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#1 21-10-2024 17:50:31
- bridgslam
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- Messages : 1 508
une relation dans le plan
Bonjour,
Un énoncé amusant avec des réponses amusantes:
Soit la relation suivante dans $\mathbb{R}^2$ : $(x,y) R (x',y') \iff |x-x'| \le (y'-y)$
1°/ R est-elle une relation d'équivalence, une relation d'ordre, ni l'un ni l'autre ?
2°/ Décrire les couples $(x,y) $ tels que $(x,y) R (X,Y)$ ( le couple $(X,Y)$ étant donné )
3°/ Décrire les couples $(x,y)$ tels que $(X,Y) R (x,y) $( le couple $(X,Y)$ étant donné )
4°/ En utilisant une transformation géométrique du plan, quelle remarque peut-on faire ?
5°/ Une petite digression vers les sciences physiques (on pourra chercher une analogie) ?
Retrouver la logique des propriétés précédentes dans ce cadre physique.
Bonne chance
A.
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#2 21-10-2024 19:35:33
- bridgslam
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Re : une relation dans le plan
Bonsoir,
Je regroupe ici en résumé les différents résultats sur R, et j'ai supprimé les posts intermédiaires qui ne faisaient que tracer mes pérégrinations sur le sujet, donc d'intérêt limité.
Voici un intervalle ouvert borné :
https://www.cjoint.com/c/NJwuosQRT1p
R forme un treilis (non complet).
On peut s'amuser à chercher le sup éventuel de quelques parties:
par exemple le cercle (et le disque) de centre (0,0) et de rayon 1 admet la borne supérieure $(0, \sqrt 2)$.
La topologie de l'ordre R est métrisable, car c'est la topologie discrète ( un signal clair étant par exemple que les intervalles ouverts, bornés ou non, contiennent une partie non vide de leur "frontière" au sens de la topologie classique).
D'ailleurs:
$\tiny{\{(x,y)\} = (x-1,y+1)^{-}\cap (x+1,y-1)^{+} \cap (x-1, y-1)^{+} \cap (x+1,y+1)^{-}}$
J'ai symbolisé les cônes ouverts supérieurs et inférieurs par + et -, notation moins lourde que > et <...
En regroupant les 4 cônes deux par deux, c'est aussi évidemment l'intersection de deux rectangles plats de la topologie...
On peut regarder les ordres induits par R sur des parties données.
Sur les droites affines de directions comprises entre celles des diagonales, on retrouve l'ordre classique.
Pour les autres directions c'est l'égalité.
Les bornés pour R sont les bornés classiques du plan.
L'addition est compatible avec R ( géométriquement un point translaté conserve sa situation vis à vis d'un cône dont on translate le sommet pareillement).
Enfin on peut se demander s'il est possible de caractériser de manière intrinsèque le fait pour une partie P non vide d'être majorée.
Intrinsèque au sens de l'examen exclusif des points constituant P ou liés à P.
J'en suis venu à ceci:
En appelant "point d'apogée de P" un point du plan quelconque élément de $ pr_1( P) \times \{ sup \; pr_2( P) \}$ , la cns que P soit majorée est:
- il existe au moins un point d'apogée S de P
-un trapèze sans bord inférieur de bord supérieur passant par S et de côtés // aux diagonales du plan contient P.
La première propriété revient à dire que l'ensemble des ordonnées de P est majoré.
La seconde propriété peut s'écrire algébriquement , car elle revient à dire que les écarts en x des points de P qui sortent du cône issu de S sont majorés.
On pourra visualiser en prenant justement pour P un tel trapèze et pour S un des points de son bord supérieur.
Une pyramide crénelée infinie à largeur de marche fixe est R- majorée.
Une autre à largeur de marche non bornée ne l'est pas.
A.
Dernière modification par bridgslam (25-10-2024 13:07:38)
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