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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 01-10-2024 10:07:22
- jpp
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- Messages : 1 153
Triangle et cercle inscrit.
Salut .
Le cercle inscrit (O,r) d'un triangle ABC est tel que : OA = 2/3 ; OB = 3/4 & OC = 4/5 .
Trouver r .
n.b le dessin peut disparaitre après un certain temps ; c'est pour cela que j'ai ajouté le texte .
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#4 03-10-2024 14:41:08
- Wiwaxia
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- Lieu : Paris 75013
- Inscription : 21-12-2017
- Messages : 437
Re : Triangle et cercle inscrit.
Bonjour,
J'ai trouvé pour (r) la racine d'une équation non-algébrique:
r = 0.366 983 140 344 960 ± 35E-15 .
La calculatrice ne me permet pas d'aller plus loin. L'énigme est intéressante tant par la concision de l'énoncé que celle de la solution.
Dernière modification par Wiwaxia (03-10-2024 14:50:59)
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#6 03-10-2024 18:15:20
- Rescassol
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- Lieu : 30610 Sauve
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- Messages : 320
Re : Triangle et cercle inscrit.
Bonjour,
$720\space r^3 + 805\space r^2 - 144 = 0$ ou encore $5\space r^3 + \dfrac{805}{144}\space r^2 - 1 = 0$
Cordialement,
Rescassol
Dernière modification par Rescassol (03-10-2024 18:19:33)
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#7 03-10-2024 20:23:02
- Ernst
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- Inscription : 30-01-2024
- Messages : 317
Re : Triangle et cercle inscrit.
Bonsoir,
Perso j'ai fait ça par tâtonnement, en déplaçant avec Python les sommets du triangle pour que les contraintes soient respectées, ça marche également.
Au début j'ai tâtonné pour modéliser correctement le truc, finalement j'ai choisi (0,0) pour le centre O, fixé le sommet A en (0, 2/3) et déplacé sur des cercles de rayon 3/4 et 4/5 les sommets B et C, cadran inférieur gauche pour B (x<0 et y<0) et cadran inférieur droit pour C (x>0 et y<0) pour gagner du temps.
Calcul du centre du cercle inscrit I, calcul de l'écart avec O, et recherche de coïncidence en déplaçant alternativement B et C sur leur quart de cercle avec des incréments de plus en plus petits. En quelques secondes on obtient la précision que l'on souhaite :
$$0.36698314034495553845820247929544555690484677803919...$$
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#8 03-10-2024 20:36:39
- Wiwaxia
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- Messages : 437
Re : Triangle et cercle inscrit.
Bonsoir,
Je suis surpris pas l'apparition d'un polynôme. Après quelques errements, j'en étais venu très simplement à l'équation symétrique:
Arcsin(r/OA) + Arcsin(r/OB) + Arcsin(r/OC) = π/2 .
Dernière modification par Wiwaxia (04-10-2024 06:49:12)
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#9 04-10-2024 09:27:38
- jpp
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- Inscription : 31-12-2010
- Messages : 1 153
Re : Triangle et cercle inscrit.
Salut ;
Je pose : [tex]a = \frac{A}{2} ; b = \frac{B}{2} ; c = \frac{C}{2}[/tex] les trois angles "moitié" du triangle ABC .
On a immédiatement : [tex]\sin{a} = \cfrac{3r}{2} ; \sin{b} = \cfrac{4r}{3} ; \sin{c} = \cfrac{5r}{4} [/tex] (1)
Puis cette formule dans tout triangle où a , b & c sont les angles "moitié" :
[tex]\sin^2{a}+\sin^2{b}+\sin^2{c}+2\times\sin{a}\times\sin{b}\times\sin{c} = 1[/tex]
Il reste à remplacer les lignes trigonométriques par leurs valeurs respectives en (1)
[tex]\cfrac{805r^2}{144} + 5. r^3 - 1 = 0[/tex] . Une racine est positive : r = 0.36698...
Dernière modification par jpp (05-10-2024 10:42:58)
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#10 04-10-2024 21:26:56
- Wiwaxia
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- Lieu : Paris 75013
- Inscription : 21-12-2017
- Messages : 437
Re : Triangle et cercle inscrit.
Bonsoir,
.../...
Puis cette formule dans tout triangle où a , b & c sont les angles "moitié" :
[tex]\sin^2{a}+\sin^2{b}+\sin^2{c}+2\times\sin{a}\times\sin{b}\times\sin{c} = 1[/tex]
...
C'est épatant ! Je ne connaissais pas - ou avais complètement oublié - cette relation ...
Merci pour l'info.
Dernière modification par Wiwaxia (05-10-2024 12:47:37)
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