Théorème de Pythagore et triangles multiples du triangle 3, 4, 5

yoshi · 24-11-2024 19:35:16

Bonsoir,

A mon tour..
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Et là j'intercale un petit mot, pour dire que ce qui suit jusqu'à clarinette a été écrit hier soir, sans avoir lu ton post ci-dessus...
Et là, me rendant compte que je n'avais plus les idées très claires, j'ai arrêté, stocké mon blabla, pour le reprendre ce matin, ayant lu ta réponse...
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Des enfants, adulte, j'en ai quand même fréquenté un certain nombre :
- les miennes : j'ai 3 filles
- ceux des autres: en gros 5 classes à 24 (soyons fous !) élèves, soit 120 par an..
On va dire, à la louche que chaque année il y en avait, allez disons 40 que j'avais déjà eu en face de moi...
Donc 80 par an durant 38 ans, 1440 quand même, plus ceux (deux grosses poignées) que j'ai pu voir en cours particulier et jamais issus des différents établissements dans lesquels je suis passé.

[HS] Un souvenir particulier à ceux perdus (11) dans une catastrophe naturelle lors de ma première année d'enseignement. Cela reste et restera un événement horrible qui ne s'effacera qu'après ma propre disparition.
Pour ma première année, c'était "réussi"...
Deux images souriantes quand même :
--> Celle de ce petit garçon de 6e, souriant plein de bonne volonté, sur le cahier duquel j'avais lu ce début de plan :
1) Blabla
Petit tas).....
Petit tas ??? quézaco ? Et quand j'avais compris que c'était sa traduction du a) dicté, j'en avais bien ri...
--> Cette gamine de 5e, brillante, qui comprenait à la vitesse V (grand v) à qui j'avais fini par dire : Un très très grand bravo, tu n'a jamais eu de difficultés, tout paraît simple pour toi... Tu ne penses, pas plus tard, devenir prof de maths ?
Et sa réponse désarçonnante, cri du coeur :
- Ah ! bin non, alors, sûrement pas !
- Pourquoi ça ?
- Ils deviennent tous gâteux avant l'âge !
Je l'avais rassurée en lui assurant que ça ne m'arriverait pas, que je veillerai à ce que ça ne m'arrive pas...
Un peu plus de 50 ans après, j'y pense encore et me surveille...
C'est tout ce que j'avais trouvé à répondre à son affirmation si péremptoire, tant le choc avait été aussi brutal qu'inattendu...
[/HS]

Après tout ces comptes d'apothicaire, vous voudrez bien croire que je sais comment ça fonctionne un cerveau de préado....
Ceci posé, allons-y...

Je suis bien en phase avec la nécessaire attention à porter au cassage des routines que l'on peut soit même implanter si l'on n'y prend pas garde.
Dans le cas du triangle 3 4 5, cher Borassus, c'est bien d'essayer de surprendre en passant à des multiples décimaux : les manuels y ont déjà pensé, mais oser sans aller au-delà d'un chiffre après la virgule (pt'êt que leurs auteurs craignent d'être montré du doigt comme utilisant des nombres pas fréquentables)
Pourtant si tu leur fais le coup d'utiliser 1 décimale de façon relativement récurrente, ils devraient te voir venir de loin avec tes gros sabots ^_^ et devraient reprendre en chœur :
Ton accordéon nous (me) fatigue, Yvette
Si tu jouais plutôt de la clarinette.

... Maintenant je reprends la suite d'hier ...

Deux façons d'en être sûr
- donner des valeurs à deux chiffres après la virgule obtenus par un coefficient multiplicateur du même acabit,
- Au lieu de donner de "bêtes triangles", plutôt donner des exos concrets genre (donnons du sens aux mathématiques !) : en voilà une série extraite de ceux que j'ai pu donner https://www.cjoint.com/c/NKyofAG1gOo...

Enfin, il existe pourtant un moyen infaillible et rapide de savoir si un triangle dont on connaît les longueurs des côtés est un triangle rectangle ou non : contrôler si la réciproque du théorème de Pythagore est vérifiée ou non pour ce triangle...
C'est si vrai que, un jour, dans un sujet de Brevet des Collèges, un exercice très simple (2 ps sur 40) a été donné : un joli petit triangle flanqué des longueurs de ses 3 côtés et des noms de ses 3 sommets avec cette simple question : ce triangle est-il un triangle rectangle ?
Dans la salle où j'étais de surveillance, moins de la moitié se sont lancés, dans ledit contrôle.
Les autres on cru (?) pouvoir l'impasse sur les calculs et ont sorti qui l'équerre, qui le ... rapporteur (c'étaient des courageux) !
Bin oui... mais non ! Ils auraient dû utiliser leur calculette.
Parce qu'en guise d'exercice à l'apparence si anodine, l'exercice avait été sans nul doute pensé pour punir les réfractaires au calcul :
- à l'équerre, le triangle semblait bien être rectangle, au rapporteur aussi...
- pourtant à la calculette, il ne semblait pas que oui : c'était un non catégorique, la pseudo-hypoténuse aurait dû mesurer 192 (ça fait un
alors j'ai peu oublié les valeurs mais c'était de cet ordre de grandeur) et elle mesurait 190 ! Une calculette et un p'tit coup d'Al-Kachi,
j'avais vu que le pseudo angle droit mesurait en fait, arrondi au dixième de degré 89,8 °... Indécelable aux instruments, même en s'y
reprenant en 2 ou 3 fois (surtout avec leur niveau de maîtrise du rapporteur, quant aux équerres de bas de gamme des magasins pour la
Rentrée, ce sont tout sauf des équerres.
Routine (y a pas qu'en algèbre !) + idée fausse : angle droit --> équerre (nuançons : les équerres des ex dessinateurs industriels étaient,
fiables, elles... Mais ne valaient pas 3 Francs six sous, pièce. Et pourtant pour tracer des perpendiculaires, c'était le plus souvent au
compas et à la règle...
Les élèves qui avaient composé en face de moi n'étaient pas les miens sinon j'en aurais été particulièrement frustré... moi qui plaidait pour
l'équerre en papier via une feuille de cahier, de copie, pliée de façon à obtenir les diagonales d'un carré plutôt que d'aller acheter un
vulgaire bout de plastique baptisé pompeusement "équerre"...

Merci du compliment cher Borassus.... Mais cette bienveillance était en quelque sorte un hommage "du vice à la vertu", à certains de mes anciens profs, parce que je me disais souvent : s'ils m'avaient traité dans les moments difficiles comme on les (=les élèves) traite bien trop souvent aujourd'hui, je ne serais sûrement pas arrivé à être "Certifié Hors-Classe".
Tu crois vraiment que quand lorsque mes élèves voyaient arriver des fiches d'exercice pleines d'exos "tordus" comme je les affectionne, à tous les niveaux, ils me trouvaient bienveillant ? ^_^... Nan, c'étaient des tentatives de déstabilisation (soigneusement) contrôlées, pour casser les routines, forcer la remise en question, troubler leur ron-ron !
Ça commençait dès les premières heures de 6e, j'étais bien conscient que pas mal de parents risquaient d'être traumatisés alors je leur joignais un petit courrier rassurant expliquant que chaque exercice avait été choisi pour leur apparence décourageante, mais qu'en fait ils étaient assez simples à résoudre si on trouvait par où commencer comme la pelote de laine paraît bien compacte au premier abord, mais que inévitablement à force de chercher, on finissait par découvrir un petit bout de laine qui dépassait : Il suffisait alors de tirer dessus et c'est toute la pelotes qui se déroulait sans effort...
Ça et l'assurance que le programme serait traité très vite, n'ont sûrement pas été étrangers au calme et la sérénité, j'avais pu bosser
De toutes façons, ne balancer que des exercices répétitifs, si ça peut être confortable pour l'enseignant (et encore qu'est-ce qu'il doit s'emm... (autant le remplacer par un robot) et doit lasser ses élèves ce qui n'est pas un service à leur rendre...
J'ai gardé toutes les preuves numériques de mes errements sur mon PC depuis 90-91et même avant sur lds dq de mon Amstrad CPC 6128...

Borassus a écrit :

(Une fois, une fille m'a interrompu en me disant « C'est étonnant ! On dirait que vous jouez votre cours. » « Mais oui ! un cours doit se jouer ! Vous êtes le public à qui on se doit de jouer nos cours ! »

Tiens y a de l'écho... J'irais plus loin : lorsque c'est possible, on se doit aussi de requérir la participation active du public.

J'ai pu souvent constater qu'en se répartissant les rôles, ça passait encore mieux : souvent les élèves disaient à la fin de la représentation :
« Ah ! C'est ça que ça voulait dire ? Ah, bin alors, j'ai compris, je sais faire... »...
Oui, un prof, est un comédien, un acteur sur une scène de théâtre à cette différence (de taille !) près, que notre public n'a pas payé pour assister à la représentation, ni n'est volontaire à 100 %...
Dans notre métier, on devrait nous donner à nos débuts, quelques cours. On devrait nous apprendre à jouer avec notre voix, ce qui permettrait de mieux accrocher notre public..-

Pour avoir des corrections bienveillantes, il faut d'abord avoir choisi avec attention et précision les exercices donnés.
C'est le rôle, pas forcément écrit, de la préparation :
- Bien comprendre la philosophie (et donc les objectifs détaillés de chaque chapitre de l) du programme de l'année en cours, comment cela prend sa place place entre le programme antérieur et ceux à venir.

Commencer un nouveau chapitre demande réflexion et sa compréhension profonde de façon à en déterminer les grands points par lesquels on doit passer - ce que j'appelais le squelette -...
A mes débuts, je notais scrupuleusement tout ce j'allais dire, dans le détail, les questions qu'on allait me poser, ce que je répondrai...
Et bien je me suis aperçu que ça ne marchait pas (pour moi, en tout cas) : 2 classes de 3e (par ex) des élèves différents impliquant des réactions différentes, et l'une arrivant après l'autre ne laissait pas le temps de repenser mon cours...
J'ai fini par bien mieux maîtriser mes chapitres en me concentrant sur les points de passage obligés, gardant une certaine adaptabilité pour combler les vides...
Borassus, dans ta vie de prof public, t'es-t-il jamais arrivé en posant les feuilles d'interro sur les tables et dans les 5 min qui suivent de ressentir un subtil changement d'atmosphère qui te faisait dire :
- Bon...ça va aller !
ou
-Aie, ça coince !... Pourquoi ?

Allez, j'arrête là !
Je ne fais pas de concours à qui aura le post le plus long : j'aurais beaucoup trop de chances de gagner

@+

Borassus · 24-11-2024 20:20:05

Bonsoir à tous,

Etant revenu de mon cours de deux heures de ce matin, ayant déjeuné et ayant consacré un peu de temps pour moi, je peux continuer ma réponse "feuilletonnée".

DrStone a écrit :

Le seul problème dans ta démarche, c’est que tu entres en conflit avec le professeur et son enseignement.

Mais, bien cher, je suis en permanence en conflit avec le professeur : quand l'élève m'annonce que tel sujet a été abordé en classe, je lui demande si je peux d'abord lui expliquer le sujet à ma façon, ce que l'élève accepte toujours, quitte à ensuite faire la synthèse avec l'enseignement du prof. En général, ma façon d'expliquer, effectivement très différente, plaît davantage. (« En une heure et demie avec vous, j'ai plus compris qu'en une semaine de cours. »)

Professeur qui se doit d’enseigner ce que sa direction lui dicte comme tout fonctionnaire : il n’a pas le luxe de faire ce qu’il veut comme toi.

Les profs doivent effectivement respecter une certaine "ligne du parti" mais ont tout de même une certaine latitude dans la façon dont ils l'appliquent. Je vois donc dans les notes et polycopiés de cours, et dans les exercices étudiés, certaines individualités, en particulier chez les professeurs du secteur privé.

Peut-être que lui aussi il aimerait présenter la même méthode que toi, mais que simplement il ne peut pas. Soit parce que sa direction lui interdit, soit parce qu’il sait que ça entre en conflit avec ce que le programme demande

Il n'y a pas en permanence un "commissaire du peuple" assis au fond de la classe, prêt à sanctionner tout déviationnisme. Et il n'y a pas dans la classe des caméras de vidéo-surveillance enregistrant la teneur du cours.

Mais, pour revenir au sujet initial, est-ce vraiment un déviationnisme que d'expliquer qu'en multipliant les trois longueurs d'un triangle rectangle par un même nombre, on obtient un triangle rectangle, et que bon nombre d'exercices sont construits sur le schéma 3,4,5, exemples concrets à l'appui, ce qui permet de déterminer très rapidement la longueur demandée, ne serait-ce que pour savoir à quelle valeur on doit aboutir en appliquant le raisonnement académique ?

On peut alors, en passant, indiquer qu'en multipliant les trois longueurs de n'importe quel triangle par un même nombre, on obtient un triangle semblable au premier, c'est-à-dire "ressemblant" à celui-ci, avec les mêmes angles. L'élève voit alors que la multiplication des trois longueurs d'un triangle rectangle n'est qu'un cas particulier d'une logique générale. Et il accepte très volontiers le fait que la notion de triangles semblables soit développée un peu plus tard.

