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Obelix752

Invité

Différence entre un nombre et un infinitésimal.

Bonsoir,

On définit la dérivée d'une fonction [tex]f \ : \ ]a,b[ \to \mathbb{R}[/tex] en un point [tex]x \in ]a,b[ \subset \mathbb{R}[/tex], par le nombre, $$ f ' (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
On m'a dit que l'objet [tex]h[/tex] dans $ f ' (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} $, n'est pas un nombre, mais, un infinitésimal.
Qu'est ce que, un infinitésimal, et qu'elle est sa différence avec la notion d'un nombre ?

Merci d'avance.

Eust_4che

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Re : Différence entre un nombre et un infinitésimal.

Bonjour,

Je suis curieux de voir où l'on parle d'un "infinitésimal".

Mathématiquement, le nombre dérivé de $f$ au point $x$ est la limite, si elle existe, de la fonction $h \mapsto f(x + h) - f(x) / h$ définie pour $h \neq 0$ et $|h| < r$ ($r > 0$ dépendant de la fonction $f$ : il faut que $f(x + h)$ existe, donc $h$ ne doit pas être trop loin de $0$ pour que $x + h$ ne soit pas trop loin de $x$). Ici, $h$ est donc un nombre réel, un élément de $\mathbf{R}$.

DeGeer

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Messages : 110

Re : Différence entre un nombre et un infinitésimal.

Bonjour
On peut parler d'infinitésimaux dans le cadre de l'analyse non standard, et dans ce cas, la notion de dérivée ne fait pas intervenir de limites.
La notion de limite a été introduite pour éviter de parler d'infinitésimaux alors qu'il n'y avait pas de théorie rigoureuse les concernant (elle n'est apparue que dans la deuxième moitié du XXème siècle).

Dernière modification par DeGeer (11-10-2024 10:51:05)

Black Jack

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Messages : 476

Re : Différence entre un nombre et un infinitésimal.

Bonjour,

On parle d'infinitésimal ou "'d'infiniment petit" en analyse non standard.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

L'apport de cette théorie a permis de simplifier certains raisonnements et calculs, surtout en calcul différentiel et intégral, (en simplifiant très fort) a étendu aux "infiniment petits" l'utilisation d'opérations mathématiques (multiplication, division ...) .
Pour le reste, on se sert peu de l'ANS (analyse non standard) car on peut atteindre les mêmes résultats sans son utilisation.

L'analyse non standard a défini rigoureusement les infiniment petits (et les infiniment grands) et les opérations permises.

Beaucoup de mathématiciens parlent de "méthode de physiciens" en pensant, à tort, que la méthode n'est pas mathématiquement rigoureuse. Mais elle l'est devenue depuis les années 1960 suite aux travaux (entre autres) d'Abraham Robinson.

Voir par exemple ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Infiniment_petit
quelque mots sur les "infiniment petits".

Distinction sans soucis de rigueur (de ma part) :
Quand on parle d'un nombre réel, il est défini, par exemple 5,18 ou Pi ou 2/7 ou ...
Un infinitésimal (infiniment petit) n'a pas de valeur définie, c'est "comme un nombre" strictement positif mais dont la valeur est plus petite que tout nombre réel strictement positif.

Dernière modification par Black Jack (11-10-2024 11:10:11)