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Borassus

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Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Bonjour à tous,

Pour expliquer la notion de nombre dérivé au voisinage d'une valeur $v_0$ de la variable, je compte partir du fait que le taux d'accroissement $\left( \dfrac {\Delta f}{\Delta v} \right)_{v_0}$ peut être écrit sous la forme d'une expression en $v_0$ plus un polynôme en $\Delta v$.

Par exemple :

• $\left( \dfrac {\Delta v^n}{\Delta v} \right)_{v_0} = nv_0^{n - 1} + P_1(\Delta v)$    où $P_1(\Delta v)$ est défini par la formule du binôme

• $\left( \dfrac{\Delta \sqrt[n]{v}}{\Delta v} \right)_{v_0} = \dfrac 1 n \times \dfrac {1}{v_0 \:^{\frac{n - 1}{n}}} + P_2(\Delta v)$    où $P_2(\Delta v)$ est déterminé par la série binomiale généralisée

Ma question, pour ma propre gouverne, est la suivante :

Puis-je affirmer que le taux d'accroissement au voisinage d'une valeur $v_0$ de la variable peut toujours être exprimé sous la forme d'une expression en $v_0$ plus un polynôme en $\Delta v$ ?

Si oui, pourquoi ?
(Sans passer par les développements limités ou en série qui font intervenir les dérivées successives en $v_0$ : cela reviendrait à expliquer la notion de nombre dérivé en utilisant la notion de nombre dérivé.)

Merci de vos précieuses explications.

Dernière modification par Borassus (17-01-2025 13:21:29)

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Roro

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Bonjour,

Je suis sans doute pas bien réveillé mais j'ai du mal avec tes notations, ce qui fait qu'il m'est vraiment difficile de répondre.

Pour moi, un taux d'accroissement d'une fonction $f$ est un quotient de la forme $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$. Il dépend de $a$ et de $b$.

Quand tu écris $\Big( \frac{\Delta f}{\Delta v}\Big)_{v_0}$ que veux-tu dire ?  J'imagine que c'est le quotient $\frac{f(v_0+\Delta v)-f(v_0)}{\Delta v}$...

Pour répondre à ta question, je dirai non car sur l'exemple de la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3$, on a
$$ \Big( \frac{\Delta f}{\Delta v}\Big)_{v_0} = 3v_0^2 + 3v_0 \Delta v + (\Delta v)²$$
et la partie $3v_0 \Delta v + (\Delta v)²$ dépend de $v_0$.

Roro.

Dernière modification par Roro (17-01-2025 14:10:37)

Borassus

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Merci Roro de ta réponse,

J'imagine que c'est le quotient $\frac{f(v_0+\Delta v)-f(v_0)}{\Delta v}$

Oui, tout à fait.

Ma question était « Puis-je affirmer que le taux d'accroissement au voisinage d'une valeur $v_0$ de la variable peut toujours être exprimé sous la forme d'une expression en $v_0$ plus un polynôme en $\Delta v$ ? »
(J'aurais dû préciser « par puissances croissantes de $\Delta v$ et sans terme constant ».)

Dans l'exemple que tu proposes, il s'agit bien d'un polynôme du second degré en $\Delta v$.
Que l'un de ses deux coefficients dépende de $v_0$ n'importe pas.

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Borassus

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Pour être plus précis, et plus rigoureux, « au voisinage d'une valeur $v_0$ de la variable » signifie « et donc pour $\Delta v$ suffisamment petit ».

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Michel Coste

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Bonjour,
Polynôme ou série ? Et puis quid de $x\mapsto \exp(-1/x^2)$ en $0$, par exemple ?

Borassus

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Soit par exemple la fonction cosinus.

Le taux d'accroissement est égal à $\dfrac {\cos(v_0 + \Delta v) - \cos v_0}{\Delta v} = \dfrac{\cos v_0 \cos \Delta v - \sin v_0 \sin \Delta v - \cos v_0}{\Delta v} \approx \dfrac{\cos v_0 \left(1 - \dfrac{(\Delta v)^2}{2} \right) - \sin v_0 \Delta v - cos v_0}{\Delta v}$

$= - \sin v_0 - \dfrac {\cos v_0}{2} {\Delta v}$

ce qui confirme la structure évoquée.

Donc, contrairement à ce que j'écrivais dans mon post initial, il faut utiliser les développements limités.

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Borassus

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Bonjour,
Polynôme ou série ? Et puis quid de $x\mapsto \exp(-1/x^2)$ en $0$, par exemple ?

