel raisonnement concret il faut en réalité dérouler.

Je crains toutefois de dérouter les élèves de collège et de lycée qui entendront deux formulations apparemment très différentes. (Ajouté : Mais, bon, cela ne fera qu'une fois de plus où ce que j'explique est sensiblement différent de ce que les élèves apprennent en cours.)

Dernière modification par Borassus (24-01-2025 12:31:57)

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yoshi

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Re,

Ami Borassus, si ça peut te rassurer :
1. Je n'ai jamais dans mes 38 ans de carrière entendu parler de "contraposée de la réciproque", mais nous faisions par contre le distinguo entre réciproque du théorème de Pythagore et contraposée dudit théorème.

2. Nous signalions à certains élèves réfractaires aux consignes que ce qu'ils appelaient "réciproque du théorème de Pythagore", ne l'était pas mais que c'était la contraposée du théorème et qu'ils verraient plus tard - du moins ceux qui continueraient en maths - ce qu'était exactement une contraposée... Ce n'était pas satisfaisant comme distinction - loin de là, mais si nous étions passé outre - nous aurions pris le risque d'être "rattrapés par la patrouille"...

N-B : En Collège, le même  cas se posait aussi pour Thalès et sa réciproque...

@+

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonsoir Yoshissimus,
bonsoir à tous,

Merci de ton message.

N-B : En Collège, le même  cas se posait aussi pour Thalès et sa réciproque...

En fait, c'est précisément à propos de mon cours en avance sur le Théorème de Thalès qu'est née notre interrogation, plus exactement du fait du parallèle entre les deux raisonnements :

• Pour le théorème de Pythagore : « Si la carré [...] est [égal], alors le triangle est rectangle. »
  « Si la carré [...] n'est pas égal, alors le triangle n'est pas rectangle.»

• Pour le théorème de Thalès : « Si deux rapports parmi les trois possibles sont égaux, alors les droites sont parallèles. »
  « Si deux rapports parmi les trois possibles ne sont pas égaux, alors les droites ne sont pas parallèles. »

Par leurs symétries, ces structures de formulation sont facilement compréhensibles, et donc facilement applicables : « si égalité, triangle rectangle ; si non égalité, triangle non rectangle » ; « si égalité, droites parallèles ; si non égalité, droites non parallèles ».
Structures qu'on retrouve dans "la vraie vie" : « si vous avez plus de dix-huit ans, vous pouvez voter ; si vous avez moins de dix-huit ans, vous ne pouvez pas voter. »
C'est sans doute du fait de leur simplicité qu'elles ont tellement été généralisées dans l'enseignement.

2. Nous signalions à certains élèves réfractaires aux consignes que ce qu'ils appelaient "réciproque du théorème de Pythagore", ne l'était pas mais que c'était la contraposée du théorème et qu'ils verraient plus tard - du moins ceux qui continueraient en maths - ce qu'était exactement une contraposée... Ce n'était pas satisfaisant comme distinction - loin de là, mais si nous étions passé outre - nous aurions pris le risque d'être "rattrapés par la patrouille"...

Je préfère effectivement cette attitude : ce n'est pas, au sens rigoureux du terme, une contraposée, mais cette présentation a l'avantage d'être simple.
Selon la formulation "officielle", la formulation du théorème de Pythagore devrait être « Si un triangle n'est pas rectangle, la carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés. »
Et celle du théorème de Thalès devrait être « Si les deux droites ne sont pas parallèles, l'égalité des rapports n'est pas vérifiée. »

Par quel processus les deux inversions se sont faites ?

Bonne soirée à tous.
Bien cordialement,
Bor.

PS : Qu'entends-tu par "rattrapés par la patrouille" ?

Dernière modification par Borassus (24-01-2025 20:13:34)

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Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Wikipédia :
« En mathématiques et en logique, la contraposition transforme une implication « si A alors B » en une implication équivalente « si non B alors non A ». La nouvelle proposition obtenue « si non B alors non A » s'appelle la contraposée de « si A alors B ».

Bibmath :
Soient deux propriétés $P$ et $Q$. La contraposée de la proposition $P \Rightarrow Q$ est la proposition $\text {non Q} \Rightarrow \text {non P}$.