"Logique générale", c'est quelque chose que je cherche en permanence à montrer : « Les formules qu'on vous fait apprendre sont le plus souvent des cas particuliers de logiques générales, qui, elles, n'ont pas besoin de formules. ». Et une fois la logique générale comprise, les formules et théorèmes particuliers deviennent simples et quasi naturels, et sont surtout compris comme cas particuliers.

[...]et que ça pourrait perturber plus d’un élève d’avoir deux présentations

Non, résolument non ! J'en fais quotidiennement l'expérience : les élèves comprennent parfaitement qu'il peut y avoir plusieurs façons d'aborder un sujet, et comprennent aussi la nécessité de "faire l'âne pour avoir du son" — je leur apprends l'expression — et donc de faire comme le prof demande — surtout si le prof semble assez "caractériel" ⁽¹⁾ —, tout en comprenant qu'il y a d'autres façons de voir et de raisonner.
Par exemple, pour illustrer les différentes interprétations possibles d'une expression, je demande de répertorier quelques façons d'interpréter $\dfrac{ab}{c}$ :
$a \times \dfrac{b}{c}$ ; $(ab) \times \dfrac{1}{c}$ ; $\dfrac{a}{c} \times b$ ; $\dfrac{1}{c} \times (ab)$ ; $\dfrac{1}{c} \times a \times b$.
Quelle interprétation doit avoir "force de loi" ??

(1) Une élève de Première m'a raconté récemment la réaction de son prof lorsque quelqu'un dans la classe pose une question à propos d'une autre façon de présenter un concept ou de résoudre un exercice : « Ecoutez, je suis prof agrégé ; j'enseigne depuis vingt ans ; vous n'allez pas m'apprendre comment je dois enseigner ! ».
Oui, Monsieur ! Bien, Monsieur ! Comme vous voudrez, Monsieur ! Nous ne poserons plus de questions, Monsieur !)

Si j'étais si perturbant, crois-tu que les parents me garderaient pendant deux, trois ou quatre années — même élève ou fratrie — ou qu'il me recommanderaient à d'autres familles ?

Je pense vraiment que ça pourrait être un bon exercice de pensée de te remettre dans les bottes du Borassus collégien : n’aurait-il pas été perdu s’il avait reçu pleins d’informations de résolutions complémentairement contradictoires ? (Oui, j’invente des expressions !) Aurait-il vraiment été en mesure de savoir où donner de la tête dans ses devoirs ? Aurait-il su et compris ce qu’attendait son professeur afin de ne pas avoir 0 ? Etc.

Expérience de pensée totalement inutile pour moi : j'étais 37ème sur 37, et n'en souffrais pas outre mesure, même si j'essayais un tant soit peu de comprendre.
Par contre, je suis quotidiennement, sept jours sur sept, en contact de lycéens et, maintenant dans une moindre mesure, de collégiens, qui sont, souvent douloureusement et avec découragement, perturbés de ne pas comprendre les cours vus en classe, de ne pas comprendre la façon dont il faut résoudre telle ou telle typologie d'exercices, de ne pas comprendre la logique d'ensemble des formules énoncées, de se recevoir des annotations rageuses et désobligeantes (voir le message précédent).

Normalement, sauf cas exceptionnels tels que maladie ou déscolarisation, le soutien scolaire, qu'il soit individuel ou organisé par des organismes dédiés, ne devrait pas exister : les cours en classe devraient amplement suffire.
Et pourtant, « Estimé à plus de 2 milliards d’euros de chiffre d’affaires générés, le marché du soutien scolaire concerne plus d’un million d’élèves français sur un total de 12 millions d’élèves d’écoles, de collèges et de lycées. Ces dernières années, la demande de cours particuliers progresse d’environ 2% par an. Avec plus de 40 millions d’heures de cours de soutien scolaire dispensés par an, la France est en tête du classement européen.
Plus spécifiquement, selon un sondage TNS-Sofrès, il y aurait un collégien sur 5 et un lycéen sur 3 qui bénéficient de cours particuliers à domicile. Le budget annuel moyen des parents est de 1 500 euros avant la déduction fiscale permise depuis la loi Borloo de 2005. » (https://www.economiematin.fr/etat-des-l … hatgpt.com). »
Un lycéen sur trois !! Cherchez l'erreur !

[...]qui font de toi un personnage assez atypique sur ce forum

Extrait, "légèrement" atypique, de mon CV :
Bac littéraire (1971) suivi de 3 années de licence de russe
Assimilation en autodidacte des programmes scientifiques de 2nde C à Maths Spéciales, et au-delà.
De 1974 à 1979, nombreux cours de mathématiques de la 6ème à Maths Spéciales (plus de 20 h par semaine)
Colleur remplaçant de mathématiques en Maths Sup, Maths Spé et Prep' Hec.

[...]avec des programmes et des exigences toujours revus à la baisse du fait du niveau toujours plus abyssal des-dits élèves.

Je te raconte de temps en temps à mes élèves et à mon entourage comme quelqu'un qui ne perçoit comme "vraies maths" que les seules maths de Concours général ou d'Olympiades, et qui vitupère à répétition contre "le niveau abyssal" de l'enseignement et des élèves.

N'ayant pas été élevé dans un contexte de "vraies maths", je ne ressens pour ma part rigoureusement aucune vitupération contre le niveau de maths. Je cherche seulement à montrer à mes élèves qu'à partir du moment où ils comprennent la logique d'une notion, ils peuvent résoudre avec une facilité qui les stupéfie des exercices à première vue effrayants.
(Dernièrement, lors de notre premier cours, j'ai vu la mâchoire d'une élève de Terminale littéralement se décrocher de stupéfaction devant une dérivée complètement fantaisiste à six niveaux d'imbrication dont elle avait écrit la structure en à peine une minute. Vous avez sans doute noté que les dérivées de fonctions composées à plusieurs niveaux d'imbrication sont l'une des mes "spécialités". :-)

Ce qui, par contre, me désole est de voir le manque de rigueur et de cohérence de certains profs — je dis alors à l'élève, qui se rend compte de ce manque de cohérence « Il paraît que c'est rigoureux, les maths ! » ; acquiescement dubitatif de l'élève— et de me rendre compte que des profs, même de lycées prestigieux, ne comprennent visiblement pas la logique des formules qu'ils enseignent.
Deux exemples concrets, parmi (beaucoup) d'autres :

Encadré et mis en gras « Un entier $a$ est multiple de l'entier $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$
Exemple à la ligne suivante : « $21 = 7 \times 3$, donc $21$ est multiple de $7$. »
Pourquoi ne respectez-vous pas la structure que vous avez vous-même encadrée et mise en gras juste au-dessus ??!!

J'explique que la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale au nombre de termes de la somme multipliée par la moyenne du premier et du dernier termes. (C'est tout simplement comme si tous les termes de la somme étaient égaux à cette moyenne.)
Les formules que je vois parfois :
$\dfrac{n - p + 1}{2} \times (u_p + u_n)$ — et si le nombre de termes est impair ?? que signifie concrètement la somme du premier et du dernier termes ?? —
ou $\dfrac{(n - p + 1)(u_p + u_n)}{2}$ — quelle est la signification de $(n - p + 1)(u_p + u_n)$ ?? —.

Dans les manuels, je vois l'énoncé « le nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier termes.
Figurez-vous que dans le langage "non savant", la demi-somme de deux nombres s'appelle "la moyenne des deux nombres". A quel âge un enfant sait calculer la moyenne de deux nombres ? Demander-lui de calculer la demi-somme de deux nombres...

Ayant été suffisamment prolixe, j'arrêterai ici la deuxième partie de ma réponse.
Merci de votre attention.

La suite suit. (Продолжение следует.)
Prière de ne pas répondre pour l'instant (même si forte démangeaison :-).

Bonne soirée à tous.

Borassus · 24-11-2024 21:07:55

Bonsoir cher Yoshissime,

Quel plaisir de te lire !! Merci !

Juste pour la partie théâtralisation des cours, voici des exemples que je m'offre :

Lors d'un stage de vacances, une ou un élève, je ne sais plus, avait fait une erreur de confusion absolument magistrale. Ma réponse:
« Tu te rends compte ?! A mon âge, me faire un coup pareil ?! Tu imagines, je fais un malaise cardiaque — la plaisanterie était prémonitoire... :-) — il faut appeler le SAMU, qui m'emmène à l'hôpital ! Tu te vois dire à tes parents le soir que tu as expédié ton prof de maths à l'hôpital parce que tu avais fait une faute énorme ??!! »
Rires joyeux des stagiaires, élève fautif compris, qui ne s'est nullement senti(e) dévalorisé(e).

A un moment, en cours particulier avec une élève de Première, je voyais que la fille était au bord des larmes parce qu'elle ne comprenait pas un théorème.
J'ai alors soudainement mis un genou au sol et lui ai déclamé le théorème sur le ton d'une déclaration d'amour. Les larmes ont immédiatement disparu, et le théorème est d'un seul coup devenu évident.

En m'inspirant de la magnifique prestation de Fernandel dans "Le Chpountz" « Tout condamné à mort aura la tête tranchée ! », je me suis amusé à faire réciter en classe ou en stage le théorème de Pythagore sur plusieurs tons, par exemple sur le ton de la colère : « Mais, sacré nom d'une pipe, combien de fois je devrais vous répéter que dans un triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ??!! C'est pas possible, vous êtes butés, ou quoi ?! »,
ou de la profonde tristesse, proche de la dépression : « Ah mon Dieu, je n'arriverai jamais à comprendre que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ! Comme c'est triste ! »

Succès garanti !

Dans notre métier, on devrait nous donner à nos débuts, quelques cours. On devrait nous apprendre à jouer avec notre voix, ce qui permettrait de mieux accrocher notre public..-

J'avais eu à un moment le projet de monter, avec l'aide d'une amie actrice, des cours de théâtre destinés aux profs. Le projet est mort-né faute de viabilité économique : qui paiera cette formation ? le prof ? son établissement ? l'EN ?
J'ai par la suite assisté à un stage pour profs de maths animé de façon brillante par un ponte de l'EN — mais qui avait un regard très critique sur elle — qui militait pour le théâtre soit obligatoire dans la formation des profs. J'étais assis près de lui ; il m'a vu acquiescer avec vivacité.

Pour le reste, je te place, cher Yoshi, dans la pile de mes réponses. :-)

DrStone · 29-11-2024 22:50:37

Bonsoir.

Loin de moi l'idée de mettre le feu aux poudres mais cela fait quand même cinq jours que nous attendons la suite qui semble ne pas suivre, très cher Borassus !

En espérant que tout aille pour le mieux.

Borassus · 30-11-2024 17:31:39

Bonjour à tous, bonjour bien cher Doc,

Ton rappel "poudrique" m'a fait sourire. C'est bien là l'intérêt du feuilleton : on attend plus ou moins impatiemment la suite. :-)

En espérant que tout aille pour le mieux.

Outre l'effort de programmation en JavaScript d'une fonctionnalité d'interface sophistiquée, qui nous a demandé, à Chat et à moi, pas mal de travail et d'essais successifs, j'ai eu à subir lundi soir une perte financière relativement conséquente qui m'a coûté, et me coûte encore, pas mal de temps, mais, surtout, pas mal d'énergie mentale. (Disons que j'ai "bénéficié" d'un "cours particulier" à un taux horaire de premier ordre...)
Donc, effectivement, tout n'allait pas pour le mieux.

Revenons à nos moutons rectangulaires 3, 4, 5.

L'élève de Quatrième qui a de fait initié cet intéressant débat a écrit sur sa copie de contrôle « On remarque que le triangle est un multiple du triangle 3, 4, 5. Donc il est rectangle. »
Annotation du prof : « Intéressant ! Très bien ! »
(Je vous adresserai la photo de cet extrait lorsque l'élève aura récupéré sa copie, pour laquelle il a eu 19.)
L'élève : « C'est dommage qu'on ne nous prévienne pas pour les multiples du triangle 3, 4, 5 car les exercices sont bourrés de triangles 3, 4, 5 ! »

Un très grand nombre d'exercices sont basés sur des simplifications qu'il faut savoir remarquer : racine évidente de polynômes du second degré, identités remarquables cachées qu'il faut, précisément, remarquer — une identité remarquable, c'est fait pour être remarquée :-) —, etc.
Si on remarque ces simplifications, la résolution de l'exercice peut être rapide et simple. Si on ne les remarque pas, on peut désagréablement patiner, d'où coût en temps et, surtout, en stress pouvant faire rater le contrôle.
La véritable difficulté est de prendre le temps de déceler la, ou les, simplifications plus ou moins cachées qu'a utilisées l'auteur de l'exercice.

Pourquoi alors n'aurait-on pas le droit de remarquer que le triangle étudié est un multiple du triangle 3, 4, 5, à plus forte raison si le prof a préalablement montré, preuve aisée à l'appui, qu'en multipliant (ou en divisant) les trois côtés d'un triangle rectangle par un même nombre, on obtient un triangle rectangle "ressemblant" au premier ?!

