Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Madma

Membre

Inscription : 15-10-2024

Messages : 1

Méthodes irréconciliables sur le paradoxe des anniversaires

Bonjour à tous,

Besoin d'aide pour trouver mon erreur de raisonnement sur le fameux problème du "paradoxe des anniversaires" qui permet de montrer qu'à partir de n = 23 personnes, on a plus de 50% de chances de trouver au moins 2 personnes qui ont le même anniversaire.

Je l'ai refait avec 2 méthodes différentes mais les résultats obtenus ne sont pas les mêmes.

Méthode 1

Il s'agit de la méthode "classique" que l'on trouve d'ailleurs sur internet. On se dit que P(au moins 2 personnes ont le même anniv) = 1 - P(tous les anniv sont différents)

Pour n personnes, on regarde les n-tuples (a1, a2, ..., an) où 1<=ai<=365 pour tout i

Chaque tuple a une équiproba de (1/365)^n d'apparaitre mais dans notre cas ce qui nous intéresse sont les n-tuples où ai != aj pour tout i,j ce qui nous donne à la fin l'arrangement de n valeurs parmi les 365 possibles

Ainsi la proba d'avoir des anniversaires tous différents est donc P = A(n,365) / 365^n = 365! / (365 - n)! * 1/365^n = (365 - 1) /365 * (365 - 2) / 365 * ... * (365 - n + 1) / 365

Quand on regarde sur excel on arrive finalement à P(n=23) = 50.7% d'avoir au moins 2 personnes qui ont le même anniversaire.

Méthode 2

Je me souvenais de mes années prépa d'une méthode un peu plus "rigoureuse" qui impliquait des coefficients binomiaux. Voici la manière dont je le modélise :

On sait que la proba que 2 personnes aient leur anniversaire le même jour est P = 1/365. On sait que dans un groupe de n personnes, on a le coefficient binomial 2 parmi n de couples C(2,n) = n(n-1)/2

Donc pour chaque groupe n de personnes, savoir si deux personnes ont le même anniversaire revient à tester pour chaque couple si l'anniversaire est commun, donc on peut modéliser le nombre de couple qui ont un anniv commun par une variable aléatoire X qui suit une loi Binomiale B(n(n-1)/2, P)

On a alors P(au moins 2 personnes ont le même anniv) = P(X>=1) = 1 - P(X=0)

Et P(X=0) = C(0,n(n-1)/2) * P^0 * (1-P)^(n(n-1)/2) = (364/365)^(n(n-1)/2)

Et sur excel on aboutit pour n=23 à une proba d'avoir au moins 2 annivs identiques P = 50.0048% ce qui est proche mais légèrement différent de la méthode 1

Savez-vous où le raisonnement pêche dans la 2eme méthode?

Glozi

Invité

Re : Méthodes irréconciliables sur le paradoxe des anniversaires

Bonjour,
Attention, dans la méthode 2, les variables de Bernoulli que tu additionnes pour avoir une loi binomiale sont-elles bien mutuellement indépendantes ?
(par ailleurs la méthode 1 est rigoureuse je ne vois pas ce qui te fait penser le contraire ?)
Bonne journée