Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Roumet

Membre

Inscription : 28-09-2024

Messages : 1

3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonjour,
Se pourrait-il que la valeur de pi soit 3.141592285 au lieu de 3.141592653 communément admis.
Car avec le premier tous mes calculs de géométrie sont exacts alors qu'avec le second j'ai des décimales lointaines du type 1.0000024 ?
Je sais que pour calculer pi on utilise la circonférence sur le rayon mais je ne connais pas de formule pour calculer la circonférence autre que celle qui utilise pi.
Pouvez-vous me donner la formule de calcul de pi (sans pi dedans) et me dire s'il serait possible que pi ait la valeur finissant pas 285 ?
Cordialement.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 631

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonjour,

Le nombre $\pi$ est le rapport entre le périmètre d'un disque et son diamètre.

On sait depuis plusieurs siècles qu'il est irrationnel, en particulier son écriture en développement décimal ne se "termine" pas.

Il est possible de l'approcher de façon très précise par de nombreuses formules et il est certain que les premières décimales sont $3.141592653$.

Regarde un peu le le web et tu trouveras de nombreuses approximations (qui sont justifiées mathématiquement).

Une formule parmi d'autres :

$$\pi = 4 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$$

Roro.

Dernière modification par Roro (28-09-2024 16:58:41)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 129

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

RE,

Avec ces phrases  :

Que j'aime à faire connaître ce nombre utile aux sages.
 3  1  4   1   5       9      2   6      5    3    5
Immortel Archimède ! Artiste ingénieur !
    8        9          7         9
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
 3   2  3     8       4     5    2    5
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
  4   3   3     8      3   2    7        9

(et ben comptant le nombre de chiffres de chaque mot) on arrive à :
$\pi\approx 3,141592653589793238462643383279$

Un calcul rigoureux donne avec 50 décimales :
$\pi\approx 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751$ avec 50 décimales...
Ça te suffira ou en veux-tu plus ?

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 128

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Yoshi, je ne sais pas ce qui s'est passé ... "le nombre de chiffres de chaque mot", vraiment ?
Cocasse distraction ...
En toute amitié, Jean-Louis

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 143

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonjour,
Se pourrait-il que la valeur de pi soit 3.141592285 au lieu de 3.141592653 communément admis.
Car avec le premier tous mes calculs de géométrie sont exacts alors qu'avec le second j'ai des décimales lointaines du type 1.0000024 ?
Je sais que pour calculer pi on utilise la circonférence sur le rayon mais je ne connais pas de formule pour calculer la circonférence autre que celle qui utilise pi.
Pouvez-vous me donner la formule de calcul de pi (sans pi dedans) et me dire s'il serait possible que pi ait la valeur finissant pas 285 ?
Cordialement.

Bonjour,

Je trouve ta question tout à fait excellente.

Effectivement, tout ce que je connais de Pi sont soit des décimales exactes mais sorties d'un chapeau, soit des formules tout aussi invérifiables, genre série de Leibnitz (que j'aime bien, mais aucune idée du pourquoi du comment), soit des calculs prêtés à Archimède comme la méthode des polygones mais faisant hélas appel à des calculs de sin et de cosinus, donc des valeurs sorties d’un chapeau (ou d’une calculatrice, c’est la même chose), cherchez l'erreur.

Bref, calculer Pi en utilisant Pi ce n'est pas très sérieux, d’où la pertinence de ta question à mes yeux. (à noter que je ne sais pas faire)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 631

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonsoir,

De mon coté, je ne trouve pas la question "excellente" : demander si les 10 premières décimales de $\pi$ que l'on trouvent partout ne serait pas fausses !

Il suffit de taper "décimales du nombre pi" sur n'importe quel moteur de recherche pour trouver la réponse.

La question qui peut être plus pertinente, et que soulève Ernst, est celle du pourquoi ce sont ces décimales, et comment on les trouve.
Là aussi, un tout petit tour sur le web fournit une multitude de réponses qui évidemment n'utilisent pas $\pi$ pour le calculer !

Je redonne celle que j'avais indiquée : $\displaystyle \pi = 4 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$ qui ne sort pas d'un chapeau... il s'agit "simplement" du développement limité de la fonction $\arctan$ évalué en $1$. Pas besoin de calculer des cosinus ou des sinus, il s'agit simplement de faire la somme de nombres rationnels pour obtenir une approximation de $\pi$.

