Forum de mathématiques - Bibm@th.net

forzat

Membre

Inscription : 09-10-2024

Messages : 1

non denombrabilite de R

Bonsoir cher tous,s'il peut il m'aider a montrer que l'intervalle [0,1] est non denombrable sans utiliser  la preuve avec la diagonale de CANTOR

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 110

Re : non denombrabilite de R

Bonjour
Tu peux montrer que $[0,1]$ est en bijection avec $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, l'ensemble des suites à valeurs dans $\{0,1\}$.

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 508

Re : non denombrabilite de R

Bonjour,

l' ensemble proposé par De Geer est en bijection avec l' ensemble des parties de $\mathbb{N}$ ( voir fonctions caractéristiques ), qui est équipotent à $\mathbb{R}$ équipotent à [0,1].
On peut le voir aussi en écrivant les réels de cet intervalle en base 2, écriture ne comportant que des 0 ou des 1, seuls un nombre dénombrable d'entre eux auront deux écritures ( ceux > 0 n'ayant que des 0 à partir d'un certain rang ( par exemple 1,000000... et 0.1111111... ), ce qui ne changera pas grand chose côté cardinal.
Sinon par dichotomie décider une infinité de fois à quel  demi-intervalle il appartient ( avec quelques précautions), cela revient à un codage binaire...

A.

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 508

Re : non denombrabilite de R

Bonjour,

Sinon au moyen d'une bijection bien choisie (par exemple continue) vous pouvez aussi envoyer facilement ]0,1[ sur $\mathbb{R}$ (non dénombrable) et cet intervalle ouvert est équipotent à [0,1].
On peut aussi procéder directement avec $\mathbb{R}$ achevé.

A.

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."