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C.

Invité

Résultat exercicde d'analyse

Bonsoir à toutes et à tous,

Mon message porte sur un questionnement sur l'exercice 11 de la rubrique "Exercices corrigés - Continuité des fonctions de plusieurs variables" sur bibmath.

J'aimerai savoir si le résultat est encore vrai si la fonction f de départ est à valeur dans R^n (la démonstration utilisant l'égalité des accroissements finis, qui n'est plus vrai en dimension supérieur.

En vous remerciant par avance,

C.

C.

Invité

Re : Résultat exercicde d'analyse

Edit: Je pense qu'il sera plus convenable de réécrire l'énoncé de l'exercice ici:

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. On définit $F:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par
$F(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}&\textrm{ si }x\neq y\\
f'(x)&\textrm{ sinon.}
\end{array}
\right.$
Démontrer que F est continue sur $\mathbb R^2$.

La question est donc: est ce que le résultat est encore valable pour $f:\mathbb R\to\mathbb R^n$ une fonction de classe $C^1$ ?

C.

Fred

Administrateur

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Re : Résultat exercicde d'analyse

Bonsoir,

  La première question à se poser est comment définir $F$. Il me semble que la réponse la plus naturelle est de définir $F$ coordonnées par coordonnées, par exemple $F_1(x,y)=\frac{f_1(x)-f_1(y)}{x-y}$ si $x\neq y,$ $F(x,y)=f_1'(x)$ sinon.
Qu'est-ce qui t'empêche alors de faire le même raisonnement coordonnée pas coordonnée ? Bien sûr, en appliquant le théorème des accroissements finis, on aura des $c_{x,y}$ différents, mais cela a-t-il vraiment une importance puisqu'on s'intéresse à leur limite ?

Cdt,
FB.

C.

Invité

Re : Résultat exercicde d'analyse

Bonsoir,
Tout d'abord, merci pour la réponse! La caractérisation de la continuité composante par composante m'était sortie de la tête.
Par ailleur, laissez moi un peu préciser mon questionnement:
J'aurais aimé appliquer le résultat pour résoudre l'exercice suivant:
Soit \(\gamma : [0,1] \rightarrow \mathbb R^n\) une courbe paramétrée de classe $C^1$
Montrer que
\(\forall \epsilon < 0, \exists r > 0,\)
\(\forall (s,t) \in [0,1]^2, |t-s|\le  r \Rightarrow \| \gamma (t) - \gamma (s) - (t-s)\gamma '(s)\| \le \epsilon|t-s|\)

Pour ce faire, je souhaitai définir \(\Gamma : [0,1]^2 \rightarrow \mathbb R^n\) ,tq

$\Gamma(t,s)=\frac{\gamma(t)-\gamma(s)}{t-s} $si$ t\neq s, \Gamma(t,s)=\gamma'(t) $sinon.

avec comme norme sur \([0,1]^2 \) la norme produit.
On aurait donc  \( \Gamma \) une fonction continue sur un compact donc uniforme continue en vertue du Théorème de Heine, ce qui nous aurait donnée:
\( \forall \epsilon < 0, \exists \eta > 0,
\forall [(t,s),(s,s)] \in [0,1]^4, max(|t-s|,|s-s|),|\le  r \Rightarrow \| \Gamma (t,s) - \Gamma (s,s)\| \le \epsilon \)
Ainsi la condition \(max(|t-s|,|s-s|),|\le r\) se ramènerait à $|t-s|\le  r$ par définition de la norme produit.
Une démonstration similaire est elle envisageable si je défini \(\Gamma\) composante par composante ?

Cordialement,

C.

Fred

Administrateur

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Re : Résultat exercicde d'analyse

je pense que oui.