Séance de mercredi dernier avec cet élève. Je m'étais fait le pari que je pourrai sans difficulté lui expliquer les formules d'Al-Kashi, et donc lui montrer que l'égalité de Pythagore est en réalité un cas particulier d'une logique générale applicable à n'importe quel triangle.
Je lui ai donc rapidement expliqué les rapports trigonométriques de base dans un triangle rectangle, en lui précisant qu'il les verra en Troisième, et en lui indiquant que ces rapports sont utilisables pour n'importent quels angles, et pas seulement pour les deux angles aigus d'un triangle rectangle, ce qui est vu en Première. Je lui ai aussi montré l'utilisation de la touche "cos" et de sa fonction associée "Arccos" sur sa célèbre calculette verte.
Je lui ai alors énoncé la logique, en français, des formules d'Al-Kashi, en lui précisant qu'elles sont vues en Première option maths. Et ensuite, vogue la galère ! Je lui ai fait calculer longueurs de côté et mesures d'angle de triangles absolument quelconques, dont certains avec un angle très obtus, et donc deux angles très aigus, ce qui l'a littéralement fasciné : « Ah oui, ce sont vraiment des triangles quelconques ! ».
Je me suis même offert le luxe de lui expliquer la notion de radian...

J'expérimente sans cesse, et ose de plus en plus. Avec à chaque fois la presque surprise de voir avec quelle facilité "ça passe", avec quel plaisir les élèves comprennent en toute facilité des notions normalement vues bien plus tard, voire en Prépa, et avec quel plaisir ils résolvent facilement des exercices totalement fantaisistes et délirants qu'aucun prof normalement constitué n'oserait proposer — justement, je ne suis pas un prof "normalement constitué" —, ce qui les rend fiers. Ils se sentent alors intelligents !
(L'année dernière, une élève de Première m'a dit « J'ai l'impression qu'on nous prend pour des débiles ! » « A un point que tu n'imagines pas ! »)

Et ceci, bien cher, est possible pas seulement dans un contexte de cours particulier avec un élève qui a oublié d'être bête, mais aussi en stage ou en classe, avec des élèves disposant de capacités de compréhension hétérogènes.

Mes certitudes, basées sur un grand nombre d'expériences — je ne sais combien de centaines —, sont les suivantes :

1) A partir du moment où il n'y a pas de rupture conceptuelle et où on reste dans la même logique, les élèves peuvent comprendre BEAUCOUP PLUS que ce qu'impose le sacro-saint programme relatif à leur niveau scolaire officiel !

Quelle rupture conceptuelle y a-t-il à montrer la logique de $(a + b + c)^2$ en l'appliquant à un développement de type $(5a -3b -7c + 10d)^2$ ?

Quelle rupture conceptuelle y a-t-il à expliquer ce qu'est une racine cubique — quelle est la racine cubique de 8 ou de 27 ? en général pas plus de deux secondes de réflexion —, une racine quatrième, une racine n-ième ?
Quelle rupture conceptuelle y a-t-il à expliquer à partir de $a^m \times a^p = a^{m + p}$ et de $a = a^1$ que $\sqrt {a} = a^{\frac{1}{2}}$, et que plus généralement que $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.
Mieux, en faisant observer que $\frac{3}{2} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 3$ on peut expliquer que $a^{\frac{3}{2}}$ désigne, pour $a$ positif le cube de la racine carrée, ou la racine carrée du cube.

Quelle rupture conceptuelle, pour revenir à mon expérimentation, y a-t-il à montrer la logique des formules d'Al-Kashi ?
Ah oui, ces dernières introduisent la notion de cosinus — je ne parle même pas de celle de produit scalaire. Hé bien, introduisons-la rapidement, le principal étant de faire comprendre que l'égalité de Pythagore est un cas particulier.

Quelle rupture conceptuelle — j'arrêterai là mon anaphore "quelle rupture conceptuelle ?" ; je pourrai fournir toute une charretée d'exemples — y a-t-il à faire comprendre la logique de la dérivée d'un produit d'un nombre quelconque de fonctions ? Pourquoi s'arrêter à la seule formule ânonnée un nombre incalculable de fois $(uv)' = u'v + uv'$ ?
Pourquoi ne pas demander de déterminer la dérivée seconde de ce produit (les élèves remarquent immédiatement l'analogie avec l'identité remarquable) ?
Et la dérivée seconde du produit de plusieurs fonctions ?
Und so weiter.

2) Plus on élargit les concepts étudiés, plus on établit de connexions avec les autres notions, et mieux les élèves comprennent !
A l'inverse, le cloisonnement strict entre les notions — cette année nous étudions pile, l'année prochaine nous étudierons face ; vous n'avez pas encore étudié cette notion, on ne peut donc l'évoquer — nuit considérablement à la compréhension : on explique en détail une pièce de puzzle sans expliquer comment elle s'insère dans l'ensemble.

3) Je suis absolument opposé à ce que j'appelle la "démonstratite aiguë", c'est-à-dire ce prurit consistant à vouloir systématiquement démontrer toutes les notions utilisées. (Faut-il subir la démonstration de tout le fonctionnement d'un téléphone mobile pour pouvoir l'utiliser ?)
Une démonstration n'est à mon sens intéressante et, surtout, utile que dans la mesure où elle permet de retrouver facilement une formule — mémorisez le moins possible, retrouvez le plus possible ! —, ou lorsqu'elle permet de se convaincre d'une donnée a priori peu intuitive.

Pas plus tard qu'hier soir, un élève de Terminale s'énervait contre la démonstration à-la-mords-moi-le-nœud — contrairement à ce qu'on pourrait penser, il ne s'agit pas d'une expression grossière : https://fr.wiktionary.org/wiki/%C3%A0_l … -n%C5%93ud — de son prof pour démontrer que la limite de $\dfrac{e^x}{x^n}$ quand la variable tend vers plus l'infini est plus l'infini — « mais c'est évident que la fonction exponentielle augmente beaucoup plus rapidement que n'importe quelle puissance ! » — , alors que la démonstration en partant de $x = n \times \dfrac{x}{n}$ est toute simple.

Croyez bien que les élèves comprennent parfaitement « on démontre que », et ne demandent la démonstration que celle-ci leur permet de mieux comprendre. (Par ce que j'observe, ces démonstrations continuelles sont ressenties comme une véritable violence qui contribue sensiblement à les dégoûter des maths.)

Sur ce, je vous laisse, chers amis bibmathiens.

(Vous aurez sans doute perçu que je ne réponds pas à une phrase particulière d'un message, mais que je réponds de façon globale à ce principe qui consiste à ne présenter une notion que si les notions préalables ont été dûment démontrées et analysées, sous peine de (profondément) perturber les élèves.)

Bonne soirée de samedi.
Bien cordialement,
Borassus-le-Rebelle

Dernière modification par Borassus (01-12-2024 10:29:57)

DrStone · 03-12-2024 03:50:03

Bonjour.

La présente réponse que j'écris me demandera probablement quelques jours pour être entièrement rédigée… il faut dire que notre ami Borassus ne nous ménage pas !

PS. Je prends mes avances au vu des dernières conversations que j'ai entretenues sur le forum…
Je ne te critique à aucun moment. Je critique juste le fond, et surtout à la fin, tes élèves.
Toi tu es plutôt le professeur particulier parfait et je n'ai pas grand-chose à te reprocher si ce n'est ton côté rebelle.

Quoi qu'il en soit, sans transition.

Borassus a écrit :

Je te raconte de temps en temps à mes élèves et à mon entourage comme quelqu'un qui ne perçoit comme "vraies maths" que les seules maths de Concours général ou d'Olympiades, et qui vitupère à répétition contre "le niveau abyssal" de l'enseignement et des élèves.

Loupé. Je considère comme vraie mathématique l'activité de démonstration par raisonnements logiques et déductions des opérations (applications/relations) qui mettent différents objets en relations. On peut aller voir sur Wikipédia, et on remarque que c'est dès la première ligne (je me permets de souligner) :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques a écrit :

Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations, etc. ; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent entre ces objets.

Or, force est de constater que ces raisonnements logiques, on ne les retrouve plus (à l'École) que dans les exercices d'Olympiades (Nationales ou Internationales) et dans les problèmes du Concours Général.

Borassus a écrit :

Donc, bien cher, ne penses-tu pas qu'il serait bienvenu, voire courtois, de ne pas m'enseigner un métier que je pratique aussi passionnément et aussi intensément depuis déjà un nombre conséquent d'années ?..

Courtoisie mise à part, il me semble que tout un chacun peut se permettre de critiquer : c'est, après tout, ce que tu fais lorsque tu critiques manuels et professeurs fonctionnaires.

D'ailleurs tu justifies tout seul que c'est admis et qu'on a tous le droit, y compris les élèves !

Borassus a écrit :

Une élève de Première m'a raconté récemment la réaction de son prof lorsque quelqu'un dans la classe pose une question à propos d'une autre façon de présenter un concept ou de résoudre un exercice : « Ecoutez, je suis prof agrégé ; j'enseigne depuis vingt ans ; vous n'allez pas m'apprendre comment je dois enseigner ! ».
Oui, Monsieur ! Bien, Monsieur ! Comme vous voudrez, Monsieur ! Nous ne poserons plus de questions, Monsieur !

Alors je ne vais pas me gêner !

Et puis, je ne suis pas certain que les élèves d'aujourd'hui soient aussi faciles que les élèves d'antan qui étaient triés et sélectionnés. En même temps il le fallait bien, vu ce qui nous était enseigné. Pour rappel, voici ce qui était enseigné en troisième (classe où étaient introduits le théorème de Pythagore ainsi que sa réciproque — alors parfois, et plutôt étrangement, nommés première et deuxième formes dudit théorème —) à mon époque

Vous pouvez faire un clic-droit puis cliquer sur "ouvrir l'image dans un nouvel onglet" (ou équivalent) pour afficher l'image en pleine page et mieux voir ce qui est écrit.

Borassus a écrit :

Mais, pour revenir au sujet initial, est-ce vraiment un déviationnisme que d'expliquer qu'en multipliant les trois longueurs d'un triangle rectangle par un même nombre, on obtient un triangle rectangle

Pour autant, lorsque nous arrivâmes à ces pages

yoshi remarquera, et fera donc une syncope :=D, les virgules et accolades autour des différents points pour désigner les triangles et des axes pour le rapport de projection orthogonal $c$.

il ne vint à l'idée de personne de faire autrement que ce qui fut indiqué aussi bien dans ces pages que dans le cours : appliquer le théorème de Pythagore à la lettre pour résoudre les exercices correspondant en marge ; alors même que, tu t'en doutes, nous sûmes tous ce que sont les triplets pythagoriciens.

Borassus a écrit :

Pourquoi alors n'aurait-on pas le droit de remarquer que le triangle étudié est un multiple du triangle 3, 4, 5, à plus forte raison si le prof a préalablement montré, preuve aisée à l'appui, qu'en multipliant (ou en divisant) les trois côtés d'un triangle rectangle par un même nombre, on obtient un triangle rectangle "ressemblant" au premier ?!

Bah tu as le droit. Le monde ne va pas s'écrouler.
Mais alors pourquoi toute cette conversation ? Tout simplement parce que ces pages et ces exercices concernent une notion particulière qui sera celle évaluée : le théorème de Pythagore.
Pour revenir à mon cas, si l'un de nous avait à un seul moment décidé de faire son intéressant en répondant à cet exercice autrement (ce qui, je le rappelle, est ta demande initiale) que part la démonstration attendue, il aurait probablement passé un mauvais quart d'heure.

Borassus a écrit :

et que bon nombre d'exercices sont construits sur le schéma 3,4,5, exemples concrets à l'appui, ce qui permet de déterminer très rapidement la longueur demandée, ne serait-ce que pour savoir à quelle valeur on doit aboutir en appliquant le raisonnement académique ?

Tu sembles oublier quelque chose : un élève c'est feignant. Il va à l'économie (et il a bien raison) et si tu lui expliques qu'il peut résoudre ces exercices en trouvant un multiple commun à trois nombres, c'est ce qu'il va faire : chercher un multiple commun.
Dès lors, tu fais comment toi, en tant que professeur, pour juger sa compréhension du théorème de Pythagore s'il… n'utilise pas le théorème de Pythagore ?
De ce que tu en dis, ton élève avec son $19$ en est la parfaite illustration. Il connait l'astuce alors il shunte l'exercice et répond à côté ; impossible dès lors d'évaluer sa capacité à utiliser la notion importante du chapitre : le théorème de Pythagore.

Encore une fois, un professeur de collège ou de lycée a des contraintes que tu n'as pas : vous avez deux métiers radicalement différents.

Borassus a écrit :

Un très grand nombre d'exercices sont basés sur des simplifications qu'il faut savoir remarquer : racine évidente de polynômes du second degré, identités remarquables cachées qu'il faut, précisément, remarquer — une identité remarquable, c'est fait pour être remarquée :-) —, etc.
Si on remarque ces simplifications, la résolution de l'exercice peut être rapide et simple. Si on ne les remarque pas, on peut désagréablement patiner, d'où coût en temps et, surtout, en stress pouvant faire rater le contrôle.
La véritable difficulté est de prendre le temps de déceler la, ou les, simplifications plus ou moins cachées qu'a utilisées l'auteur de l'exercice.

Bah… oui ? C'est normal. Je ne suis pas professeur mais ça me paraît évident que si je devais construire des exercices j'en créerais à partir d'énoncés et astuces simples.
C'est d'ailleurs l'éternel débat. Tout à l'heure j'ai répondu avec la méthode brute et "désagréable" à un problème là où un de nos amis a répondu en donnant l'astuce. Qui a raison ? Qui a tort ? Franchement, je pense que les deux approches se valent, étant donné qu'on ne connait pas le niveau de l'invité.