Bonjour Michel,

Merci de ton intervention, toujours enrichissante.

Polynôme dans le cas d'une fonction puissance. Série dans les autres cas. (Ou polynôme si on limite la série à un certain rang.)

Il faut bien sûr préciser « à certaines restrictions concernant la valeur $v_0$ près ».

PS : La courbe correspondante est assez mignonne (avec un "trou" en $(0 , 0) )$ :

Dernière modification par Borassus (17-01-2025 17:43:18)

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Borassus

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Il faut bien sûr préciser « à certaines restrictions concernant la valeur $v_0$ près ».

La première d'entre elles étant bien évidemment que la fonction soit calculable en $v_0$.

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Borassus

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Bonsoir,

J'ai testé tout à l'heure pour la première fois cette approche auprès d'un élève de Première en lui demandant d'admettre pour l'instant que si une fonction est indéfiniment dérivable en une valeur $v_0$, elle peut être approximée sous la forme $f(v_0)$ plus un polynôme par puissances croissantes de  $ \Delta v$, exemples graphiques d'approximations améliorées successives de courbes à l'appui. (J'explique les développements limités dès la Première.)

Ce qui permet d'écrire le taux d'accroissement sous la forme d'une constante dépendant de $v_0$ plus un polynôme en $\Delta v$, et donc de donner un autre sens au nombre dérivé.

Cela semble bien passer, et l'élève a facilement compris que les puissances croissantes de $\Delta v$ sont très rapidement négligeables lorsque l'accroissement est très petit.

Demain — oui, j'ai cours aussi le dimanche — je testerai mon approche auprès de deux élèves de Terminale.

Bonne soirée.
Bien cordialement.

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Borassus

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

L'élève m'a demandé si une fonction dérivable jusqu'à un ordre $k$ peut ne pas être dérivable à partir de l'ordre $k + 1$.

C'est une question que je me suis aussi posée.

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Roro

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Bonsoir,

Je vais essayer de te (faire) construire un exemple :

1° Tu connais une fonction continue mais non dérivable : la valeur absolue définie par
$$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &x \quad &&\text{si $x\geq 0$}\\ &-x \quad &&\text{si $x< 0$}\end{aligned}\right.$$

2° Si tu intégres cette fonction, tu peux construire une primitive à gauche et à droite de $0$ qui se recolle en une fonction dérivable, mais pas deux fois dérivable (puisque sa dérivée est $f$) :
$$g(x)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{x²}{2} \quad &&\text{si $x\geq 0$}\\ &-\frac{x²}{2} \quad &&\text{si $x< 0$}\end{aligned}\right.$$

3° Tu peux encore intégrer une fois et obtenir une fonction deux fois dérivable mais pas trois...

Dessiner les fonctions en question est souvent intéressant...

Roro.

Dernière modification par Roro (18-01-2025 21:18:03)

Borassus

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Merci, Roro, de cette intéressante réponse.

Voici les trois courbes : en bleu la courbe $y = |x|$ ; en rouge la courbe des deux primitives premières ; en vert la courbe des deux primitives secondes.

Je modifie donc ma question : une fonction non définie par morceaux peut-elle être dérivable à l'ordre $k$, mais pas à l'ordre $k + 1$ ?

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Re-bonsoir,

Qu'est ce que veut dire "définie" par morceaux ?

Je peux sans problème te définir les fonctions précédentes sans "morceaux" si tu veux bien croire que la fonction valeur absolue n'est pas définie par morceaux. On a donc

$$f(x)= |x| \qquad \text{et} \qquad g(x) = \frac{x|x|}{2}.$$

Après si tu me demandes de n'écrire que des polynômes je vais être coincé car ils sont tous de classe $\mathcal C^\infty$...

Roro.

P.S. Si tu n'acceptes pas la valeur absolue $|x|$, je te propose de la remplacer par $\sqrt{x²}$.

Dernière modification par Roro (18-01-2025 22:10:45)

Borassus

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Re : Taux d'accroissement en $v_0$ égal à $g(v_0) + P(\Delta v)$

Effectivement !

Je n'avais pas eu l'idée d'intégrer directement $|x|$, puis d'intégrer directement $\dfrac {x|x|}{2}$. (Je ne savais d'ailleurs pas qu'on pouvait le faire.) J'avais donc pour les deux primitives séparé les intervalles $x \le 0$ et $x \ge 0$.

Dernière modification par Borassus (18-01-2025 22:22:30)

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