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Cusofay

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Supplémentaire commun à deux s.e.v.

Bonjour, j'ai trouvé dans une série d'exercices sur les espaces vectoriels l'exercice suivant:

Soit [tex] E [/tex] un espace vectoriel de dimension [tex]n \geq 2 [/tex] et [tex]F [/tex] et [tex] G[/tex] deux sous-espaces vectoriels
de $E$ de dimension $p \leq n$ . Montrer que $F$ et $G$ admettent un supplémentaire commun.

Je crois ne pas avoir bien compris l'énoncé de cet exo à cause de ce contre-exemple trivial : $F=<(1,0)>$ et $G=<(0,1)>$ n'admettent pas de supplémentaire commun dans le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^2$

Merci d'avance pour votre réponse!

Rescassol

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Re : Supplémentaire commun à deux s.e.v.

Bonsoir,

Ben si, dans ton exemple, $H=<(1,1)>$ est un supplémentaire commun à $F$ et $G$.

Cordialement,
Rescassol

Cusofay

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Re : Supplémentaire commun à deux s.e.v.

Merci beaucoup pour la remarque. J'ai finalement résolu le problème en considérant l'élement maximal de l'ensemble
$\{dim(X) \mid X \cap F = \emptyset $ et $X \cap G = \emptyset \}$

Rescassol

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Re : Supplémentaire commun à deux s.e.v.

Bonsoir,

Un autre méthode qui généralise mon exemple:
Soit $\{e_1...e_q\}$ une base de $F\cap G$.
On peut la compléter en une base $\{e_1...e_q,f_{q+1}...f_p\}$ de $F$ ou en une base $\{e_1...e_q,g_{q+1}...g_p\}$ de $G$.
On complète alors $\{e_1...e_q,f_{q+1}+g_{q+1}...f_p+g_p\}$ en une base $\{e_1...e_q,f_{q+1}+g_{q+1}...f_p+g_p,e_{p+1}...e_n\}$ de $E$.
Le sous espace engendré par $\{e_{p+1}...e_n\}$ répond alors à la question.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (02-11-2024 09:52:13)