Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jelobreuil

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Deux segments égaux

Bonjour à tous,
Je vous propose ce problème : est-il assez joli pour cette section du forum, je vous en laisse juges !
Soit donc un triangle ABC, M le milieu de BC, la médiane AM, la médiatrice de cette médiane, et le cercle tangent à BC en M et passant par A (donc de centre D, l'intersection des médiatrices de BC et de AM). Ce cercle recoupe les côtés AC et AB, respectivement en E et F.
La droite BC coupe en L la médiatrice de la médiane AM et en N la droite EF. Montrer que les segments BL et CN ont même longueur.
Bien cordialement, Jean-Louis

Rescassol

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Re : Deux segments égaux

Bonjour,

Voilà une figure:

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (16-11-2024 15:16:32)

jelobreuil

Membre

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Re : Deux segments égaux

Bonjour Rescassol,
Et merci beaucoup pour ce dessin !
Amitiés, Jean-Louis

Rescassol

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Re : Deux segments égaux

Bonjour,

Voilà, en calcul barycentrique:

%  Jelobreuil - 16 Novembre 2024 - Deux segments égaux

clear all, clc

syms a b c real

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; % Droite (BC)

%-----------------------------------------------------------------------

syms e f real

M=[0; 1; 1]; % Milieu de [BC]
MedBC=MediatriceBary(B,C,a,b,c); % MedBC=[c^2-b^2, -a^2, a^2]
MedAM=MediatriceBary(A,M,a,b,c); % MedAM=[a^2-2*b^2-2*c^2, 4*c^2-a^2, 4*b^2-a^2]
D=SimplifieBary(Wedge(MedBC,MedAM)); % On trouve:
% D=[2*a^4 - 4*(b^2+c^2)*a^2; a^4 - (3*b^2+c^2)*a^2 + 4*b^2*(b^2-c^2); a^4 - (b^2+3*c^2)*a^2 - 4*c^2*(b^2-c^2)]

E=Barycentre([A C],[1 e]);
NulE=numden(Factor(Distance2(D,E,a,b,c)-Distance2(D,M,a,b,c)));
% On trouve e*(a^2*e + a^2 - 4*b^2) = 0 donc:
E=SimplifieBary(Barycentre([A C],[1 (4*b^2-a^2)/a^2])); % E=[a^2; 0; 4*b^2-a^2]

F=Barycentre([A B],[1 f]);
NulF=numden(Factor(Distance2(D,F,a,b,c)-Distance2(D,M,a,b,c)));
% On trouve f*(a^2*f + a^2 - 4*c^2) = 0 donc:
F=SimplifieBary(Barycentre([A B],[1 (4*c^2-a^2)/a^2])); % F=[a^2; 4*c^2-a^2; 0]

L=SimplifieBary(Wedge(BC,MedAM)); % L=[0, a^2-4*b^2, 4*c^2-a^2]

EF=SimplifieBary(Wedge(E,F));
% EF=[(a^2-4*b^2)*(a^2-4*c^2), a^2*(a^2-4*b^2), a^2*(a^2-4*c^2)]
N=SimplifieBary(Wedge(EF,BC)); % N=[0; 4*c^2-a^2; a^2-4*b^2]

P=SimplifieBary(MilieuBary(L,N));
% On trouve P=[0; 1; 1]=M donc c'est gagné
 

Cordialement,
Rescassol

PS: Je peux donner des explications à la demande sur toute fonction.

Dernière modification par Rescassol (16-11-2024 16:24:19)

Jean-Louis Ayme1

Invité

Re : Deux segments égaux

Bonjour,

1. la tangente en A passe par L
2. les triangles DAL et DMN sont égaux
3. M est le milieu de [MN]

La conclusion suit…

Sincèrement
Jean-Louis Ayme