Roro.

Dernière modification par Roro (29-09-2024 21:22:49)

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 143

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Je redonne celle que j'avais indiquée : $\displaystyle \pi = 4 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$ qui ne sort pas d'un chapeau... il s'agit "simplement" du développement limité de la fonction $\arctan$ évalué en $1$. Pas besoin de calculer des cosinus ou des sinus, il s'agit simplement de faire la somme de nombres rationnels pour obtenir une approximation de $\pi$.

Bonsoir,

Perso je me suis longtemps amusé avec cette formule et l’ai utilisée pour calculer des milliers de décimales, voir par exemple ici :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16811

N’empêche, je ne sais pas ce qu’est un développement limité, je ne sais pas ce qu’est arc tangente, je ne sais pas comment la trigonométrie permet de passer d’angles à des longueurs et vice-versa en dehors de valeurs simples, je ne sais pas calculer un logarithme, la seule chose que je sache c’est que les décimales données pour Pi ou pour e sont connues et donc à prendre pour vérité immuable ainsi que les formules plus ou moins sophistiquées qui permettent de les calculer.

Maintenant, si vraiment on veut aller au fond des choses, je sais faire. Je pars d’un hexagone formé de six triangles équilatéraux qui approche vaguement le cercle dans lequel il s’inscrit, je divise chacun en deux pour obtenir douze côtés au lieu de six, je suis capable de calculer leur longueur sans jamais passer par autre chose que Pythagore et des triangles rectangles, et avec 24, 48, 96, ... côtés j’arrive à n’importe quelle précision.

Sauf que.

Il me faut alors passer par des carrés (facile) et des racines carrées (difficile) à la chaîne. À la main je sais faire, mais c’est un travail de Titan pour peu de décimales exactes. Et s’il faut passer par une calculatrice, autant presser la touche Pi.

Pour un gamin reste l’expérimentation, on trace un grand cercle et on compte le report de toutes petites longueurs au compas, ou les petits carreaux de la surface sur un quadrillage serré, pour lui dire que finalement c’est comme cela et pas autrement.

Voilà pourquoi je trouve la question excellente. Elle renvoie à essentiellement des arguments d'autorité.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 129

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonsoir

@Ernst
Va voir là : https://www.youtube.com/watch?v=_BoBYsG5p7o
Le principe n'est pas un argument d'autorité : il s'agit de partir d'un cercle, de l'encadrer entre deux carrés : l'un circonscrit au cercle, l'autre inscrit dans le cercle, puis à l'aide d'une boucle de doubler à chaque tour le nombre de côtés pour encadrer au 1er tour entre deux octogones, au 2e tour entre deux polygones au nombre de côtés doublé à chaque fois
Je viens de modifier son code Python pour 1000 décimales : il ne marchait pas chez moi...
Maintenant ça fonctionne, j'ai 1002 décimales en moins d'1 s...
Je verrai demain si le pi obtenu est le bon : pour ce soir, j'arrête là.

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 631

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Oui, enfin c'est sûr qu'il n'y a pas de formule "simple" pour quelqu'un qui a un niveau "lycée".

Mais de la à dire que c'est un argument d'autorité, je pense qu'on exagère un peu. C'est plus une question philosophico-pédagogique que de faire confiance à ceux qui ont pris le temps de travailler ces questions et d'apprendre les notions qui permettent de les comprendre (arc-tangente, développement limité par exemple).

Il y a plein de constantes qui sont plus ou moins complexes à approcher, tout du moins pour comprendre pourquoi certaines formules les approchent correctement...
Je pense que la question vient ici du fait que le nombre $\pi$ est très simple à définir (il faut connaître la notion de périmètre et diamètre d'un disque) alors que ses approximations nécessitent plus d'outils.

Philosophez bien, moi je vais me coucher !

Roro.

