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Franck Budapest

Invité

Tangente d'une courbe en un point quelconque

Bonjour,

Je dois tracer une tangente en un point d'une courbe sans en connaitre l'abscisse exacte du point de la courbe, sans calcul, simplement en utilisant des outils géométriques (règle, équerre, compas). Pourriez vous m'expliquer comment est-ce possible?
En vous remerciant.

cailloux

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Bonjour,
Il est fort probable que pour répondre à ta question, il faille au minimum l'équation de la courbe mais pas que ...
En tout état de cause, si tu veux des réponses adaptées, il est souhaitable que tu postes l'énoncé complet de ton problème tel qu'on te l'a donné sans y changer ne serait-ce qu'une virgule.

Franck Budapest

Invité

Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

(re)bonjour,

Effectivement, j'ai l'équation de la courbe )(en fait des 3 courbes, 3 exos successifs)
a) f(x) = x^2
b) f(x) = Rac (x)
c) f(x) = 1/x
A chaque fois, un point M quelconque st sur la courbe et je dois tracer la tangente
Pour la première, j'ai trouvé une méthode: je place 2 points d'abscisse a et b équidistants de l'abscisse de M. A et B sont sur la courbe. La droite (AB) est parallèle á la tangente en M, que je peux alors tracer. (méthode des deux droites de même coef directeur, sachant que f'(m)=2m )

cailloux

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Avec la seconde (représentative de la fonction racine) tu peux calculer l'ordonnée à l'origine de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$
Puis en déduire une construction

cailloux

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Pour la fonction inverse, tu peux regarder attentivement cette image :

... et faire les petits calculs ad hoc pour prouver ses caractéristiques.

Dernière modification par cailloux (28-10-2024 15:43:18)

cailloux

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Au fait : ta construction pour la parabole est correcte mais il en existe une autre un peu plus "élégante" :

Encore une fois à prouver par de menus calculs.

Franck Budapest

Invité

Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

merci beaucoup,

Pour la fonction inverse, j'ai effectivement trouvé, finalement assez simple.
Par contre, pour la fonction racine, cela me parait plus costaud...

cailloux

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Revenons donc à la fonction racine.
Tu calcules l'équation de la tangente à la courbe au point abscisse $a$. Facile pour toi je pense.
Tu calcules ensuite l'ordonnée du point d'intersection de cette tangente avec l'axe des ordonnées (il suffit d'écrire $x=0$).
Si tu as bien travaillé, tu dois tomber sur $\sqrt{a}/2$ c'est à dire précisément la moitié de l'ordonnée du point de départ.
D'où une construction.
Vois-tu ?

Franck Budapest

Invité

Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Super

merci beaucoup, c'est compris

cailloux

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

De rien Franck Budapest.
Tu as largement mérité ton petit coin de paradis :

:)
[Edit] D'un point vue vue géométrique, fonction carrée ou racine, même combat; quand on tient l'une, on tient l'autre :

Dernière modification par cailloux (30-10-2024 13:17:08)

Borassus

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Bonsoir, bonsoir,

Où je retrouve avec plaisir les notions de segments sous-tangents.

On peut continuer avec la fonction cube et la racine cubique, la fonction puissance 4 et la racine quatrième...
Voire avec des puissances fractionnaires.

Il y a aussi de quoi jouer avec la fonction exponentielle de base $e$ ainsi qu'avec le logarithme népérien...

Dernière modification par Borassus (30-10-2024 22:37:53)

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

cailloux

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Bonsoir Borassus,
Tu as raison bien sûr mais il y a une petite nuance avec les (3) exercices proposés par Frank Budapest qui font référence aux coniques (paraboles, hyperboles ...). A une autre époque, les propriétés géométriques évoquées quant aux tangentes à ces courbes étaient prouvées dans de vieux grimoires tel le Lebossé & Hémery de mathélem sans aucun calcul.
Que ce soit pour les fonctions polynomiales ou la fonction exponentielle et leurs réciproques, de minuscules calculs sont nécessaires pour parvenir à des constructions.
Ce qui ne retire rien à leur intérêt ...

Dernière modification par cailloux (30-10-2024 23:27:10)

Borassus

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Bonjour Cailloux, bonjour tout le monde,

Je n'ai malheureusement pas connu les coniques, qui restent pour moi enveloppées d'un certain mystère.

Je ne résiste pas au plaisir de montrer comment tracer la tangente en un point à la courbe $y = e^x$ et à la courbe $y = \ln x$.
Comme on peut le constater, c'est d'une difficulté insoutenable.
Bonne journée

---

A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

cailloux

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Bonjour Borassus,

Je n'ai malheureusement pas connu les coniques, qui restent pour moi enveloppées d'un certain mystère.

Je ne connais pas tes intentions mais si tu veux lever un certain "mystère", tu peux commencer, si tu es motivé, par acquérir un certain "Lebossé & Hémery" ici : Lebossé et Hémery
Évidemment il faut lâcher 49 euros ce qui n'a rien d'anodin.
Ce bouquin reste une référence aujourd'hui. Le cours n'a rien d'exceptionnel pour l'époque par contre la foultitude d'exercices proposée (quelquefois (très) difficiles) est extraordinaire.
De quoi occuper les longues soirées d'hiver ...

Borassus

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Re : Tangente d'une courbe en un point quelconque

Bonsoir Cailloux, bonsoir à tous,

Mes intentions sont honnêtes, pacifiques, voire louables.  :-)

Cela fait tellement de fois que je vous vois évoquer le Lebossé et Hémery que j'ai l'impression d'être passé à côté de quelque chose, un peu comme ce « temps que les moins de vingt ans ne peuvent pas connaître ».

Quant aux coniques, comme cela fait longtemps qu'elles ne sont malheureusement plus au programme, je n'ai jamais vraiment eu l'occasion de les apprendre et de les pratiquer, puisqu'elles ne me sont pas demandées.

Donc je pense que j'investirai volontiers les 52,55 euros (frais de port compris) pour cette réédition.

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