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renéb

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Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonjour,
Un autre défi (vieux de plus de 2000 ans):
Trouver une façon de partager en trois angles égaux un angle quelconque donné  avec pour seuls outils un compas et une règle non graduée.
Pierre-Laurent Wantzel a démontré, en 1837, que la trisection  de l’angle est impossible.

Voici une solution approchée (inédite?) très simple et très précise pour triséquer un angle quelconque.

Curieux, je me suis intéressé à d’autres méthodes .
L’une d’entre elles, celle de Tom Cunnigham. ressemble un peu à celle que j’ai trouvé.
Je les ai superposées pour les comparer et analyser les écarts d’angle entre les deux latéraux et le central . Cette solution est 10 fois moins précise.

Me reste à formuler la  solution . Comment faire ?

Bons amusements et vive la géométrie.

Reneb

Dernière modification par renéb (11-11-2024 18:00:25)

cailloux

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonjour,
En voyant le titre de ton fil :

Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

J'ai eu immédiatement un coup de chaud en pensant : "Allons bon; encore un trisecteur patenté"
Tu devrais modifier le titre : Trisection approchée d’un angle quelconque.
De mon point de vue une construction géométrique règle et compas "approchée" ne mérite plus son nom. Évidemment ce n'est que mon avis qui ne vaut pas grand chose ...

cailloux

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

J'en profite pour ajouter une figure sur laquelle on peut réfléchir :

Côté règle et compas, c'est de l'arnaque : trisecteur mon ami, abandonne tout espoir ...

renéb

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonsoir,

Pourquoi faure compliqué quand on peut faire simple ou l'inverse si on aime ça?
Trisection approchée évidemment puisque déclarée démontrée impossible par Pierre-Laurent Wantzel.

...une construction géométrique règle et compas "approchée" ne mérite plus son nom.

qu'entends-tu par ne plus mériter?

Un bon croquis vaut mieux qu'un long discours. (Napoleon-Bonaparte)
J'ai transcri la figure que tu nous invites à "réfléchir" et l'ai superposée sur la mienne afin de les comparer. A refaire plus pproprement peut-être car ça ne colle pas tout à fait.

Pour ce qui est de la trace rouge je reste sur ma faim.
Merci pour ce "à réfléchir"

A bientôt

Rb

renéb

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonjour,

Sur la figure à réfléchir ne manque-t-il pas la signalisation de l'angle droit hHF    ?
Je continue à réfléchir;  "J'y retourne immédiatement" (allusion à Boris Vian)

Rb

cailloux

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonjour,
Ah ! Boris Vian ! J'aimais beaucoup. Je me souviens très bien du début (musique comprise) :
"Mon oncle un fameux bricoleur faisait en amateur des bombes atomi-ques
Sans avoir jamais rien appris c'était un vrai génie côté travaux prati-ques ..."
La "trace rouge" est la parabole de foyer $F$ et de directrice $(D)$ pas vraiment utile, juste là pour décorer.
Je n'avais pas cru indispensable de mentionner certains angles droits mais tu as raison : "y'a queq' chose qui cloche là d'ans"
Des angles droits non mentionnés, il y en a deux : en $\widehat{hHF}$ et en $\widehat{HhM}$.
Il reste que les trois angles repérés en $F$ sont (exactement) égaux. On peut le démontrer facilement.
Cette configuration est inopérante pour trisecter un angle donné. Heureusement ! Monsieur Wantzel se serait donné bien du mal pour rien ...

Dernière modification par cailloux (12-11-2024 14:39:48)

Ernst

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Cette configuration est inopérante pour trisecter un angle donné. Heureusement ! Monsieur Wantzel se serait donné bien du mal pour rien ...

Bonjour,

Imaginons un système qui approche la trisection de façon on va dire grossière, mais qui aurait l’avantage de pouvoir être itéré. La deuxième étape l’approcherait davantage, la troisième encore plus, etc. Ce système est-il satisfaisant ?