Borassus a écrit :

"Logique générale", c'est quelque chose que je cherche en permanence à montrer : « Les formules qu'on vous fait apprendre sont le plus souvent des cas particuliers de logiques générales, qui, elles, n'ont pas besoin de formules. ». Et une fois la logique générale comprise, les formules et théorèmes particuliers deviennent simples et quasi naturels, et sont surtout compris comme cas particuliers.

J'ai envie de dire que tu as cinquante ans de retard — et, ne me fait pas dire ce que je n'ai pas dit : ce n'est pas une critique et c'est même, au contraire, une très bonne chose ! — Simplement, cette manière de faire est celle de mon époque, l'époque mathématique moderne. Celle-ci est révolue. Depuis quarante ans il a été décidé que les élèves iraient du cas particulier au cas général. Autrement dit, on ment aux élèves pour leur montrer plus tard qu'on leur a menti mais c'est pas grave parce qu'en réalité ça marche quand même. Je ne suis pas fan, mais c'est une approche tout aussi valable qu'une autre. Après tout, la mathématique moderne ayant été un échec, elle a montré qu'une trop grande généralité est nuisible à l'apprentissage massif.

Si tu es attentif, tu as remarqué, le terme important du précédent paragraphe : «apprentissage massif». Encore une fois, on y revient, tu as moins de contraintes à enseigner en seul à seul qu'un professeur qui doit se farcir 35 élèves indisciplinés à la fois.

Borassus a écrit :

Par exemple, pour illustrer les différentes interprétations possibles d'une expression, je demande de répertorier quelques façons d'interpréter $\dfrac{ab}{c}$ :
$a \times \dfrac{b}{c}$ ; $(ab) \times \dfrac{1}{c}$ ; $\dfrac{a}{c} \times b$ ; $\dfrac{1}{c} \times (ab)$ ; $\dfrac{1}{c} \times a \times b$.
Quelle interprétation doit avoir "force de loi" ??

Euh… bah… aucune ? Ça va surtout dépendre du contexte. Si tu travailles dans $(\mathbf{N}, \times)$ ou $(\mathbf{Z}, \times)$ il va falloir s'assurer que tes quotients sont entiers ; sinon, elles sont toutes égales par associativité et commutativité. Aucune ne fait donc loi. Et un manuel ou un professeur peut bien choisir celle qu'il veut. Je ne vois pas trop où tu veux en venir avec cet exemple… peut-être mal choisi ?

Borassus a écrit :

c'est quelque chose que j'entends assez souvent de la part de mes élèves, notamment de Terminale : « Le prof nous a balancé toute une série de formules dont je ne comprends pas la logique ! »

J'y crois moyennement… en revêche, ce que je crois plus volontiers c'est que tes élèves savent que tu seras là, derrière eux, pour leur réexpliquer chaque notion à t'en bousiller la santé et qu'ils peuvent donc se permettre de ne rien faire/comprendre en cours. Non parce que bon, tes élèves qui se voient assener des coups de formules tombées du ciel… ils ne sont pas les seuls dans leurs classes et il doit bien s'en trouver deux ou trois qui comprennent parfaitement les cours ainsi que leurs logiques : comment tu l'expliques ?
Enfin, en réalité tant mieux ! Ça te fait plus de travail qui t'épanouit et c'est ce qui compte de ton point de vue, et tout autant du mien.

Borassus a écrit :

Je m'évertue donc à expliquer non pas ce que je sais du haut de mon statut de prof, mais bien ce que peu à peu, avec effort, je comprends.

Comme tous les professeurs, non ? Ils ont beau être professeurs, ils n'ont pas la science infuse ! Ils ont bien dû apprendre et comprendre les notions qu'ils enseignent… pour ceux qui les ont comprises, certes.

Borassus a écrit :

Et je peux vous assurer que mes élèves comprennent parfaitement la distinction que je fais entre "maths apprises" et "maths comprises" : « Là, on est dans les maths comprises » me disent-ils.

Forcément, le moment où tu le refais le cours, c'est… exactement le moment où ils apprennent enfin le cours ! Il serait alors temps de le comprendre !
Mais tu devrais essayer, un jour, de ne pas leur refaire un cours ou que sais-je sur un sujet et les forcer à se débrouiller seuls… je suis certain qu'ils le comprendraient d'eux-mêmes s'ils s'y voient obligés.
Bon après c'est peut-être pas super bon pour les affaires.

Borassus a écrit :

« En une heure et demie avec vous, j'ai plus compris qu'en une semaine de cours. »

Moi je lis : «Je n'écoute pas en cours alors tout ça, ça me passe au-dessus. Merci d'être là pour me faire la synthèse de ce que je n'ai, ni écouté, ni travaillé par moi-même entre-temps.»
Tu veux une preuve ? Prends n'importe quelle vidéo ici https://www.youtube.com/results?search_ … ue+seconde et je suis certain, que même sous les pires vidéos, celles aux contenus les plus bancales, tu trouveras ce genre de commentaires.
Note que ça marche aussi si tu vas voir des vidéos de, mettons, C'est Pas Sorcier qui vulgarisaient pas mal de notions : tu auras des élèves pour venir écrire qu'ils ont plus appris en vingt minutes pour le bac qu'en un mois avec leurs professeurs. Alors même que C'est Pas Sorcier c'est simplement de la vulgarisation. En aucun cas ça peut suffire ou même convenir pour réviser le bac.
Et tu sais pourquoi les élèves écrivent ça sous ces vidéos ou te le disent ?
Eh bien je vais me répéter mais tout simplement parce que, ces élèves, que ce soit devant ces vidéos ou avec toi, sont dans une disposition d'apprentissage (actif) : ils ont fait le choix de sciemment aller voir la vidéo ou de t'avoir pour professeur particulier. De plus, ils sont seuls, devant la vidéo ou avec toi, personne pour les perturber, personne qui fait le pitre, personne qui fait gueuler le prof, etc.

En tout cas, quoi qu'il en soit, je te tire mon chapeau, c'est une très belle prestation que de réussir à synthétiser une semaine ou plus de cours en 1h30 ! Pour sûr, ce n'est pas moi qui y arriverais.

Borassus a écrit :

Si j'étais si perturbant, crois-tu que les parents me garderaient pendant deux, trois ou quatre années — même élève ou fratrie — ou qu'il me recommanderaient à d'autres familles ?

Ah ça, c'est sûr qu'un professeur particulier sur lequel on peut se reposer parce qu'il se décarcasse pour faire ré-apprendre le cours pour pas qu'on ait à le faire soi-même, ça se garde !

Borassus a écrit :

sont, souvent douloureusement et avec découragement, perturbés de ne pas comprendre les cours vus en classe, de ne pas comprendre la façon dont il faut résoudre telle ou telle typologie d'exercices, de ne pas comprendre la logique d'ensemble des formules énoncées

Je ne sais pas si à quel point c'est décourageant pour les élèves d'aujourd'hui mais, lorsque tu as compris que l'enseignement se fait du particulier au général, tu comprends très vite d'où vient le problème de ces élèves… le problème c'est que, dans un monde normal, ils auraient dû, dans un premier temps redoubler le plus tôt possible (c'est à dire l'année où les lacunes sont apparues — généralement l'année où les notes chutent —), et dans un second temps êtres écartés du système éducatif.
Si tu ne comprends pas la logique d'"une formule" alors qu'elles s'imbriquent toutes les unes dans les autres tels des Lego, alors il me paraît évident que tu as des lacunes (dans le sens vide, trou) et que tu as loupé le coche quelque part.
Mais bon, il se trouve qu'il est normal de faire passer des élèves avec des lacunes ahurissantes en mathématiques ou en français, parce que l'une ou l'autre des matières (ou même d'autres inutilent pour le parcours scolaire, comme la "musique") permet de rattraper la "moyenne générale".
Oui, bon, votre fils il a $2$ en maths et $6$ en français, mais il a $18$ en histoire, $16$ en sport et $15$ en dessin, alors c'est bon, il passe en seconde !

Bon, il y a encore un peu à dire mais il est déjà quatre heures du matin, donc je m'arrête là pour ce soir ! Tu peux répondre si tu le souhaites ou attendre une hypothétique suite (même si je ne suis pas certain qu'elle viendra vu le temps que ça prend d'écrire de tels pavés).

PPS. Toutes choses égales par ailleurs, je réitère ma mise en garde (je suis en panique maintenant avec mes récents déboires ^_^’) : je ne t'ai aucunement critiqué toi spécifiquement, juste un peu comment je m'imagine tes élèves d'après tes écrits ! J'espère qu'ils ne m'en tiendront pas rigueur. ^_^
En tout cas, pour revenir plus spécifiquement à toi, tu devais être un sacré professeur particulier dans les années 70-80 ! Une vraie pépite dérivant à contre courant dans un enseignement totalement déconnecté de la réalité.

Dernière modification par DrStone (03-12-2024 05:04:23)

yoshi · 03-12-2024 10:35:33

Bonjour,

@DrStone...
Des tas de problèmes de fond dans ton pavé : il y a de quoi débattre...
Là, je ne peux développer : il faut que je passe voir la DGCCRF.

J'aimerais aussi ton avis sur la réponse que je t'avais faite ici post #8 aux questions sue tu posais...

@+

DrStone · 03-12-2024 13:49:54

Bonjour yoshi.

Je sais bien, raison pour laquelle j’ai écris qu’il y a encore un peu (beaucoup en fait) à écrire.

Ce peu apportant notamment pas mal de nuances, aussi bien sur le fond que sur la forme.
Nuances aussi concernant mon avis sur les élèves de Borassus : en gros pour eux, j’ai voulu faire méchant flic pour faire ensuite gentil flic mais ça m’a pris beaucoup de temps de faire ce premier pavé, je n’avais pas le courage de faire le deuxième juste après.
C’est pour cela que j’évoque une hypothétique suite (parce que mine de rien il faut les écrire !) que je ne voulais divulgâcher, histoire que ça soit un peu piquant. Sinon ce n’est pas amusant !

Pour ce qui est de ta réponse, j’y répondais ce soir dans la discussion dédiée.

Dernière modification par DrStone (03-12-2024 14:04:56)

DrStone · 03-12-2024 18:36:09

Bon. Du coup, deuxième pavé, qui cette fois-ci ne répondra pas à des citations : il me semble que ça rend le tout un peu décousu. Remarque après avoir fini, je trouve que c'est tout aussi décousu… la faute au fait que j'aurais tellement plus à dire mais qu'il faut quand même éviter de faire un pavé par paragraphe…
Ah et aussi, comme annoncé, ce pavé sera le pavé gentil flic.

Revenons donc d'abord sur ton côté rebelle. Pour tout te dire j'aime bien cette idée que tu fasses le rebelle : j'ai l'impression que le carcan rigide de l'éducation nationale rend impossible toute expérimentation qui ne serait pas à la marge. Après tout, si ton expérimentation foire ça doit pouvoir vite te retomber dessus.

Donc pour y revenir, seule citation du présent pavé

Borassus a écrit :

1) A partir du moment où il n'y a pas de rupture conceptuelle et où on reste dans la même logique, les élèves peuvent comprendre BEAUCOUP PLUS que ce qu'impose le sacro-saint programme relatif à leur niveau scolaire officiel !
[…]
2) Plus on élargit les concepts étudiés, plus on établit de connexions avec les autres notions, et mieux les élèves comprennent !
A l'inverse, le cloisonnement strict entre les notions — cette année nous étudions pile, l'année prochaine nous étudierons face ; vous n'avez pas encore étudié cette notion, on ne peut donc l'évoquer — nuit considérablement à la compréhension : on explique en détail une pièce de puzzle sans expliquer comment elle s'insère dans l'ensemble.
3) Je suis absolument opposé à ce que j'appelle la "démonstratite aiguë", c'est-à-dire ce prurit consistant à vouloir systématiquement démontrer toutes les notions utilisées. (Faut-il subir la démonstration de tout le fonctionnement d'un téléphone mobile pour pouvoir l'utiliser ?)
Une démonstration n'est à mon sens intéressante et, surtout, utile que dans la mesure où elle permet de retrouver facilement une formule — mémorisez le moins possible, retrouvez le plus possible ! —, ou lorsqu'elle permet de se convaincre d'une donnée a priori peu intuitive.

Je suis totalement en accord avec toi sur le premier point, un peu moins sur le second et en désaccord avec le troisième.

