Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bibmgb

Membre

Inscription : 16-04-2017

Messages : 77

Polynôme minimal et polynôme caractéristique

Bonjour,
Je me pose la question suivante : si le polynôme minimal est scindé, en est-il de même du polynôme caractéristique ?
En effet, on considère [tex]\mu_f[/tex] le polynôme minimal et [tex]\chi_f[/tex] le polynôme caractéristique d'un endomorphisme [tex]f[/tex] d'un [tex]\mathbb{K}[/tex] espace vectoriel [tex]E[/tex] de dimension [tex]n[/tex].

Sachant que [tex]\chi_f[/tex] est un multiple de [tex]\mu_f[/tex], on peut dire qu'il existe un polynôme [tex]Z[/tex] tel que [tex]\chi_f=\mu_f Z[/tex]. A priori [tex]Z[/tex] peut contenir dans sa décomposition en polynômes irréductibles, un polynôme irréductible de degré strictement plus grand que 1 (si [tex]\mathbb{K}[/tex] est le corps des réels, un polynôme de degré 2 à discriminant strictement négatif). Donc je dirai que [tex]\mu_f[/tex] scindé n'implique pas [tex]\chi_f[/tex]  scindé.

Cette question m'est venue en étudiant une preuve du résultat suivant : "la dimension du sous-espace caractéristique associé à la valeur propre [tex]\lambda[/tex] de [tex]f[/tex] est égale à la multiplicité de [tex]\lambda[/tex] dans le polynôme caractéristique de [tex]f[/tex]".
Dans cette preuve, si [tex]\alpha[/tex] est la multiplicité algébrique de [tex]\lambda[/tex] et [tex]Q[/tex] est tel que [tex]\chi_f=(X-\lambda)^{\alpha} Q[/tex] (on a donc [tex]Q(\lambda)\neq 0[/tex]) alors on peut décomposer [tex]E[/tex] comme la somme directe de [tex]N_\lambda=\ker (f-\lambda id_E)^{\alpha}[/tex] et [tex]G=\ker Q(f)[/tex]. On définit ensuite [tex]f_{\lambda}[/tex] comme l'endomorphisme induit par [tex]f[/tex] sur [tex]N_\lambda[/tex]. On a donc [tex](X-\lambda)^{\alpha}[/tex] qui est un polynôme annulateur de [tex]f_{\lambda}[/tex]. Comme [tex]\mu_f[/tex] est un diviseur de [tex](X-\lambda)^{\alpha}[/tex], non constant car [tex]f_{\lambda}  [/tex] n'est pas l'endomorphisme nul, alors [tex]\mu_f[/tex] est de la forme [tex](X-\lambda)^{\beta}[/tex] avec [tex]1\leq\beta\leq \alpha[/tex].

C'est à ce moment là où ça bloque pour moi car on en déduit que [tex]\chi_f[/tex] est de la même forme que [tex]\mu_f[/tex], autrement dit, une puissance de [tex](X-\lambda)[/tex]. Or comme expliqué plus haut [tex]\chi_f[/tex] est théoriquement de la forme [tex](X-\lambda)^{\beta}Z[/tex] avec [tex]Z[/tex] qui peut contenir un facteur irréductible de degré strictement supérieur à 1.

Je me dis que si l'on réfléchit avec [tex]\mathbb{K}=\mathbb{R}[/tex] et que l'on a un donc un facteur irréductible de degré strictement supérieur à 1 alors c'est que c'est un facteur de degré 2 de discriminant strictement négatif, qui admet donc deux racines complexes conjuguées. Or [tex]\mu_f[/tex] et [tex]\chi_f[/tex] ont les mêmes racines et [tex]\mu_f[/tex] n'admet qu'une seule racine [tex]\lambda[/tex] alors nécessairement [tex]Z[/tex] n'admet que des facteurs irréductibles de degré 1 de la forme [tex](X-\lambda)[/tex].