Bonjour

Si dans un triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $C$, alors $AB^2$ n'est pas égal à $AC^2+BC^2$

Ceci est la contraposée de la réciproque.

Au secours !! Vous pouvez m'expliquer ??

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yoshi

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Ave Gospodin (ou tovaritch au sens premier du terme) Borassus,

Peut-être le sais-tu (ou pas), le prof est sujet à deux notations :
- l'une dite "administrative" est donnée par le chef d'Etablissement : j'ai connu le cas de l'un d'entre eux qui avait fait signer son rapport à l'un d'entre eux (assez agréable à lire pour lui) et s'était aperçu fortuitement plus tard que le chef établissement en avait transmis une autre version (sans sa signature et moins agréable) à sa hiérarchie... Cela avait fait du bruit à l'époque, car bien entendu, mon collègue s'était alors rebiffé..
- l'une "pédagogique" délivrée par un IPR (Inspecteur Pédagogique Régional) qui est prise en compte dans le calcul de ta vitesse d'avancement (montée d'échelon donc d'indice, donc de salaire) et là, c'est une autre paire de manches...
Certains IPR sont compréhensifs,, on peut débattre avec eux, s'expliquer lors de l'entretien de fin d'Inspection, d'autres hélas qui pensent détenir LA Vérité et pondent des rapports incendiaires sur tes compétences avec une note pédagogique en rapport... Là est est le sens de "rattrapé par la patrouille"... Si tu es, comme je l'ai été en fin de carrière, un peu borderline, et que tu prends - selon tes classes - quelques menues libertés avec le mantra dont ils sont porteurs :
- N'utiliser que des nombres fréquentables (??) - sic -,
- Ne pas enseigner à un niveau n+1 quand on est à un niveau n...

Le 2e commandement a des raisons d'être, bien sûr... Mais avec du cran et un peu de préparation, de choix parfaitement justifiés de ta part et l'état d'esprit qui anime l'IPR, tu peux "échapper à la Patrouille".
Exemple de transgression, mais avec une "bonne" classe", pour pimenter in peu, élargir les horizons et à ne pas donner en Interro :
Montrer comment on peut (ou pas) factoriser une expression, du 2nd degré à une inconnue en utilisant la forme canonique... sans utiliser le terme bien sûr...
Je présentais ça comme une prolongation "naturelle" de l'intérêt du produit remarquable "Différence de 2 carrés"...
L'idée m'est venue un jour que pour la n_ième fois, j'avais répété :
*En face d'une telle expression, ne vous précipitez pas sur le développement, pensez à la factorisation d'abord ! Dans la plupart des problèmes à résoudre avec mise en équation qui vous seront présentés, la factorisation sera simple, mais parce que voulu telle et à votre niveau...
Par contre, si vous développez, vous risquez fort de ne plus être capables de factoriser...
Vous devriez pour ce faire, utiliser des méthodes que vous êtes susceptibles de rencontrer plus tard des moyens que vous jugeriez pas si "évidents" que ça...
Je vais vous en présenter un...
Je ne sais plus si  17 ans après sont les mêmes mots que j'employais, mais l'esprit y est.
C'est à cela que je pense quand je parle de préparation : assurer ses arrières pour ne pas avoir à improviser des justifications en face d'un IPR...

@+

[EDIT] Désolé de ne pouvoir répondre à ta demande de secours...

Dernière modification par yoshi (25-01-2025 11:30:32)

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Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Zdrastvouï cher Yoshissime,

Merci pour tes deux qualificatifs, avec la précision ad hoc vis-à-vis du second.  :-)

Si tu es un peu borderline

Un peu ? Que voilà un "un peu" un peu faible !  :-)
Je ne suis pas "un peu" borderline, je le suis totalement !
Et je suis totalement contre-opposé :-) au cloisonnement des notions par niveaux :

Exemples de borderlaïnité mathématique et de transgression totale des niveaux n, parmi beaucoup d'autres, que ce soit en cours particuliers ou en stage, niveaux Collège et Lycée confondus :