En accord avec le premier point tout d'abord et c'est plutôt normal : il s'agit de la manière dont sont actuellement enseignée les différentes matières. On introduit dans un premier une notion (disons l'addition d'entiers naturels) qu'on élargit par la suite au fil des années (addition des entiers relatifs, puis décimaux, puis réels, puis complexes…).
Il se trouve que tu considères que certaines notions peuvent être encore plus rapprochées afin de maximiser l'apprentissage de l'élève et je pense qu'en effet, tu as raison. Les programmes actuels ont beaucoup trop tendance à l’étalement et je ne serais pas surpris d'apprendre que les élèves font des indigestions de notions trop souvent rabâchées et d'exercices trop souvent répétés.
Je nuancerais toute-fois une chose : cet état de fait doit bien venir de quelque part, non ? Il me semble que ce quelque part c'est le niveau catastrophique (oui, j'y reviens) de certains élèves qui même après s'être vu répété pour la vingtième fois dans l'année que non, $2x=2$ ne veut pas dire que $x=0$. Je comprends donc assez aisément que les professeurs essaient de s'aligner sur les éléments les plus faibles des classes. Et ça rejoint un peu, dans un premier temps (voire plus bas), ce que je disais : certains élèves n'ont rien à faire dans certaines classes. Ce n'est pas contre eux, c'est simplement qu'il me semble que ça revient à leur infliger l'apprentissage de notions qu'ils doivent se demander chaque jour qui passe à quoi ça peut bien leur servir !
J'imagine que c'est la raison pour laquelle on a pu observer une chute drastique des effectifs, particulièrement des filles, faisant de l'enseignement des mathématiques lorsque ce dernier est devenu optionnel (quelle idée…)

source: apmep
Pour le second point c'est, selon moi, à la fois vrai et faux. Vrai dans le sens où il faut pouvoir ouvrir certaines notions entrent-elles et faux selon le niveau d'enseignement.
Si je suis parfaitement d'accord pour dire qu'au lycée il me semble primordiale d'avoir une ouverture des notions entre elles, et même des enseignements entre eux, permettant alors un décloisonnement et une appropriation différente et bienvenue ; cela me semble un peu plus contre-productif au primaire et au collège (où ça peut tout de même se faire à petite dose).
De mon point de vue, ces classes de collège sont plutôt faites pour apprendre un socle de notions très strictes qui seront utilisées tout au long du parcours scolaire (voire de la vie de l'individu) et la maîtrise de celles-ci, dans un contexte cloisonné comme tu le dis, me parait être la bonne solution.
Par exemple, pour rester sur le théorème de Pythagore, un élève aujourd'hui a bien plus de chance au cours de sa vie d'utiliser ce théorème dans la vraie vie véritable pour faire des travaux, ou que sais-je encore, que comme un simple outil pour déterminer si un triangle $(3k,4k,5k)\quad k\in\mathbf{R}$ est ou non rectangle.
Dans un tel scénario, il me semble préférable de savoir l'utiliser à la lettre en toutes circonstances.
En ce sens, il me paraît alors plus important de s'assurer que les élèves (tous) comprennent bien comment utiliser le théorème de Pythagore à la lettre, plutôt que de leur donner les clefs pour court-circuiter les exercices et devoirs en deux lignes.
Bien sûr, plus tard, au lycée durant le cycle terminal notamment, il me paraît plus intéressant de donner aux élèves les moyens de répondre vite et efficacement aux exercices pour les notions supposées connues et maîtrisées : théorème de Pythagore en tête. Mais alors celui-ci ne fait plus l'objet d'un exercice, ne faisant simplement plus l'objet que d'une étape intermédiaire à la résolution d’une question au sein d'un exercice plus vaste.
Pour ton troisième point je ne suis absolument pas d'accord : on s'en serait douté. ^_^
Non pas forcément que je considère que la mathématique est la science de la certitude et qu'on devrait montrer tout ce qu'on utilise, loin s’en faut même si c'est le cas ; mais surtout parce qu'une démonstration c'est la première étape parfaitement exécutée vers, d'une part la compréhension du théorème et d'autre part vers la justification des réponses dans les exercices.
- Prenons par exemple cette proposition (droite des milieux):
  Théorème: Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
  Dit comme ça, sans aucune preuve, ça fait un peu maxime à retenir "oui bon, ma droite elle a l'air de passer à peu près au milieu de $AB$, elle est parallèle (enfin je crois) à $BC$ alors elle doit bien passer par le milieu de $AC$, non ?
- Mais maintenant, si je dis que (oui, je sais bien que ce n'est malheureusement pas à la portée des élèves d'aujourd'hui) :
  Théorème: Soit $abc$ un triangle. La droite qui est parallèle à la droite $(b, c)$ et qui passe par le milieu $m$ du côté $[a, b]$ coupe la droite $(a, c)$ au point $m'$, milieu du côté $[a, c]$.
  Preuve: On considère le triangle $abc$ ainsi que $p$ la projection du plan $\Pi$ sur la droite $(a, c)$ parallèlement à la droite $(b, c)$.
  On a $p(a)=a$ et $p(b)=c$.
  Le point $m$ étant le milieu de $[a, b]$, comme on sait (et qu'on l'a aussi démontré) que pour tout bipoint $(a, b)$ du plan la projection $p(m)$ du milieu $m$ du segment $[a, b]$ est le milieu du segment $[p(a), p(b)]$, alors le point $m'=p(m)$ est le milieu du segment $[p(a),p(b)]=[a, c]$.
  Aucune ambiguïté possible : tu sais d'où ça vient et pourquoi c'est comme ça et pas autrement.
Faisons la même chose avec ces fameuses formules qui tombent du ciel dont, comme tu le dis si bien, les démonstrations permettent de facilement les retrouver :
- Si je donne cette formule, pas piquée des hannetons, $\frac{a}{b}+\frac{a'}{b'}=\frac{ab'+a'b}{bb'}$ sans rien de plus, combien vont se dire que ça tombe du ciel et que je la tire de mon chapeau ?
  Et combien vont, de fait, même pas essayer (à raison) de l'apprendre ? À mon avis beaucoup.
  Par contre, tout de suite, si je donne la démonstration:
  On considère les quotients $\frac{a}{b}$ et $\frac{a'}{b'}$ pour $(a, a', b, 'b)\in\mathbf{R}^2\times\mathbf{R^*}^2$.
  Comme on sait (et qu'on l'a aussi démontré) que $\frac{a}{b}=\frac{ab'}{bb'}$, que $\frac{a'}{b'}=\frac{a'b}{b'b}$ et que $\frac{a}{b}+\frac{a'}{b}=\frac{a+a'}{b}$ alors $\frac{a}{b}+\frac{a'}{b'}=\frac{ab'}{bb'}+\frac{a'b}{b'b}=\frac{ab'+a'b}{bb'}$.
  Tout de suite la formule ne tombe plus du ciel, elle a une logique, elle se comprend comme faisant partie d'un jeu de Lego : je n'ai même pas besoin de l'apprendre, j'ai juste besoin de savoir imbriquer correctement les étapes pour la démontrer (et de fait, je ne l'ai jamais apprise, je l'ai juste retrouvé par démonstration).
Tu demandes assez cocassement s'il faut «subir la démonstration de tout le fonctionnement d'un téléphone mobile pour pouvoir l'utiliser ?» et je vais te répondre que… oui ! Oui, sinon tu n'utilises pas ton téléphone portable : tu le subis. Et je le sais que trop bien avec les personnes de tout âge qui me contactent ou demandent de l'aide un peu partout au moindre souci, incapable de comprendre ce qu'il se passe et de "réparer" elles-mêmes le bousin : elles n'ont pas subi la démonstration du fonctionnement mais subissent en retour les caprices de l'outil (en réalité ce caprice c'est le leur de ne pas avoir voulu initialement apprendre).

À présent, si mon premier pavé était à charge, attaquons dès à présent la décharge. Il va peut-être paraitre étrange que j'ai été aussi incisif dans ma première réponse et que je sois ici un gentil petit ours ; mais faites-moi confiance et laissez vous embarquer.

"Accompagnez-moi."
(Impossible de mettre la citation en anglais… tristesse)

Avant de commencer, je tiens quand même à re-préciser une chose que j'ai déjà dite et je j'ai assez vivement re-critiqué dans le dernier pavé : je ne pense pas qu'un élève soit en mesure de quantifier par lui-même la qualité de l'enseignement qu'il reçoit.
Dire, en tant qu'élève, "en cours on apprend rien" ou encore que "avec Borassus j'ai tout compris" est hors de propos.
Comme tu le disais si justement pour t'en moquer (gentiment), oui un professeur a son CAPES ou son Agrégation et sait, de fait, mieux que l'élève ce qui doit être enseigné et comment ça doit être enseigné.
Ça peut tout à fait ne pas convenir à un ou deux élèves en particulier ou a une classe une année particulière ; mais il n'empêche qu'un "prof agrégé" qui "[…] enseigne depuis vingt ans" sait mieux que nous comment gérer ses classes, non ?
En tout cas c'est la justification que tu m'as donné à propos de ton propre enseignement ! En rétorquant qu’il serait courtois que je ne te critique pas ! Pourquoi les professeurs en service n'y auraient pas aussi le droit ?

C'est ce qui me fait dire que ta croisade incessante, aussi bien justifiée qu'injustifiée (voire plus bas), peut-être contre-productive, particulièrement lorsque tu essaies de faire «l'intéressant».
Quand je dis faire l’intéressant, je parle évidemment de ce que j'écrivais cette nuit : trouver et connaitre l'astuce pour shunter un exercice. Pourquoi cela revient à faire l'intéressant ? Parce que, comme je l'écrivais alors, ça revient surtout à répondre à côté de la plaque. Tu te dis "tien, c'est un exercice qui utilise un triangle multiple de $(3,4,5)$ donc disons que c'est $(3k,4k,5k)$ donc c'est rectangle" alors que l'attendu est de vérifier la capacité de l'élève à mobiliser ses connaissances du théorème de Pythagore.
Note qu'ici c'est Pythagore, mais ça peut être n'importe quoi d'autre.

Ainsi, même si je te rejoins parfaitement sur le fait qu'un professeur particulier se doit, avec les bons élèves, d'aller plus loin que le cours académique (que j'ai déjà dit de nombreuses fois être raz des pâquerettes) ; je te rejoins beaucoup moins lorsqu'il s'agit de court-circuiter ce dernier en te mettant en conflit avec le professeur. Se faisant, tu participes à décrédibiliser la parole du professeur après des élèves mais aussi auprès de leurs parents. Professeurs qui se cassent le trognon à essayer de contenter tout le monde entre leurs $35$ élèves par classe, les parents de ces élèves, les autres professeurs qui auront leurs élèves les années suivantes et l'administration qui retire tous les dix ans toute substance aux programmes.

Quoi qu'il en soit, il est évident que les élèves ne sont pas idiots, loin s'en faut, et que l'école telle qu'elle existe aujourd'hui ne leur permet pas de carburer à leur plein potentiel. Ceci provient du fait que, comme je le disais, on fait passer dans des classes des élèves qui n'ont rien à y faire : que fait en seconde générale un élève qui ne sait même pas reconnaitre une identité remarquable ? Que font en sixième des élèves qui ne savent presque pas lire, écrire, compter et calculer ? Ce n'est pas contre eux spécifiquement : je suis certain qu'ils peuvent être de charmants enfants au demeurant. Simplement ces enfants, à qui il va falloir adapter les cours, à qui il va falloir rabâcher pour la 100ᵉ fois que oui, il faut mettre un «e» au féminin ou que non les terminaisons «é» et «er» ne sont pas les mêmes, etc… ralentissent les classes.
Ainsi donc, tu te retrouves avec une classe de sixième qui est, au pif, $\frac{1}{3}$ "mauvaise" et $\frac{2}{3}$ "bonne à excellente" dont les ratios tendent à s’équilibrer en fin d'année vers du $50/50$. Pourquoi ? Selon moi parce que les mauvais élèves ont accaparé tout le temps et toutes les ressources du professeur qui devait s'occuper d'eux ; les bons éléments se sont alors retrouvé démunis à ne plus rien faire et même ne plus rien avoir à faire pour "réussir". Évidement : pour ne pas défavoriser les uns par rapport aux autres, on s'adapte au niveau des plus faibles. On nivelle vers le bas.

Même sans être professeur, ce nivellement vers le bas s'observe sur les copies de ses propres enfants/petits-enfants. Quand un enfant obtient tous les points pour un calcul faux mais qui fait montre du fait qu'il a à peu près compris ce qui était attendu ; ou encore qu'il obtient tous les points à une dictée parce qu'il a fait moins de cinq fautes en tout (quand d'autres en font cinq par lignes…) ; il ne faut pas s'étonner qu'on en arrive là où on est.

Tout ceci, avec la pression des parents qui ne comprennent pas quand leur chérubin a des mauvaises notes alors que l'année précédente il avait $18$ partout, la pression sociétale qui considère que les professeurs ne sont que des bons à rien, la pression des professeurs particuliers comme toi qui se mettent en opposition plutôt que d'aller main dans la main ; on comprend pourquoi certains professeurs laissent tomber et prodigue un cours qui peut te sembler mauvais et contre lequel tu pars en croisade.

Pour revenir à tes élèves, contre lesquels j'ai été plutôt incisif, on comprend mieux pourquoi je disais penser qu'"ils ne font rien" et que tu es leur meilleure béquille.
Attention, même si ce que j'avais écrit peut laisser croire que je les prends pour des bons à rien, ce n'est pas le cas.
Au contraire, je crois qu'ils ont plutôt été formés, par les circonstances dans lesquelles se trouve l'École Républicaine du XXIᵉ siècle, à en faire le moins possible : aussi bien en cours que chez eux.