Par contre si le corps [tex]\mathbb{K}[/tex] est quelconque, on peut considérer une cloture algébrique de [tex]\mathbb{K}[/tex] et raisonner de façon similaire ?

Merci.

Dernière modification par bibmgb (23-10-2024 12:25:07)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 228

Re : Polynôme minimal et polynôme caractéristique

Bonjour,

  En toute généralité, sur n'importe quel corps, le polynôme minimal et le polynôme caractéristique ont les mêmes facteurs irréductibles, c'est-à-dire que, en gardant les mêmes notations, si $\chi_(f)=\prod_{i=1}^r P_i^{m_i}$ est la décomposition de $\chi_f$ en facteurs irréductibles, alors $\mu_f=\prod_{i=1}^r P_i^{n_i}$ où $1\leq n_i\leq m_i.$
Pour démontrer cela, on a besoin de trois ingrédients :
* si $E=\bigoplus_{i=1}^r E_i$ et chaque $E_i$ est stable par $f$, alors $\mu_f$ est le ppcm des $\mu_{f|E_i}$.
* le théorème de Cayley-Hamilton qui dit que $\chi_f(f)=0$.
* le lemme de décomposition des noyaux, qui permet de déduire que $E=\bigoplus_{i=1}^r \ker(P_i^{m_i}(f)).$

Pour conclure, il faut voir que $\mu_{f|E_i}$, où $E_i=\ker P_i^{m_i}(f)$, divise $P_i^{m_i}$.
Or $P_i^{m_i}$ est un polynôme annulateur de $f$ et donc son polynôme minimal divise $P_i^{m_i}$. Il s'écrit donc $P_i^{n_i}$
pour $1\leq n_i\leq m_i$ puisque $P_i$ est irréductible.

Pas besoin de raisonner avec une clôture algébrique.

F.

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 505

Re : Polynôme minimal et polynôme caractéristique

Bonjour

Merci Fred en tous cas, très bons rappels d'algèbre linéaire quand ce n'est plus vraiment très frais !

Bon a-m

A.

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bibmgb

Membre

Inscription : 16-04-2017

Messages : 77

Re : Polynôme minimal et polynôme caractéristique

Bonjour,
On suppose que [tex]E=\oplus_{i=1}^r E_i[/tex] et que chaque [tex]E_i[/tex] est stable par [tex]f[/tex]. On note [tex]g_i:E_i\rightarrow E_i[/tex], [tex]x\rightarrow f(x)[/tex].
Alors [tex]\chi_f=\prod_{i=1}^r\chi_{g_i}[/tex].
Comment montre-t-on que [tex]\mu_f[/tex] est le ppcm des [tex]\mu_{g_i}[/tex] ?
Merci.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 228

Re : Polynôme minimal et polynôme caractéristique

Bonjour,
 
  Faisons le avec $r=2$. En écrivant $x=x_1+x_2,$ on commence par remarquer que si $P$ est le ppcm de $\mu_1$ et de $\mu_2,$
on a $P(f)(x_1)=0$ puisque $\mu_1(f)(x_1)=\mu_1(g_1)(x_1)=0$ et que $P$ est un multiple de $\mu_1$. De même pour $\mu_2$ et $x_2$. Ainsi, le polynôme minimal de $f$ divise le ppcm des polynômes minimaux.

Réciproquement, si $Q$ est un polynôme annulateur de $f,$ alors pour tout $x\in x_1,$ on a $Q(f)(x_1)=0$ et donc $Q$ doit être un multiple de $\mu_1$. $Q$ doit aussi être un multiple de $\mu_2,$ donc un multiple de leur ppcm.

F.

bibmgb

Membre

Inscription : 16-04-2017

Messages : 77

Re : Polynôme minimal et polynôme caractéristique

Ok merci pour la démonstration du ppcm c’est clair.

Dernière modification par bibmgb (25-10-2024 11:25:49)

idoumou malick

Membre

Inscription : 13-11-2024

Messages : 2

Re : Polynôme minimal et polynôme caractéristique

Bonjours
Que veut dire le fait que la fonction est stationnaire