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bib99

Invité

Matrice aléatoire.

Bonsoir à tous,

Soit [tex]( \det M_1 , \ \dots \  , \det M_n )[/tex] un vecteur aléatoire tel que pour tout  [tex]k = 1 , \dots , n[/tex], on a, [tex]\ \det M_k[/tex] est la variable aléatoire qui est le déterminant de la matrice aléatoire [tex]M_k[/tex] de Rademacher dont les coefficients sont des variables aléatoires de Rademacher valant [tex]\pm 1[/tex], avec probabilité [tex]\dfrac{1}{2}[/tex].
Soit [tex]( X_1 , \ \dots \  , X_n )[/tex] un vecteur aléatoire tel que pour tout  [tex]k = 1 , \dots , n[/tex], on a, [tex]X_k[/tex] est une variable aléatoire de Rademacher valant [tex]\pm 1[/tex], avec probabilité [tex]\dfrac{1}{2}[/tex].

Comment établir que, [tex]\mathbb{P} ( X_1 . \det M_1 + \dots + X_n . \det M_n = 0 ) = ( \dfrac{1}{2} + o (1) )^{n}[/tex] sachant que, [tex]\mathbb{P} ( \det M_1 = 0 ) = \dots =\mathbb{P} ( \det M_n = 0 ) =  ( \dfrac{1}{2} + o (1) )^{n-1}[/tex] ?

Pour commencer, j'aimerais savoir si on peut écrire l’événement  [tex]\{ X_1 . \det M_1 + \dots + X_n . \det M_n = 0 \}[/tex] comme suit,
[tex]\{ X_1 . \det M_1 + \dots + X_n . \det M_n = 0 \} = \displaystyle \bigcup_{i_{1} , \dots , i_{n} = 0}^{1} \{ (-1)^{i_{1}} . \det M_1 + \dots + (-1)^{i_{n}} . \det M_n = 0 \}[/tex] ? Est ce que cette réunion est disjointe ?

Merci d'avance.

bib99

Invité

Re : Matrice aléatoire.

Je précise que les coefficients de la matrice de Rademacher [tex]M_k[/tex] sont des variables aléatoires de Rademacher indépendants et identiquement distribués, pour tout [tex]k = 0 , \dots , n[/tex].

bib99

Invité

Re : Matrice aléatoire.

Je précise aussi que, les [tex]X_k[/tex] sont des variables aléatoires de Rademacher indépendants et identiquement distribués, pour tout, [tex] k = 1 , \dots , n[/tex].
En fait, tous les [tex]X_k[/tex] et tous les coefficients des matrices [tex]M_k[/tex] sont sont des variables aléatoires de Rademacher indépendants et identiquement distribués, pour tout, [tex]k = 1 , \dots , n[/tex].