En cours tout d'abord parce qu'ils sont laissés à eux-mêmes. Que ce soit physiquement avec les professeurs qui doivent faire la garderie pour les plus mauvais éléments ou encore leur répéter la même chose pour la dixième fois en une heure, ou que ce soit psychologiquement avec un manque flagrant de considération.
Chez eux aussi, parce qu'en faisant tout juste le minimum syndical, ils obtiennent $12$ ou $13$ (ce qui nous aurait probablement valu, à nos époques, à peine $7$ ou $8$).

C'est là que tu entres en scène et que tu te bousilles (c'est un bien grand mot que j'ai utilisé pour les piquer un peu mais je trouve qu'il y a un peu de ça !) la santé. En effet, ils savent que même en en faisant le moins possible, tu seras là pour les aider à remonter leur niveau. D'autant que tu te plies toujours en quatre pour eux. Même lorsqu'ils ne te paient pas d'ailleurs (on l'a vu ici il y a quelques mois ^_^).

Ainsi donc, tu nous dis que tes élèves ont l'impression d'être pris pour des idiots en cours et qu'avec toi ils ont l'impression d'être intelligents. Moi j'ai l'impression qu'ils prennent le problème à l'envers. Ils sont intelligents, ça il n'y a pas de doute là-dessus. En revanche, ils ont mal été dressés.
Si à une époque on dressait les élèves à être des bêtes de course pour le bien de La Nation en leur faisant manger $300$ factorisations et identité remarquables toutes plus complexes les unes que les autres en quatrième ; aujourd'hui, on les dresse à être moyen en mangeant toujours $300$ identités remarquables mais toutes à difficulté équivalente.
Il manque les exercices déclics qui nous font nous dire « wouah ! celle-là elle était trop dure mais j’ai réussi ! ça veut dire que maintenant je les réussirai toute ! ». Heureusement c’est la que le chevalier Sire Borassus arrive sur son destrier ! Sans sarcasme aucun, tu as bien raison !

Il s'agit là de la mise en place, sournoisement et insidieusement, de la médiocratie (La Médiocratie d'Alain Deneault) et de l'injonction à être moyen, médiocre, interchangeable !
Note que je n'ai rien contre les élèves moyens ou mauvais. Non, comme je le disais tout à l'heure ils peuvent avoir d'autres qualités autre part. Le problème c'est quand tout cela devient institutionnel et qu'on les encourage dans une voie qui ne leur convient pas et qu'on utilise leur niveau pour justifier la mise en place de politiques de nivellement par le bas.
Dès que tu comprends ça, ou du moins que tu commences à l’entr’apercevoir, tu comprends un peu mieux le fonctionnement actuellement déplorable de la société et de l'École.
Celle-ci n'est plus présente pour former les grands esprits et les futures têtes de La Nation. Si c'était le cas on refuserait catégoriquement que ces grands esprits — les normaliens ou polytechniciens en tête — se fassent racheter par l'étranger. Non, elle est présente pour, en fin de compte, former des éléments interchangeables dans les entreprises.

Tes élèves, dont tu as bien raison en un sens (seulement) d'être en croisade contre leurs profs, personne n'attend d'eux à ce qu'ils deviennent de grandes têtes, à ce qu'ils se démarquent des autres. Non, on s'attend à ce qu'ils rentrent dans le moule. Et rentrer dans le moule commence, notamment par répondre correctement aux questions.
De fait, ce moule de l'École est à double tranchant : si bien employé il permet de donner un carcan duquel il est possible de former la future élite, si mal employé il bride le potentiel des élèves.

Le fait est que je pense, encore une fois, que les professeurs se rendent compte du manège dans lequel ils se trouvent et tentent de faire du mieux qu'ils peuvent pour essayer de sortir le meilleur de ce moule (peut-être par force centrifuge ?).
Moule qui mine de rien, leur permet de disposer d'un cadre théorique leur permettant d'évaluer leurs élèves (« untel maitrise-t-il réellement le théorème de Pythagore, oui ou non ? »)
Simplement, cela me paraît être un jeu hasardeux : les élèves sont habitués dès le plus jeune âge à en faire le moins possible et les remontrances des parents ou de la direction ne sont pas loin.

C'est pourquoi, je trouve encore une fois dommage que tu t'en prennes aux mauvaises personnes en insinuant que les professeurs seraient mauvais ou qu'ils prendraient les élèves pour des idiots. Ça ne me semble pas être le cas (sauf peut-être pour les un ou deux vrais idiots qu'ils voient chaque année) ; et en réalité ils m'ont l'air de tout faire pour essayer d'aider le plus possible leurs élèves à s'élever.
C'est juste que, dans une classe de $35$ élèves avec $5$ à $10$ mauvais, $10$ à $15$ moyens-bons et à peine $5$ très bons-excellent, c'est difficile de tenir la route pour tout le monde. Il faut faire des choix. Et le choix a été fait, depuis longtemps maintenant, de favoriser tout le monde.
C'est très probablement une erreur : comme je l'ai écrit un élève c'est feignant et ça en fait en moins possible. Donc si tu baisses les attendus, à travail personnel constant (les élèves ne vont pas magiquement en faire plus parce que tu baisses le niveau), tu baisses le niveau général.

Si tu veux mon avis définitif, je pense que tu as raison d'agir comme tu le fais sur le fond : apprendre aux élèves à s'élever en leur montrant qu'ils sont plus intelligents qu'ils ne le croient ; à les élever en leur donnant accès à un savoir presque interdit aux non-initiés ; etc.
En revanche, je pense que tu as très clairement tort sur la forme en voulant passer pour un chasseur de dragons en t'en prenant aux mauvaises personnes.
Les professeurs ont besoin d'un cadre dans lequel évaluer tout le monde (parce qu'on leur donne tout le monde) aussi bien les mauvais que les moins mauvais ; et ont des attendus à juger. Le théorème de Pythagore, puisque c'est lui qui fait l'objet de la discussion, est l'un des attendu, si ce n'est l'unique attendu, le plus important du collège. Pour une raison très simple, il est le premier (et le seul il me semble) théorème à en être vraiment un : théorème + démonstration. Démonstration dont il est attendu des élèves qu'ils se l'approprient au travers de nombreux exercices pour commencer à toucher du doigt ce que sont vraiment les mathématiques. La science de la démonstration. Et pas que d'ailleurs, l'utilisation de ce théorème à la lettre est aussi (la seule) présente pour apprendre aux élèves à raisonner. Sans ça, un élève quitterait le collège sans avoir jamais formulé un seul raisonnement, quel qu’il soit. Raisonnement que tu fais disparaître en deux coups de cuillère à pot dès que tu expliques "la magie", "l'astuce".

Bon… ça commence à être un vraiment très long pavé. Je crois que j'ai explosé un bon nombre de records. Pourtant j'aurais encore plein de choses à écrire (plus j'écris de paragraphes plus je me rends compte que qu'ils pourraient être développés dans des pavés à part) mais je crois que je vais quand même m'arrêter.

Pour ceux qui voudraient le résumé en quelques lignes :
Borassus est un excellent prof particulier, pas de doute — tellement pas de doute que j'aurais très probablement aimé l'avoir comme prof étant plus jeune — et il a raison sur le fond. Simplement sur la forme il est, selon moi, en tort avec sa croisade contre les professeurs qui se doivent de rester dans un cadre leur permettant de juger (selon des critères très largement définis par d'autres sur lesquels ils n'ont que très peu de marges de manœuvre) tous les élèves qu'ils reçoivent. Dans ces critères se trouve, en quatrième, la capacité ou non d'utiliser le théorème de Pythagore en suivant un raisonnement logique (à une seule étape, certes, mais il faut bien commencer quelque part !).
Les élèves de Borassus que j'ai qualifié de feignants dans la première partie pour être un peu piquant sont, en réalité, plus des victimes collatérales d'un système qui favorise la médiocratie par l’interchangeabilité des effectifs qui se doivent d'êtres moyens. Ce n'est pas un mal d'être moyen, c'est un problème quand c'est institutionnel.

[EDIT by yoshi] Eh DrStone, Pas trouvé ta citation..
Tu t'es heurté au No spam, please. Je n'ai pas pu chercher le contournement (il est toujours possible, mais avec les bots vantant de faux médocs en Anglais, ça ne passe pas : chercher un contournement ça peut être long, ça passe par une recherche avec méthode par dichotomie afin d'identifier le mot - banal - coupable (parfois 2 ou 3) dans un pavé et eux, ils n'insistent pas :
J'ai essayé ça :
A journey into the cosmos
Eh bien, ça passe et ça devrait pas : sur 2 mots potentiellement bloqueurs, au moins pour l'un d'entre eux, j'ai la certitude qu'il figure dans la liste que j'avais donnée à Fred quand on a été au bord de la rupture....

Dernière modification par DrStone (03-12-2024 22:05:38)

cailloux · 03-12-2024 19:27:13

Bonsoir à tous,
Nous sommes donc sur un fil relatif au "théorème de Pythagore".
Je ne fais pas partie du "sérail". Mais il me semble que cette notion est vue au collège.
Il me semble aussi qu'aucune démonstration sérieuse n'est proposée dans un cours à ce niveau.
De mon point de vue, c'est lamentable. Il ne faut pas s'étonner que l'enseignement des maths parte à vau l'eau dans notre bonne république.
On fait des maths ou on enfile des perles ?
Désormais, certains parlent (par dérision et à juste raison!) de l'"axiome de Pythagore" mais aussi de l'"axiome de Thalès" pas plus démontré au collège.
L'ami Borassus semble cautionner cet état des lieux.
Désolant.

DrStone · 03-12-2024 19:43:58

Bonsoir cailloux.

Juste pour la rigolade,

que dire de l'époque moderne où le théorème de Thalès était un axiome en quatrième et dont il n'y avait aucune obligation de démonstration jusqu'à la fin du secondaire ?

Même si c'était possible dès la seconde avec l'introduction des espaces affines et de tout ce qui gravite autour.

DrStone · 03-12-2024 20:22:36

Re,

yoshi,

la citation est la toute dernière phrase de la vidéo qui en français un peu plus direct se dirait "suivez-moi" ou, en mot à mot, "venez avec moi".

yoshi · 03-12-2024 21:59:47

Re,

De mémoire, parce qu'une recherche ne m'a permis de les retrouver dans ma bécane, pourtant il y sont...

Les démos peuvent être traitées sous forme d'exercices en coupant les questions en "tranches fines"...
La preuve que c'est possible et pas de la démonstratite aigüe
Droite des milieux
En 3e.
Via les vecteurs...
Soit un triangle ABC quelconque.
Soient M et N, les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC].
1. En décomposant $\overrightarrow{BA}$ en passant par M et $\overrightarrow{AC}=2 \overrightarrow{MN}$, montrer que $\overrightarrow{BC}= 2\overrightarrow{MN}$
2. Quel théorème de 4e avez-vous démontré et pourquoi ?

Et ça c'est gentil ! En 3e en DM, je demandais de montrer que le centre de gravité G d'un triangle ABC quelconque, avec M milieu de [BC] est tel que $\overrightarrow{AG}= 2\overrightarrow{2GM}$ puis en passant aux longueurs d'arriver à AG =\frac 2 3 AM...
Ça prenait 5 questions mêlant géométrie classique et vecteurs.
J'étais dur en Géométrie, tout en restant prudent...

Ils avaient tous la consigne -assez bien respectée, en cas de souci, de ne pas aller à la pêche aux renseignements en dehors de moi (parce que je lâchais alors le strict minimum... Parfois, tourner la question autrement était suffisant : piégés par les mots...)

En 4e, démonstration donnée à faire sous forme d'exo :
On considère un triangle ABC quelconque et M le milieu de [AB].
La parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N.
Là parallèle à (AB) passant par C coupe la demi-droite [MN) en P.
1. Quelle est la nature du quadrilatère BCPM ?
Qu'en déduisez-vous pour les longueurs BM et CP
2. Tracez les segments [MC] et [PA].
Montrer que le quadrilatère AMCP est un parallélogramme.
Que pouvez-vous dire alors du point N ?
3. Quel théorème de la droite des milieux avez-vous démontré et pourquoi ?

N-B : là j'étais à 2 (voire 3) pas... Même si, pour un élève sérieux de 4e) les notions à mobiliser ne cassaient pas des barreaux de chaise en 2, c'était le nombre de pas qui était problématique : 2, c'était la limite, 3 commençait à faire beaucoup... Le prof se mettait en "danger" parce qu'au delà des "recommandations" officielles.
L'intérêt de cet exercice est qu'il supporte au moins une variante:
On donne M et N milieux respectifs de [AB] et de [AC] et on pose sur [MN) et n'appartenant pas à [MN] le point P tel que AN=NP.
Et on inverse les questions sur les parallélos en commençant par APCM pour "rebondir" ensuite sur MPCA pur finir sur le parall"lisme entre (MP) et (BC)...
Plusieurs remarques :
Passer de MN = NP à N milieu de [MP] compte pour un pas... En fin d'année, il n'y aura pas 100 % des élèves capables de le franchir seuls,n
Passer à la symbolisation du double de ou du milieu de pose curieusement un problème à un nombre non négligeable qui placent le 2 ou le $\frac 1 2$ du mauvais côté du signe =

@+

[EDIT] Dans mon Lebossé & Hémery, le Th de Thalès se disait ainsi :
Des parallèles découpent sur des sécantes des segments proportionnels...
Pourquoi la forme d'aujourd'hui, alambiquée et plus restrictive ?

