Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ybebert

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Equa diff [Résolu]

Bonjour,

J'ai une équa diff du type y' = -k y² à résoudre (k étant réel)

je sais plus trop comment on fait pour résoudre ça. Si quelqu'un a une piste, merci d'avance...

A+

[EDit @ yoshi]
Sujet déplacé dans le forum ad hoc. Merci Barbichu...

Barbichu

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Re : Equa diff [Résolu]

Hello,
Sur un intervalle ou y ne s'annule pas, (et je suppose que k est non nul)
ça se récrit -y'/y² = k ou encore (1/y)' = k
les solutions de cette dernière équations sont de la forme y(x) = 1/(kx + C) qui est définie sur IR privé de -C/k.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz nous garanti (l'existence et) l'unicité d'une solution maximale pour un problème de Cauchy donné (Pb de Cauchy = equadiff + condition initiale).
Ainsi si notre condition initiale est y(a) = b avec b non nul, on en tire la valeur de C et on connait alors y sur la composante connexe de son domaine qui contient a. (PS : attention, on ne connaît alors pas complètement y)
Si on a y(a) = 0 alors notre solution est nulle (car la solution nulle convient et est maximale + unicité)

Sauf erreur de ma part
++
PS : ça n'a rien à faire dans collège-lycée !

Dernière modification par Barbichu (15-10-2008 16:44:36)

ybebert

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Re : Equa diff [Résolu]

Merci Barbichu, mais comment fait-on pour montrer que les solutions de -y'/y² = k
sont de la forme y(x) = 1/(kx + C) , je vois pas trop comment faire...

Merci de ton aide
A+

yoshi

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Re : Equa diff [Résolu]

Salut à toi Ybebert,

Tout d'abord,

[tex]{-}\frac{y'}{y^2}\,=\,\left(\frac{1}{y}\right)'[/tex]

qui est une formule classique des dérivées.

Donc, si la dérivée de 1/y est une constante, c'est que "la" primitive de cette dérivée, autrement dit 1/y est de la forme kx à une constante près.
D'où :
[tex]{1 \over y}\,=\,kx\,+\,C\;\text{et donc}\,y\,=\,{1 \over{kx\,+\,C}}[/tex]

J'espère que ça te va...

@+

ybebert

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Re : Equa diff [Résolu]

Bonjour,

Merci à toi Yoshi, ton explication me va trés bien, j'aurai même du ne pas avoir à demander... mais je vieillis  ;-((

A+