• faire calculer des développements fantaisistes à trois parenthèses et trois variables, chacune comportant trois ou quatre termes ;

• expliquer le principe du développement d'une somme de plusieurs termes élevées à une puissance quelconque (par exemple une somme de cinq termes élevée à la puissance 4) ;

• dépasser le Théorème de Pythagore en montrant les formules d'Al-Kashi ;

• faire écrire la dérivée seconde, voire la dérivée tierce, d'un produit de trois fonctions ;

• expliquer les développements limités et en série, courbes à l'appui ;

• faire écrire les dérivées partielles d'une fonction composée fantaisiste à deux ou trois variables ;

• expliquer le cercle trigonométrique complet : cosinus, sinus, mais aussi tangente, cotangente, sécante, cosécante et demander de démontrer par Thalès et Pythagore les valeurs de celles-ci ;

• expliquer les fonctions exponentielles et logarithmes de base quelconque ;

• expliquer le principe de la racine carrée d'un nombre négatif, et donc introduire la notion de nombres complexes ;

• demander de placer précisément un point de coordonnées du style de $\left( -1 + \sqrt {2} \; ;\: 2 + \dfrac{\sqrt {3}}{4} \right)$ ;

• expliquer à l'aide de morceaux de sucre construisant un parallélépipède le principe des intégrales doubles et triples (je suis sûr qu'on peut faire construire à des enfants de Maternelle un pavé droit avec des cubes en les plaçant dans l'ordre des trois axes) ;

• pour les élèves de Terminale, faire calculer des intégrales doubles ou triples ;

• etc.

Je suis absolument persuadé, pour l'avoir expérimenté mainte et mainte fois, en cours particuliers, en stage et en classe, que les élèves peuvent encaisser et comprendre BEAUCOUP PLUS, et avec un réel plaisir, que ce qu'on leur apprend par ce cloisonnement des notions qu'on leur impose, et que la compréhension ne doit pas se faire à partir d'exemples simples, mais bien à partir d'exemples délirants.

Combien je suis heureux de ne pas être soumis à inspection !!
Non seulement l'inspecteur aurait sur place une apoplexie, mais dans l'heure qui suivrait son départ, je recevrai la visite de deux solides gaillards en blouse blanche me demandant de les suivre calmement et m'assurant que tout se passera bien.  :-)
____________

Dernièrement, mon élève de Quatrième a montré notre cahier de travail à son prof. (A ma connaissance, il est le seul parmi mes élèves à l'avoir fait.)
Le prof était complètement abasourdi : « C'est pas possible !! C'est complètement fou !! Comment un élève de Quatrième peut comprendre ça ?? »

Bonne seconde partie de journée à tous.

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Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonsoir à tous,

Si dans un triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $C$, alors $AB^2$ n'est pas égal à $AC^2+BC^2$

Ceci est la contraposée de la réciproque.

Bonsoir DeGeer,
Je crois avoir compris ce que tu voulais dire: ton indication soulignait le fait que la proposition de Wikipédia était fausse. Cette proposition n'est en effet pas la contraposée du théorème de Pythagore, mais bien la contraposée de la réciproque.

En effet, si on admet que La contraposée de la proposition $P \Rightarrow Q$ est la proposition $\text {non Q} \Rightarrow \text {non P}$, la contraposée de la réciproque $Q \Rightarrow P$ est $\text {non P} \Rightarrow \text {non Q}$

La contraposée est « Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors le triangle n'est pas rectangle. »

Pour Pythagore, ce n'est pas la contraposée que tu as énoncée, mais justement la réciproque ( par le biais de sa contraposée...
qui lui est équivalente).
Je pense que tu t' emmêles les pinceaux.

Bonsoir bridgslam,
Je ne comprends toujours pas ce que tu as voulu dire.
Peux-tu expliquer s'il te plaît ?

Borassus, un détail : dans l'expression "aller de pair", le mot "pair" s'écrit sans "e" : d'après A. Rey, il s'agit de l'adjectif "pair" substantivé au sens (ancien) de "compagnon" ...

