Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Tamim

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Rang de matrices

Bonjour,

En regardant le corrigé d’un exercice sur des calculs de rang de matrices, il y a quelque chose que je n’arrive pas à comprendre:
\textbf{Énoncé} :

Soit $A$, $B$ et $M$ trois matrices carrées réelles.

Déterminer en fonction des rangs de $A$ et $B$ le rang de :
$\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$

Corrigé:
« Un raisonnement sur les colonnes (notations évidentes) donne :
\[
\text{rg}(M) = \dim \text{Vect} \{ A_1, \ldots, A_n, B_1, \ldots, B_n \} = \dim \left[ \text{Vect} \{ A_1, \ldots, A_n \} + \text{Vect} \{ B_1, \ldots, B_n \} \right].
\]
Donc :
\[
\text{rg}(M) \leq \dim \text{Vect} \{ A_1, \ldots, A_n \} + \dim \text{Vect} \{ B_1, \ldots, B_n \} = \text{rg}(A) + \text{rg}(B),
\]
et on n'a pas mieux. »

En fait, ce qui m’interpelle est que vu la tête des deux premières colonnes (des 0 en positions complémentaires), il ne peut pas y avoir de dépendance linéaire entre les colonnes de A et les colonnes de B. Donc l’égalité est atteinte non?

Eust_4che

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Re : Rang de matrices

Bonjour,

Il y a un problème au niveau des indices. Il n'y a pas de raison dans l'énoncé que $A$ et $B$ ait le même nombre de colonne $n$.

Je pense que le nombre de ligne de $M$ n'est pas : $ \textrm{nombre de ligne de}\,A + \textrm{nombre de ligne de}\, B$. Il y a sans doute un chevauchement.

Tamim

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Re : Rang de matrices

Bonjour Eust_4che, merci beaucoup pour ta réponse.

gab666

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Re : Rang de matrices

Bonjour,

Je crois que le principe même soit que une matrice nulle de taille [tex] m \times n [/tex] en bas à gauche et [tex] n \times m [/tex] en haut à droite de manière à ce qu'il y'ai pas de regroupement ils veulent juste que M soit diagonale par blocs.

Ensuite tu raisonne sur le noyau et tu montres que [tex] M X = 0_{n+m} \Leftrightarrow  (A X = 0_n) \wedge (B X = 0_m) [/tex], les noyaux de A et B sont orthogonaux donc la dimension du noyau de M est la somme des dimensions des autres noyaux par théorème du rang le rang de M est égal à la somme des rangs de A et de B.

Si je me trompe et qu'il y a chevauchement avec M de taille [tex] p [/tex] par exemple, de manière analogue tu aurais [tex] rang(M) = rang(A) + rang(B) [/tex] si [tex] p \ge m + n [/tex]. Dans les autres cas tu t'intéresses au bloc qui se chevauche qui est lui de taille [tex] m + n - p [/tex] tant que [tex] m+n \ge p \ge max(n,m) [/tex]. Et tu traites le pire cas (le chevauchement supprime des dimensions de A et de B) et le meilleur cas (le chevauchement ajoute des dimensions à A et B) puis tu raisonnes sur les conséquence sur le rang de M pour lui donner un encadrement.

Dernière modification par gab666 (19-01-2025 11:55:20)

paskaljean

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Re : Rang de matrices

Bonjour,

Une idée pour simplifier, c'est de poser clairement chaque cas (sans trop mélanger tout dès le début). Genre, tu définis d’abord le cas simple où les blocs ne se chevauchent pas, puis tu détailles ensuite ce qui se passe quand il y a chevauchement. Ça rend les implications sur le rang de M plus faciles à suivre, surtout si t’essayes de montrer les extrêmes (meilleur/pire cas).

Apprendre à clarifier ses idées, structurer ses pensées, et éviter de partir dans tous les sens. Une fois que tu maîtrises ça, que ce soit pour de la théorie des matrices ou autre, ça devient beaucoup plus fluide. Je dis ça parce que j’ai vu des trucs intéressants récemment sur le sujet via https://www.risinguparis.com/soft-skills-enrichissement (façon soft skills pour améliorer tes raisonnements dans des cas complexes).

Dernière modification par paskaljean (21-02-2025 09:09:58)