Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 26-04-2024 01:21:15
- Vivich
- Membre
- Inscription : 26-04-2024
- Messages : 1
Débats entre amis
Bonjour,
Un ami a posé une énigme mathématique et nous sommes en pleins débats (nous n'avons pas fait de mathématiques), pourriez vous nous aider ?
J'ai un livre, j'additionne la somme des pages et je trouve 2007. Or, je me rends compte que je me suis trompée et que j'ai compté une page deux fois. Quelle page ai-je compté deux fois ?
Nous débattons sur le numéro de la page comptée deux fois, et sur le nombre de page que contient le livre. Pourriez-vous trancher ?
Merci d'avance !!
Dernière modification par Vivich (26-04-2024 01:26:00)
Hors ligne
#2 26-04-2024 02:25:36
- Ernst
- Membre
- Inscription : 30-01-2024
- Messages : 178
Re : Débats entre amis
Bonsoir,
En fait on connaît une formule pour la somme des n premiers entiers. Suffit donc de trouver un n pour lequel la formule se rapproche le plus de ces 2007 en étant un poil en dessous, et cette différence sera la page en double.
Hors ligne
#3 26-04-2024 09:35:04
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 223
Re : Débats entre amis
Bonjour,
Qu'est-ce que la "somme des pages" ?
Ernst a l'air d'avoir deviné, moi pas...
Page 1 + page 2 + page 3 ça fait 3 pages, non ?
Il n'y a que deux traductions restantes :
1. La somme des n°s des pages : dans ce cas avec les 3 premières pages cela fait 1+2+3 = 6, c'est ce qu'a compris Ernst
Dans ce cas, j'ajoute un codicille : n étant un numéro de page, la somme des numéros des pages de la page 1 à la page n vaut :
$S=\dfrac{n(n+1)}{2}$ pour un non matheux $S=n\times(n+1)/2$
Exemple pour 24 pages $S=24\times(24+1)/2=24\times 25/2= 12 \times 25 = 300 $
C'est cette traduction qu'a retenu Ernst...
2. Le nombre de chiffres à imprimer pour numéroter les pages.
Par exemple, pour livre de 125 pages :
- De la page 1 à la page 9 : 9 pages à 1 chiffre --> 9 chiffres
- De la Page 10 à la p. 99 : 90 pages à 2 chiffres --> 180 chiffres
- De la page 100 à la page 125 : 26 pages à 3 chiffres : 78 chiffres
Soit un total de 267 chiffres...
Un détail, pour rester dans le concret : j'avais remarqué, il y a bien longtemps, que les numéros inscrits sur les pages ne commencent jamais par 1...
Par acquit de conscience, je viens d'en sortir 3, dont 1 livre de maths de 6e qui lui commence à numéroter à partir de 7 (!).
Les deux autres, l'un à partir de 6 et l'autre à partir de 4...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
Hors ligne
#4 26-04-2024 12:24:07
- Ernst
- Membre
- Inscription : 30-01-2024
- Messages : 178
Re : Débats entre amis
Qu'est-ce que la "somme des pages" ?
Ernst a l'air d'avoir deviné, moi pas...
Bonjour,
Comme d’entrée il est précisé que ce sont des amis qui s’interrogent sur une petite énigme sans y connaître grand-chose, j’ai fait au plus simple. Pour rester dans l’esprit du forum j’ai indiqué qu’il existait une formule mais sans la préciser, et en solution donné la réponse et sa logique.
Quand j’ai lu ce petit problème j’ai trouvé cela très bien, en me demandant comment j’allais m’y prendre. En fait j’ai demandé à Wolfram Alpha de me résoudre l’équation ( formule = 2007 ), il me donne 62,658 je savais donc que c’était 62 pages. De là j’avais tout.
Connaissant ma propension à faire des erreurs avec un aveuglement qui ne me grandit pas, j’ai également fait un petit programme calculant la somme de 1 à 62 et ajouté ensuite la page manquante, et ça marchait très bien, ouf.
Hors ligne
#5 11-11-2024 16:11:12
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 508
Re : Débats entre amis
Bonjour,
On se convaincra très facilement (par récurrence par exemple) que les seuls nombres entiers naturels que l'on ne peut pas obtenir en sommant un nombre donné de pages successives (à partir de 1 ) et en rajoutant 1 numéro de page interne quelconque , sont les nombres triangulaires $T_1=1$, $T_2=3$, $T_3 = 6$ ...
Dès lors il suffit de chercher entre quels $T_n$ et $T_{n+1} $ la somme S totale est strictement comprise.
Le nombre de page sera n, et la page de trop sera $S - T_n$ bien-sûr.
Quand c'est possible (donc S en dehors de la famille T), la réponse est donc unique.
Ainsi aucune solution pour 4851, ni 4950, mais ok pour tous ceux entre ces nombres-là.
2016 et 2080 sont les prochaines valeurs après 1954,1955,1956, ..., 2007,2008,....2015 qu'un lecteur calculateur n'obtiendra jamais en comptant deux fois une même page, la précédente étant 1953.
Pour ma part je n'ai jamais eu cette marotte un peu étrange en bouquinant, mais bon... chacun son truc.
A.
Dernière modification par bridgslam (11-11-2024 16:35:45)
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
Hors ligne