Si on admet, en mathématiques, l’égalité entre un nombre et une suite infinie, si on admet comme objets légitimes l’asymptote, la convergence, la limite tout ça, alors je pense que oui, ce système est acceptable.

C’est vrai ça, pourquoi la géométrie s’interdirait-elle ce merveilleux outil ? De façon pratique, cela permettrait de calculer une trisection à la règle et au compas de façon aussi précise que l’on souhaite. Mieux : de même qu’en analyse on va parler de convergence linéaire ou quadratique, pourquoi ne développerait-on pas, en géométrie, la recherche de procédés similaires, telle méthode doublerait la convergence à chaque répétition, telle autre la triplerait, etc.

Hélas, notre ami Wantzel a rendu cette recherche dissuasive, en décrétant que la trisection de l’angle à la règle et au compas était un leurre et que fol était celui qui s’en soucirait. Dommage, je trouve.

renéb

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonsoir,

Voici, pour faire joli, une figure

inopérante pour triséquer un angle donné

  ,

juste là pour décorer

, dont il est notoire que les trois angles sont « exactement » égaux. 

Elle est où l’arnaque ?      ;-)

La recherche de solutions approchées a pour intérêt, à mes yeux (travail sur les images), d’être transposable, applicable sur le terrain. C’est de la géométrie de jardinier si l’on veut, ou de tailleur de pierre, ou encore d’architecte, de menuisier ou encore de…
On parle de règles et de compas, de burins et maillets, de cordes et de faux, de scies et marteaux, de…

Ce post n’est-il pas à sa place ?
Je crois qu’il l’est.

Bonsoir.

Rb

Matoux

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonjour,

Hélas, notre ami Wantzel a rendu cette recherche dissuasive, en décrétant que la trisection de l’angle à la règle et au compas était un leurre et que fol était celui qui s’en soucirait. Dommage, je trouve.

Non, non et non.

Wantzel a démontré que la trisection  de l’angle est impossible.

C'est fondamentalement différent

Matoux

Ernst

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonsoir,

Non, non et non.

Wantzel a démontré que la trisection  de l’angle est impossible.

C'est fondamentalement différent

Matoux

Il n’a pas dû dire les choses comme ça, m’est avis, parce que je me fais fort de diviser un angle droit en trois angles égaux, et ceci à la règle et au compas uniquement.

(ceci dit mon propos n’était pas de débattre des nombres constructibles, mais de souhaiter que la géométrie fasse ce que l’analyse a fait avec l’infinitésimal)

Roro

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonsoir,

Si vous allez jeter un coup d'oeil à l'article de Wantzel (très facile à trouver en ligne : http://www.numdam.org/item/JMPA_1837_1_2__366_0.pdf) voici ce qu'il dit exactement au sujet de la trisection de l'angle :

" le problème ne peut être résolu en général avec la règle et le compas "

C'est le terme "en général" qui manquait dans l'affirmation de Matoux mais elle était évidemment sous-entendue car on sait bien sûr trisecteur certains angles...

Pour revenir à la question initiale de réneb, il voulait bien trisecter tous les angles... (voir post #1 où il écrit "un angle quelconque donné").

Roro.

Dernière modification par Roro (13-11-2024 23:19:56)

Matoux

Invité

Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonjour à tous,

C'est le mot "décrété" qui me fait bondir.
C'est par déduction que l'on arrive à montrer que la trisection est impossible. Tout le monde peut refaire le raisonnement (avec plus ou moins de difficulté, certes). C'est tout le contraire d'un décret qui suppose un arbitraire issu d'une autorité .

Matoux

OUOBA

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Qu'est-ce que la trissection d'un angle quelconque

Rescassol

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonjour,

C'est le couper en trois angles égaux avec uniquement une règle non graduée et un compas.
Il a été démontré que c'est impossible.

Cordialement,
Rescassol

Ernst

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Qu'est-ce que la trissection d'un angle quelconque

Bonsoir OUOBA,

Il s’agit d’un petit problème de géométrie tout à fait amusant.