Dernière modification par yoshi (03-12-2024 22:07:40)

Borassus · 04-12-2024 02:19:30

Bonsoir (ou, plus probablement, bonjour)

Fichtre ! Que d'échanges de pavés je provoque ! Borassus génère souvent des débats enflammés ; celui-ci n'est pas mal dans le genre. :-)

Tout d'abord, Doc, tu me reproches de me bousiller la santé. Rassure-toi, je me suis grandement assagi depuis "l'incident" et ne cours pas les cours jusqu'à point d'heure — à un moment, je me suis rendu compte qu'en dehors du dimanche soir, je n'avais pas une seule soirée chez moi —, même si mes journées commencent souvent vers 6 h 30 et se terminent souvent vers 1 h 30, voire 2 h 15. (Je consacre en ce moment beaucoup d'heures à une interface html-css sophistiquée nécessitant un code JavaScript de technicité relativement élevée. Un grand merci à ChatGPT sans lequel ce développement aurait été considérablement plus difficile.)
Mais écrire jusqu'à quatre heures du matin pour répondre à ce sacré Borassus n'est peut-être pas ce qu'il y a de mieux en termes de santé ? :-)

Doc, tu m'as convaincu : j'insisterai auprès de mon élève actuel et auprès de mes éventuels futurs élèves collégiens que les questions de type « Calculer la longueur de tel côté d'un rectangle connaissant les longueurs des deux autres côtés » ou « Déterminer si tel rectangle dont on connaît les longueurs des trois côtés est rectangle ou non » sont destinées à s'assurer que les élèves maîtrisent bien le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée.
Je préviendrai aussi, ce que je fais d'ailleurs systématiquement, qu'une proportion importante d'exercices sont basés sur le triangle 3, 4, 5, qu'il faut apprendre à les repérer facilement, ne serait que pour savoir rapidement à quelle valeur ou à quelle déduction on doit aboutir, et que court-circuiter la question peut être mal vu.

Je rappelle en outre que mon message n°2, qui modérait en quelque sorte le premier, était libellé

Je conseille à mes élèves de d'abord "faire l'âne pour avoir du son" en écrivant le développement "académique" et de placer la résolution simple en remarque.

Je maintiens cependant qu'il est à mon sens pertinent d'expliquer que tout triangle rectangle dont les trois côtés sont un multiple (au sens large : multiplicateur plus grand que 1, ou plus petit que 1) du triangle 3, 4, 5 est un triangle rectangle auquel on peut donc appliquer le théorème de Pythagore.

Je ne saurais répondre ce soir à tous les points que tu soulèves, d'autant plus que je commence à sentir l'heure — il est presque minuit —, m'étant levé à 6 h 15. (Oui, rédiger des réponses fournies demande beaucoup de temps. C'est pour cela que j'avais "feuilletonné" mes réponses.)

Un point toutefois auquel je souhaite répondre : je ne fais rigoureusement pas de "vulgarisation" et cherche au contraire en permanence à montrer que les formules qu'on fait apprendre sont limitées à des cas particuliers, et à élargir autant que possible les concepts enseignés en classe.
Ce n'est, par exemple, pas de la vulgarisation que de faire dériver un produit de trois fonctions composées, de développer une somme de quatre termes élevée à la puissance 2 ou 3, de faire étudier un polynôme du second degré dont la variable est la racine d'un polynôme du second degré, de faire dériver une fonction composée à six ou sept niveaux d'imbrication, de faire dériver une fonction fantaisiste multi-composée de trois variables, de faire calculer une intégrale triple, etc.
C'est en proposant des exercices délirants que je fais comprendre le cours vu en classe. Et mes délires n'ont strictement rien à voir avec de la "vulgarisation".

Justement, à propos d'élévation d'une somme au carré : Je n'ai pas encore vraiment lu en détail la discussion du forum Café mathématique citée par Yoshi et intitulée "Factorisation "intuitive", mais j'ai immédiatement "percuté" sur la phrase de Zebre57

le pb étant que je n'ai jamais vu comme identité remarquable $(a + b + c)^2$.

phrase qui répond à point nommé à mon interrogation

Quelle rupture conceptuelle y a-t-il à montrer la logique de $(a + b + c)^2$ en l'appliquant à un développement de type $(5a - 3b - 7c + 10d)^2$ ?

Pas une seule fois, je n'ai vu un élève de Terminale sachant développer $(a + b + c)^2$ !!
Pourtant, dès que j'écris $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$, les élèves, collégiens comme lycéens, sans exception, comprennent en moins de deux secondes la logique du développement : les carrés d'abord, deux fois le produit des deux termes ensuite.
Très bien ! Comment maintenant développes-tu $(a + b + c)^2$ ? Deux secondes de réflexion, et hop, ils me dictent, $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.
Très bien ! Et maintenant, comment développes-tu $(a + b + c + d)^2$ ? Là il faut trois ou quatre secondes pour comprendre la systématisation : $a$ multiplié par les termes $b$, $c$, $d$ ; $b$ multiplié par les termes $c$ et $d$ ; $c$ multiplié par seulement $d$.
Très bien ! Et maintenant $(5a - 3b - 7c + 10d)^2$ (ou n'importe quel somme qui me passe par la tête).

En moins de trois minutes, cinq si l'exercice proposé est fastidieux, ils comprennent la logique générale du développement d'une somme d'un nombre quelconque de termes élevée au carré, et comprennent que si la somme est composée de seulement deux termes, il n'y a qu'un seul produit de type 2 fois le produit de deux termes différents, signe compris. Exit donc les deux formules ! Il n'y a rien à apprendre, juste une logique générale à comprendre.

Est-ce là une difficulté insoutenable, réservée à une élite au QI particulièrement élevé et bénéficiant d'un contexte socio-économique plus que favorable ? Pourquoi quasiment aucun élève de Terminale ne sait développer $(a + b + c)^2$ ???
Et cette explication est accessible aussi bien en cours particulier, en stage de vacances ou en classe.

Note : Le public des stages de vacances n'est pas toujours facile. Le plus souvent, les élèves n'ont pas demandé à suivre un stage pendant leurs vacances, ou fin de vacances en été. Régulièrement, j'ai un ou une élève qui d'emblée veut saborder le stage en ayant une attitude qui montre à quel point il ou elle s'en bat une certaine partie de son anatomie. Puis à un moment, il ou elle se prend au jeu que je propose, commence à avoir plaisir à comprendre, et devient presque intenable : il ou elle veut toujours répondre, explique aux autres, veut des exos encore plus délirants. Tu n'as pas idée, et Yoshi le confirmera sans doute, à quel point les élèves peuvent avoir plaisir à comprendre !
(J'ai le souvenir d'une fille, de Première je crois, qui au début était parfaitement réfractaire et désagréable. A la fin du stage, elle s'est jetée à mon cou, et m'a, sous le regard étonné des autres stagiaires, déposé un énorme poutou sur la joue. :-)

Sur ce, je vais commencer à me préparer au dodo. (Cela fait presque 19 heures que je veille, et il est presque 1 h 30.)

PS : Je serai à l'extérieur quasiment toute la journée de demain. Je ne pourrai donc vous lire et répondre qu'en soirée.

Dernière modification par Borassus (04-12-2024 02:34:57)

Borassus · 04-12-2024 10:28:01

Bonjour Yoshissime, bonjour à tous,

Quel théorème de la droite des milieux avez-vous démontré et pourquoi ?

Oui ! Mille fois oui ! Que les exercices seraient plus intéressants s'ils donnaient l'impression de découvrir, de démontrer et de rédiger un théorème !

J'ai précisément en mémoire un exercice de géométrie dans le plan et dans l'espace de Terminale dont j'avais rédigé il y a exactement deux ans le corrigé explicatif détaillé pour une élève, Anne.
(Intensément pris par mon projet, je n'arrive malheureusement plus, en ce moment, à rédiger des corrigés explicatifs, ce que j'appelle "mon SAV", car un seul corrigé pouvait facilement représenter une dizaine d'heures, voire le double. J'ai tout un rayonnage rempli de mes écrits rédigés pour tel ou tel élève. Je suis peut-être loin des écrits accumulés par Yoshi, mais cela représente un volume conséquent.)

L'exercice en deux parties, l'une dans le plan, l'autre dans l'esapce, faisait intervenir une translation particulière suivie d'une symétrie elle aussi particulière.

Voici d'abord ce que j'ai noté sur le manuel : « Exemple type d'exercice GPS ! Ne faisant pas comprendre la logique ! Sans intérêt, alors qu'il est intéressant. »

Et voici ce que j'ai écrit à Anne :

Erratum : "l'ordre des transformations" et non "l'ordre des informations".

J'ai alors réécrit l'énoncé de façon plus générale, sans traiter de cas particulier, en le commençant par

L'objet de cet exercice est de répondre à la question de curiosité « Quelle est la transformation résultant d'une translation suivie d'une symétrie centrale ? »

et en le terminant précisément par les questions

Formulez de façon générale, en français, la transformation résultant de la translation de vecteur $\vec u$ suivie d'une symétrie de centre $\Gamma$. L'ordre des deux transformations successives importe-t-il ?

J'ai ensuite regretté de ne pas avoir écrit « Quel théorème venez-vous de démontrer ? » à la place de « Formulez de façon générale [...] ».

Bonne journée à tous.
@+

Dernière modification par Borassus (04-12-2024 10:38:30)

Borassus · 04-12-2024 10:52:36

cailloux a écrit :

Bonsoir à tous,
[...]
Il me semble aussi qu'aucune démonstration sérieuse n'est proposée dans un cours à ce niveau.
De mon point de vue, c'est lamentable. Il ne faut pas s'étonner que l'enseignement des maths parte à vau l'eau dans notre bonne république.
On fait des maths ou on enfile des perles ?
Désormais, certains parlent (par dérision et à juste raison!) de l'"axiome de Pythagore" mais aussi de l'"axiome de Thalès" pas plus démontré au collège.
L'ami Borassus semble cautionner cet état des lieux.
Désolant.

Bonjour Cailloux,

Je suis désolé d'être désolant. :-)

Il y a semble-t-il plus de 400 démonstrations documentées du théorème de Pythagore. (J'ai un livre sur ce théorème qui présente quelques-unes de ces démonstrations.)
Personnellement, cela ne me dérange absolument pas de ne pas en connaître quelques-unes par cœur, et de ne pas savoir le démontrer face à une ou un élève. Ce qui par contre m'intéresse, c'est les logiques qu'on peut déduire de ce fameux théorème.

yoshi · 04-12-2024 11:02:26

RE,

Borassus a écrit :

Pas une seule fois, je n'ai vu un élève de Terminale sachant développer (a+b+c)2 !!
Pourtant, dès que j'écris (a+b)2=a2+b2+2ab, les élèves, collégiens comme lycéens, sans exception, comprennent en moins de deux secondes la logique du développement : les carrés d'abord, deux fois le produit des deux termes ensuite.
Très bien ! Comment maintenant développes-tu (a+b+c)2 ? Deux secondes de réflexion, et hop, ils me dictent, a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
Très bien ! Et maintenant, comment développes-tu (a+b+c+d)2 ? Là il faut trois ou quatre secondes pour comprendre la systématisation : a multiplié par les termes b, c, d ; b multiplié par les termes c et d ; c multiplié par seulement d.
Très bien (...)

Là tu m'en bouches un coin...
Ceux qui sont passés entre mes mains en 3e et qui ont décidé de continuer à faire des maths auraient procédé ainsi :
$(a+b+c)^2= [(a+b)+c]^2 =(a+b)^2+c^2+2(a+b)\times c =\cdots$
voire
$(a+b+c)^2= [a+(b+c)]^2 =a^2+(b+c)^2+2a(b+c)\=\cdots$

Ajouter un moins ici :
$(a-b+c)^2= [(a-b)+c]^2 =(a-b)^2+c^2+2(a-b)\times c =\cdots$
ou devant le c :
$(a+b-c)^2= [(a+b)-c]^2 =(a+b)^2+c^2-2(a+b)\times c =\cdots$
ne changeait pas grand chose à la méthode.

Et en ajouter 2 ?
S'ils suivaient mon conseil de choisir (a-b), ils avaient de grandes chances d'éviter la faute de signe consistant à oublier de changer le - en + dans la parenthèse:
$(a-b-c)^2= [(a-b)-c]^2 =(a-b)^2+c^2-2(a-b)\times c =\cdots$
Où ça ? Mais ici :
$(a-b-c)^2= [a-(b$+$c)]^2 =a^2+(b-c)^2-2a(b+c)^2=\cdots$

De même, en cas de développant jugé comme exigeant de la virtuosité technique :
$(x-2y+3z)(x+2y-3z) =?$
ils savaient qu'ils devaient chercher à ne ne pas se compliquer la vie : "Un bon matheux est paresseux, mais c'est un paresseux intelligent qui réfléchit d'agir..."
Ceux qui avaient testé les exos traités dans mon "memento factorisation" (présenté sur Bibmath) repéraient tout de suite le duo :
$-2y+3z$ et $+2y-3z$
et écrivaient :
$(x-2y+3z)(x+2y-3z) =[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)]$ ce qui leur offrait un développement plus confortable et plus sûr..