Bonsoir Jean-Louis,
J'avais effectivement hésité et il me semblait que la bonne écriture est "aller de pair". Mais quand j'ai saisi "aller de pai" dans Google, j'ai vu s'afficher plein de réponses avec cette écriture. J'en ai conclu que c'était la bonne, sans aller au-delà.
Merci de cette rectification que je n'avais initialement pas vue.

Dans letudiant.fr, je lis
« La réciproque du théorème de Pythagore est un énoncé qui explore l'inverse de la relation énoncée dans le théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est un triangle rectangle. »

Je viens de remarquer l'erreur : tant qu'on n'a pas vérifié l'égalité, on ne sait pas qu'il s'agit d'un triangle rectangle. On ne peut donc utiliser le terme "hypoténuse".

Tout L'ÉTudiant qu'il soit, il peut écrire une affirmation fausse.

Bonne fin de dimanche à tous, et bonne et fructueuse semaine naissante.
(Pour ma part, je vais demain me réchauffer au soleil de Marseille pendant trois jours. De là, je vais peut-être me rendre en Corse où je ne suis jamais allé. J'abandonne donc mes chers élèves pour une dizaine jours, ce qui m'est toujours difficile. Mais je dois vivre aussi un peu pour moi.)

Dernière modification par Borassus (26-01-2025 18:19:07)

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bridgslam

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonsoir,

J'ai voulu dire ce que t'as redit par la suite De Geer:
Tu as cru à moment donné énoncer la contraposée d'une implication (sans intérêt sauf en phase de recherche de preuve,
vu que c'est équivalent), alors qu'il s'agissait de la contaposée de la réciproque, équivalente à la réciproque, et là ça apporte quelque chose.
"Les vaches normandes sont les seules vaches à taches".
C'est une implication déguisée par le langage courant.
Si je dis ensuite que les vaches non normandes n'ont pas de taches, c'est la contraposée, elle ne fait que "radoter".
Si par-contre je précise que si une vache est  normande alors elle a des taches, c'est la réciproque, les deux réunies permettant de conclure l'égalité entre l'ensemble des vaches normandes et celui des vaches à taches.

Bon voyage
A.

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Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour brigslam, bonjour à tous,

Merci pour ta réponse.

Je percevais intuitivement que les phrases " Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle " et " Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle " disent fondamentalement la même chose. Ce serait donc les deux formulations de la même réciproque ?

La contraposée du théorème de Pythagore serait donc " Si le triangle n'est pas rectangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres. ", ce qui établirait la correspondance entre l'ensemble des triangles rectangles et l'ensemble des triangles dans lesquels le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
A moins que ce soit précisément la réciproque ??

Pourquoi lit-on si fréquemment que la réciproque de la proposition $P \Rightarrow Q$ est $Q \Rightarrow P$, et que la contraposée de cette proposition est $\text {non Q} \Rightarrow \text {non P}$ ?

Quelles sont en définitive la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore (avec ou sans taches) ?

Comme l'écrit dans sa signature un certain Borassus, à condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension : il faut commencer par ne pas comprendre pour finalement comprendre.

Bonne et fructueuse journée à tous.

PS : Merci pour ton "Bon voyage".

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Michel Coste

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour,

Je percevais intuitivement que les phrases " Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle " et " Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle " disent fondamentalement la même chose. Ce serait donc les deux formulations de la même réciproque ?

Non. La première phrase est la réciproque de Pythagore, la deuxième est la contraposée de Pythagore, équivalente à Pythagore. Elles ne disent pas la même chose.

La contraposée du théorème de Pythagore serait donc " Si le triangle n'est pas rectangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres. "

Non, cette phrase est la contraposée de la réciproque (ou la réciproque de la contraposée, c'est kif-kif) de Pythagore. Elle est donc équivalente à la réciproque de Pythagore.

Pourquoi lit-on si fréquemment que la réciproque de la proposition $P \Rightarrow Q$ est $Q \Rightarrow P$, et que la contraposée de cette proposition est $\text {non Q} \Rightarrow \text {non P}$ ?

Si par "cette proposition" tu fais référence à $P\Rightarrow Q$, alors on lit ça fréquemment parce que c'est exact.

Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonjour Michel, et merci de ta réponse qui me remet la tête à l'endroit.

Donc mes phrases

Par exemple, pour le célébrissime Théorème de Pythagore, la réciproque est « Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors le triangle est rectangle. »

La contraposée est « Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors le triangle n'est pas rectangle. »

étaient bien exactes si on considère que $P$ est  " le triangle est rectangle ", et $Q$ est " le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ".

Je comprends aussi tout à fait, comme je l'ai écrit plus haut, que l'intervention de DeGeer soulignait que l'affirmation de Wikipédia " Si un triangle ABC n’est pas rectangle en C, alors  AB² n'est pas égal à AC² + BC² " ne traduit pas la contraposée, mais bien la contraposée de la réciproque.

Mais je continue à ne pas comprendre la réponse de A., alias brigslam,

Pour Pythagore, ce n'est pas la contraposée que tu as énoncée, mais justement la réciproque ( par le biais de sa contraposée...
qui lui est équivalente).
Je pense que tu t' emmêles les pinceaux.
A.

qui m'a effectivement emmêlé les pinceaux.

Sur ce je repars me promener dans Marseille.
Ce matin, je suis monté jusqu'à Notre-Dame de la Garde. Une splendeur !
Là je vais aller au Palais du Pharo.

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Borassus

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Dans l'exemple de la vache normande, qu'est-ce que $P$ et qu'est-ce que $Q$ ?

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Michel Coste

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

"Les vaches normandes sont les seules vaches à taches". C'est une implication déguisée par le langage courant. Si je dis ensuite que les vaches non normandes n'ont pas de taches, c'est la contraposée, elle ne fait que "radoter". Si par-contre je précise que si une vache est  normande alors elle a des taches, c'est la réciproque, les deux réunies permettant de conclure l'égalité entre l'ensemble des vaches normandes et celui des vaches à taches.

La phrase citée veut dire que les vaches normandes sont à taches, et que ce sont les seules. Elle établit donc une équivalence entre "vache normande" et "vache à taches". Je ne suis donc pas d'accord avec le commentaire de bridgslam. Je le serais s'il avait formulé sa phrase comme suit "Les seules vaches à taches sont normandes" ; ici, il s'agit bien de l'implication $P\Rightarrow Q$ où $P$ est "la vache a des taches" et $Q$ est "la vache est normande", quantifiée universellement sur les vaches.

bridgslam

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonsoir,

Pas besoin dans ce cas du mot "seules" dans ta reformulation,
dès lors que  vache à taches implique normande.
C'est l'emploi du mot "seules" dans ma formulation qui permet de lui donner son sens d'implication ( unilatéral).
Ça ne dit pas :

- les vaches normandes sont à taches
- ce sont les seules

Et donc , dit en un seul jet,  ça ne dit pas du tout que les vaches normandes sont à taches.
Question de sémantique du français assez subtile, et donc je ne suis pas d'accord avec toi non plus.

"Il n'y a pas d'autre race de vaches que les normandes qui soient à taches" est équivalent à ma formulation, là encore ça ne dit jamais que toutes les normandes sont à taches.
La locution "pas d'autre" est le renvoi ( ou le miroir) de "seules".

C'est sans doute pour éviter ce piège qu'il vaut mieux éviter les mots.
Pas d'accord donc pour découper une phrase automatiquement, associer un sens individuel aux tronçons, par réflexe mathématique, mais qui ne correspond alors plus à son sens originel ( lié à l'ordre des mots, sans parler de l'intonation, accents  ... quand c'est verbal)

A.

Dernière modification par bridgslam (29-01-2025 00:27:08)

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Re : La contraposée a-t-elle un sens si la réciproque est fausse ?

Bonsoir,

@Borassus
Vue la chronologie de mon message, je ne pense pas que c'est mon intervention qui t'ait emmêlée les pinceaux, mais bien l'inverse, à savoir confondre réciproque et contraposée, ce que Michel t'a réexpliqué ( et certes sans doute beaucoup mieux que moi).
Désolé par-contre si ça n'a pas été aussi limpide pour toi que voulu.

Bonnes visites
A.

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