Au départ, le jeu consiste à construire diverses figures avec uniquement une règle non graduée et un compas (et un moyen de laisser des traces sur un support plan bien sûr). Pas trop difficile de faire une droite ou un cercle, ou un angle droit, ou la médiatrice d’un segment (la droite perpendiculaire qui le coupe en deux), ou une parallèle à une droite donnée qui passe par un point précis, ou un triangle équilatéral, un hexagone, etc.

Rapidement, les géomètres ont été confronté à une difficulté : ils n’arrivaient pas à trouver le moyen d’obtenir précisément certaines figures. À force d’essayer ils arrivaient à résoudre certains problèmes, mais d’autres restaient sans solution. Un de ces défis consistait à diviser en trois angles égaux un angle quelconque. Il y a avait bien des solutions pour certains, mais hélas pas pour tous.

Notre ami Wentzel dont on parle dans ce fil a eu dans l’idée d’appeler tous les points que l’on pouvait obtenir de la sorte comme étant des nombres « constructibles », et s’est mis à explorer leurs propriétés. Il en est arrivé – qu’on ne me demande pas comment – à déterminer qu’il formaient un ensemble très précis qui pouvait être exprimé sous forme de polynôme caractérisé par la parité d’un exposant. Et qu’un polynôme de degré trois échappait par exemple à cette constructibilité. Et que la division d’un angle quelconque en trois pouvait se ramener à un polynôme de degré trois.

À partir de là, une grande confusion s’est établie, qu’on retrouve exprimée ici dans toute sa force : la trisection de l’angle est impossible !

Or ce n’est pas du tout ce qui est établi. Il existe une infinité d’angles parfaitement trisécables, ceux dont le polynôme caractéristique peut être réduit au deuxième degré par exemple, même s’il existe une infinité bien plus grande d’angles pour lesquels une telle division à la règle et au compas n’est pas possible de façon exacte.

C’est pourquoi d’une part je suggérais qu’on développe des méthodes d’approximation efficaces pour ceux-ci, et d’autre part que je n’avais pas envie de me lancer dans une discussion sur le côté péremptoire des affirmations qu’on m’assène à cette occasion.

C’est tout. :-)

yoshi

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonsoir,

Une référence de plus :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Trisection_de_l%27angle
dans laquelle figure un renvoi vers :
ps://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Wantzel

Il me semble me souvenir (ça date sérieux...) où un amateur du GeoLabo créé par Fred (en Java), avait programmé une extension permettant de réaliser une trisection (au moins approchée) d'un angle...
GeoLabo est toujours dispo (je m'en sers encore) : resterait à savoir si cette extension est toujours présente dans un post de son auteur et comment l'utiliser avec GeoLabo, voire étudier le code pour comprendre ce qu'il avait fait (ChatGPT serait-il capable de convertir ce code en un autre langage ?) et ainsi reproduire son procédé "à la main" ?

@+

[EDIT]
Tout ce que j'ai pu retrouver pour l'instant : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1805
Je poursuis mes recherches sur BibMath...

Suite :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=9744

Dernière modification par yoshi (16-11-2024 20:41:03)

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Rescassol

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonjour,

Quand j'écris qu'on a démontré que la trisection est impossible, celà signifie qu'il ne peut pas exister de méthode générale permettant de trisecter un angle quelconque. On ne parle pas des cas particuliers.
Ce n'est pas une affirmation péremptoire, la démonstration existe, mais un peu trop compliquée pour être reproduite ici.
En gros, l'ingrédient principal est que les nombres constructibles sont les nombres appartenant l'extension de $\mathbb{Q}$ saturée par racine carrée.
Voir par exemple https://memoirepfe.fst-usmba.ac.ma/down … f/2641.pdf

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (16-11-2024 19:53:50)

cailloux

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Re : Règle et Compas, Trisection d’un angle quelconque.

Bonjour à tous,
Un pavé méritoire de l'ami Ernst.

Notre ami Wentzel dont on parle dans ce fil ...

Pierre-Laurent Wantzel 1814-1848 a droit au respect de son patronyme.