@+

Borassus · 04-12-2024 11:10:45

Concernant les trois théorèmes des milieux, j'explique qu'il peuvent s'appliquer à n'importe quel rapport, la condition impérative étant, naturellement, que les rapports soient comptés à partir d'un même sommet. On pourrait donc énoncer les "théorèmes des trois-cinquièmes" ou les "théorèmes des neuf-quarts".
Les élèves comprennent parfaitement que ces extensions relèvent de la logique du théorème de Thales.

Yoshi a écrit :

Dans mon Lebossé & Hémery, le Th de Thalès se disait ainsi :
Des parallèles découpent sur des sécantes des segments proportionnels...
Pourquoi la forme d'aujourd'hui, alambiquée et plus restrictive ?

Oui !!!

PS : Je crois que je vais investir dans l'acquisition de manuels Lebossé & Hémery. Je n'en ai malheureusement aucun.

Borassus · 04-12-2024 11:30:44

[...]
De même, en cas de développement jugé comme exigeant de la virtuosité technique :
$(x-2y+3z)(x+2y-3z) =?$

Je propose des exercices de ce style. Les élèves sont alors complètement désorientés car il ne savent pas RÉÉCRIRE une expression selon une autre logique. Je leur explique alors qu'un très grand nombre d'exercices se résolvent simplement en réécrivant l'expression initiale selon une autre structure. On ne change rien au résultat de l'expression, mais on en change la vision.

Un bon matheux est paresseux, mais c'est un paresseux intelligent qui réfléchit avant d'agir...

Mille fois oui !!
C'est ce que je dis en permanence en substance à mes élèves : prenez le temps d'observer, de comprendre "la structure grammaticale" d'une expression ! Ce temps court de recul vous évite de perdre beaucoup de temps ! dans leur grande majorité, les exercices sont conçus pour être simples !
(Souvent, lorsqu'on revoit ensemble une copie de contrôle, les élèves sont tout surpris de découvrir la simplicité de certains exercices ou de certaines questions. « C'est tout ? »)

L'ennemi premier est « J'ai pas l'temps ! », affirmation que j'ai entendue un très grand nombre de fois.
La métaphore que j'utilise est « Mais tu as le temps de te taillader les doigts avec une petite lame de rasoir, et de mettre des taches partout sur la copie. Les taches sont les annotations négatives, au stylo rouge, du prof. »

Sur ce, je pars. Bonne journée.

Dernière modification par Borassus (04-12-2024 11:37:03)

Ernst · 04-12-2024 14:54:35

Amis des discussions, bonjour.

Le présupposé de tous ces échanges, c’est que l’élève standard existerait, que vous l’avez rencontré, et vous en êtes à discuter la meilleure façon de faire passer une notion particulière. Sauf que voilà, ce qui va marcher avec l’un peut très bien être inopérant avec un autre.

Fondamentalement, un élève n’a aucune idée de la justesse de ce qu’il écrit (sinon il ne serait plus élève) il sait simplement que :
- les problèmes qu’on lui pose ont une solution
- que cette solution est inutile, c’est sa construction qui compte
- que toute explication attire du rouge

Exemple, réduire 1666/6664. Je peux simplifier quand il y a la même valeur au numérateur et au dénominateur, donc en supprimant les 6 les uns après les autres j’obtiens 1666/6664 = 166/664 = 16/64 = 1/4. Je connais la règle, j’explique bien, toutes les égalités sont parfaitement justes, et pourtant j’ai du rouge...

Autre exemple, résoudre x² = 25. Je simplifie en supprimant le 2 dans les deux membres, la bonne réponse est donc x = 5. Là encore c’est parfaitement juste, et pourtant là aussi pof, du rouge...

On s’étonne après cela que je n'y comprenne rien ! :-)

P-S : tiens, quand aujourd’hui j’apprends qu’en maths à l’école on est dernier et avant-dernier de l’Union Européenne, moi je dis bien fait. La méthode plutôt solide qui consistait à apprendre par cœur tables et formules a si bien été combattue par tous les pédagos qu’on a finalement ce que l’on mérite.

Borassus · 04-12-2024 23:25:51

Bonsoir Ernst, bonsoir tout le monde,

Non, je n'ai pas rencontré l'élève standard, et de loin. Chaque élève est différent des autres, et ce qui est possible avec l'un n'est pas forcément possible avec d'autres. (Il y a même des élèves qu'il faut "lever au cric", celui-ci présentant toutefois une fuite : vous shadokez comme un malade, mais à la séance suivante, vous vous rendez compte que la fuite a eu raison de vos efforts.)

Ce que je constate de par ma pratique, que j'enrichis et améliore sans cesse, y compris grâce aux discussions que j'ai avec vous, c'est que mon approche si particulière fonctionne avec la majorité de mes élèves — intuitivement huit élèves sur dix —, que ce soit en cours particulier ou en stage.

Mais majorité signifie aussi minorité, à laquelle ma façon préférentielle d'enseigner n'est pas adaptée. Soit. J'essaie alors une autre approche, parfois sans succès notable. En général, dans cette situation, la séparation se fait alors d'un coté ou de l'autre : par exemple, je peux tenir une année scolaire mais ne souhaite pas continuer l'année suivante ; la séparation peut aussi provenir de la famille.

Exemple, réduire 1666/6664. Je peux simplifier quand il y a la même valeur au numérateur et au dénominateur, donc en supprimant les 6 les uns après les autres j’obtiens 1666/6664 = 166/664 = 16/64 = 1/4. Je connais la règle, j’explique bien, toutes les égalités sont parfaitement justes, et pourtant j’ai du rouge...

Lorsque je découvre une nouvelle erreur, je dis en riant à mon élève « En matière d'erreurs, vous avez une créativité insondable ! » (L'élève rit aussi.)
Mais je n'ai jusqu'ici jamais rencontré celle-ci !

Autre exemple, résoudre x² = 25. Je simplifie en supprimant le 2 dans les deux membres, la bonne réponse est donc x = 5. Là encore c’est parfaitement juste, et pourtant là aussi pof, du rouge...

Idem. Par contre, je rencontre très souvent $3^2 = 6$.

Bonne fin de soirée.

Dernière modification par Borassus (04-12-2024 23:53:20)

Borassus · 04-12-2024 23:59:43

« En matière d'erreurs, vous avez une créativité insondable ! »

Pour moi, une erreur, une confusion, une mauvaise compréhension sont toujours des enseignements qui me permettent d'enrichir mon "herbier" : si tel élève a pu faire telle erreur ou telle confusion, un autre élève peut aussi la faire. Je préviens donc mes élèves : « Attention à telle erreur ou à telle confusion, je l'ai déjà rencontrée ! »

J'utilise aussi mes propres erreurs — j'en fait, en particulier lorsque mon état de fatigue est significatif — comme outils pédagogiques : « Tu vois qu'on peut facilement faire cette erreur. Tu m'as vu la faire en direct. »

Dernière modification par Borassus (05-12-2024 00:12:25)

Ernst · 05-12-2024 23:49:21

Borassus a écrit :

Je préviens donc mes élèves : « Attention à telle erreur ou à telle confusion, je l'ai déjà rencontrée ! »

Bonsoir,

Si je peux me permettre, le cerveau humain a une capacité imprévisible à mémoriser quasiment tout et n’importe quoi, montrer des erreurs va finir par les ancrer d’une façon ou d’une autre, un peu comme ces QCM qui multiplient les mauvaises réponses en y mêlant des bonnes (c’est une source de confusion dont on mesure aujourd’hui les conséquences), de même que présenter des orthographes fautives est le meilleur moyen de créer des dysorthographies tenaces.

C’est toi je crois qui conseillais à tes élèves « explique le plus souvent possible, ça ne peut pas faire de mal et ça valorise socialement ». Le problème avec ça, c'est qu'aujourd'hui chacun se sent autorisé à inonder YouTube de vidéos ineptes et on finit par avoir affaire à une quantité invraisemblable d’élucubrations personnelles qu’il n’est plus possible de trier, c’est bien dommage.

yoshi · 06-12-2024 17:12:33

Bonjour,

La méthode, autrefois très en vogue, de présenter un texte avec des fautes, pour les faire trouver, expliquer, corriger est aujourd'hui (et depuis déjà pas mal de temps), bannie, proscrite...
Et on ne badine pas avec ça : l'instit, pardon, le professeur des écoles, qui se risquerait à la sortir de la naphtaline, à partir du moment où ceci remonterait jusqu'aux "bonnes" oreilles se prendrait une mercuriale dont il se souviendrait...

Quant aux Maths, si je pousse à l'extrême (Lénine aurait, paraît-il, dit un jour : << De la caricature naît la vérité ! >>) ce que tu écris, je comprends :
* Ne pas signaler et exploiter les fautes de raisonnement, ça ne fait que les fixer,
* Ne pas utiliser de stylo rouge, ça perturbe les élèves (en 68, on avait un slogan << Laissez la peur du rouge aux bêtes à cornes ! >>).
Euh... Même si c'est pour féliciter ou prodiguer des encouragements ? Quelle(s) couleur()s alors ?..
Que dire alors du temps de ma 6e où certains profs voulaient une marge rouge de 6 carreaux à droite de la feuille ou du cahier ?

[HS] Tiens, voilà un souvenir qui remonte à la surface : j'avais complètement oublié (!). Ça remonte aux années 1980/1990 probablement et pourtant... La mémoire "artificielle" aura bien du mal à simuler la mémoire humaine...
Donc, il fut un temps, où le Lycée attribuait des "Tableaux d'honneur" et affichait la liste nominative des heureux récipiendaires sur la porte du Lycée.
Puis advint le Collège : les Conseils de Classe attribuaient le tableau d'honneur aux élèves méritants (Mais le Collège ne dressait pas de liste globale, et donc pas d'affichage public).
On adressait aussi des mentions : Félicitations, Encouragements, Avertissements pour travail et/ou comportement, Blâme pour travail et/ou comportement..
Un jour, tout ça fut supprimé : ça perturbait ceux qui n'avaient ni tableau d'honneur, ni Félicitations, ni Encouragements... Seuls les avertissements et blâmes étaient maintenus...
J'avais râlé : << Donc le seul mérite reconnu à un élève sans histoires et qui bosse sérieusement voire bien, c'est d'avoir évité d'être blâmé ou averti pour son manque de travail et/ou son comportement ? Curieuse logique ! >>
En fin de compte cela aussi disparut officiellement...
Dans mon bahut (ailleurs aussi sûrement), nous avions trouvé une parade...
Exit les mentions et tableau d'honneur...
Mais le Prof Principal, après le Conseil de classe, mandaté par icelui, inscrivait au bas du bulletin trimestriel une appréciation globale du type : Le conseil de Classe te félicite... ou Le conseil de Classe a noté les efforts produits et t'encourage à... ou encore se fendait d'une mise en garde...
Pourquoi ? Et bien, officiellement, les élèves qui n'avaient ni Félicitations ni Encouragements se sentaient dévalorisés, montrés du doigt (c'était quand même "un peu" exagéré"...).
[/HS]

P-S : tiens, quand aujourd’hui j’apprends qu’en maths à l’école on est dernier et avant-dernier de l’Union Européenne, moi je dis bien fait. La méthode plutôt solide qui consistait à apprendre par cœur tables et formules a si bien été combattue par tous les pédagos qu’on a finalement ce que l’on mérite

Ça par contre, ça me reste tellement sur l'estomac que je ne vais pas commencer un débat pédagogique : vous en auriez pour 3 pages...

J'espère que l'un de mes petits camarades va ouvrir un débat là-dessus (Nouvelle discussion obligatoire et j'y participerais ponctuellement en essayant de rester sobre et concis (ça risque d'être dur, je me connais trop bien !).

Ah... Peut-être qu'une idée d'amorce va me venir, je sens comme un frétillement au bout de ma ligne ^_^...

@+

Ernst · 07-12-2024 01:40:39

yoshi a écrit :

* Ne pas signaler et exploiter les fautes de raisonnement, ça ne fait que les fixer,
* Ne pas utiliser de stylo rouge, ça perturbe les élèves

Bonsoir,

Signaler et exploiter les fautes de raisonnement ne me dérange pas (c'est quand même la moindre des choses) c’est d'en faire un exemple que je discutais. Quant au rouge on s’en sert dans différentes circonstances, je n’ai donc pas d’avis sur la question, je soulignais juste que l'élève ne comprend pas toujours pourquoi il y a droit.

De toute façon il y a, dans ce fil particulier et sur cet attendu implicite (Pythagore et le triangle 3,4,5) un vrai problème de fond. Je reprends la question : « Soit un triangle BOF rectangle en B, avec OF=10 cm, OB=8 cm. Quelle est la longueur du côté [BF] ? ». La réponse est « 6 cm » et rien d’autre. Éventuellement « la longueur est de 6 cm » si on attend de l’élève une phrase complète. On lui demande une longueur, pas de raconter sa vie. Être jugé sur autre chose que ces 6 cm est hors sujet.

Sauf que voilà, l’implicite dans le milieu scolaire est tellement intériorisé que les enseignants ne perçoivent même plus combien il peut relever, pour l’élève toujours, de l’arbitraire et de l’injustice.

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