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evian

Invité

point fixe dans un carré

Bonjour, j'ai besoin d'un peu d'aide, je suis en 2nde année de prepa, en mp, et en projet je dois prouver le théorème du point fixe de brouwer en dimension 2. Mon prof m'a indiqué qu'il me suffisait de le prouver pour un carré, et qu'avec un théorème cela deviendrait valable pour n'importe quoi dans R2. Cela demande évidement du temps et beaucoup de recherches personnelles, et je vous sollicite pour vous demander si vous avez une idée de comment faire, je suis ouvert aux commentaires si ça vous intéresse.

Merci d'avance, Paul.

PS: je n'ai vu depuis le début de l'année que les intégrales généralisées, les séries et réductions et je vais commencer la continuité en topologie, ce qui ne m'aide pas énormément pour le moment.

DeGeer

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Re : point fixe dans un carré

Bonjour
Le théorème de Brouwer dans $\mathbb{R}^2$ indique que toute fonction $f$ continue d'un convexe compact $K$ de $\mathbb{R}^2$ dans lui-même admet un point fixe, donc il n'est pas vrai pour "n'importe quoi dans $\mathbb{R}^2$".
Tu peux donc commencer par démontrer qu'on peut se contenter de prouver le théorème pour le cas d'un carré, puis trouver des contre-exemples où les hypothèses ne sont pas vérifiées.

Dernière modification par DeGeer (31-10-2024 21:28:19)

evian

Invité

Re : point fixe dans un carré

Bonjour
Le théorème de Brouwer dans $\mathbb{R}^2$ indique que toute fonction $f$ continue d'un convexe compact $K$ de $\mathbb{R}^2$ dans lui-même admet un point fixe, donc il n'est pas vrai pour "n'importe quoi dans $\mathbb{R}^2$".
Tu peux donc commencer par démontrer qu'on peut se contenter de prouver le théorème pour le cas d'un carré, puis trouver des contre-exemples où les hypothèses ne sont pas vérifiées.

Merci de m'avoir répondu aussi rapidement, auriez-vous des indications pour le démontrer pour un carré ?
Merci d'avance, Paul.

Glozi

Invité

Re : point fixe dans un carré

Bonjour,
Tu as de la chance, il se trouve que Christophe Bertault a fait un superbe article sur le theorème de Brouwer et le lemme de Sperner avec une démo niveau MPSI. Voir https://christophebertault.fr/articles/ (évidemment tu auras besoin d'un peu de topologie).
Sinon, il y a la preuve classique avec l'homotopie et les groupes fondamentaux d'une sphère et d'une boule mais je pense que ça va demander beaucoup de notions hors programme.
Bonne journée