Dernière modification par Roro (29-09-2024 22:18:16)

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 143

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Va voir là : https://www.youtube.com/watch?v=_BoBYsG5p7o
Le principe n'est pas un argument d'autorité : il s'agit de partir d'un cercle, de l'encadrer entre deux carrés : l'un circonscrit au cercle, l'autre inscrit dans le cercle, puis à l'aide d'une boucle de doubler à chaque tour le nombre de côtés pour encadrer au 1er tour entre deux octogones, au 2e tour entre deux polygones au nombre de côtés doublé à chaque fois

Bonjour,

Oui, sauf qu'il sort d'un chapeau une formule à grand coups de « on peut établir... » et sans montrer comment il y arrive :

En fait le type passe de carrés (ce seront d'ailleurs les seuls dont il détaille les périmètres, trop facile) à des pentagones, puis des hexagones, etc. pour parler d'encadrement, puis s'arrête sur un polygone arbitraire dont on ne sait rien, et nous pond des formules dont on ne sait rien.

Désolé, pour moi cela ne marche pas.

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 143

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

faire confiance à ceux qui ont pris le temps de travailler ces questions et d'apprendre les notions qui permettent de les comprendre (arc-tangente, développement limité par exemple).

Bonjour,

C’est ce que j’appelle l’argument d’autorité, il y en a qui savent, donc ne la ramenez pas.

Perso je préfère faire autrement, par exemple en considérant un cercle de rayon $\dfrac{n}{2}$ sur une grille de $n\times n$ points. On compte chaque point dont la distance au centre est égale ou inférieure au rayon, ce qui en pratique ne fait intervenir qu’un décompte et des carrés, on obtient un rapport de surface entre la grille et les points tombés dans le cercle, qui nous donne $\pi ^{2}$ donc $\pi$. Finalement plus précis que Monte-Carlo, et programmé en C sur ma bécane cela donne :

Entrez la taille de la grille (n x n) : 200000
Entrez le rayon du cercle : 100000
La valeur approximative de Pi est : 3.141592693200
Temps d'exécution : 10.013 secondes

7 décimales exactes en une dizaine de secondes, c’est pas mal et cela répond à la question puisque j’obtiens bien 3,141592 6… plutôt que le 3,141592 2… proposé par le demandeur. Je peux même vérifier le truc avec une décimale de plus :

Entrez la taille de la grille (n x n) : 1000000
Entrez le rayon du cercle : 500000
La valeur approximative de Pi est : 3.141592656816
Temps d'exécution : 246.44 secondes

3,141592 65… Même s’il est possible d’améliorer (1/4 de cercle, subdivision des carreaux au niveau des frontières tout ça) et aller encore plus loin je suis satisfait, j’ai pu vérifier de façon expérimentale sans jamais utiliser de fonction trigonométrique ou de formules toutes faites.

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 86

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonjour
Ta méthode revient à compter les points à coordonnées entières dans le disque de rayon $n$, et on peut montrer que ce nombre est équivalent en l'infini à $\pi \times n^2$.
Sinon, concernant l'argument d'autorité, je ne suis pas d'accord, puisque les mathématiques reposent sur des démonstrations que tout le monde peut étudier et vérifier, et pas sur la confiance qu'il faudrait avoir envers untel ou untel qui ferait autorité. L'argument d'autorité en maths, ce serait par exemple le fait de présenter telle propriété comme évidente à un public qui ne la trouverait pas évidente, ou énoncer des faits mathématiques sans justification.

Dernière modification par DeGeer (30-09-2024 19:10:56)

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 143

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonjour
Ta méthode revient à compter les points à coordonnées entières dans le disque de rayon $n$, et on peut montrer que ce nombre est équivalent en l'infini à $\pi \times n^2$.
Sinon, concernant l'argument d'autorité, je ne suis pas d'accord, puisque les mathématiques reposent sur des démonstrations que tout le monde peut étudier et vérifier, et pas sur la confiance qu'il faudrait avoir envers untel ou untel qui ferait autorité. L'argument d'autorité en maths, ce serait par exemple le fait de présenter telle propriété comme évidente à un public qui ne la trouverait pas évidente, ou énoncer des faits mathématiques sans justification.

Bonsoir,

On peut aussi le faire en flottant vu qu’il s’agit avant tout de calculer une surface. Je me suis amusé à implémenter ce que j’avais écrit, à savoir partir d’un quart de cercle centré dans un coin sur un carré unité et subdiviser si nécessaire. Première étape, quatre carrés de taille 1/4. Deuxième étape, seuls les carrés sur la frontière sont subdivisés, taille de chacun 1/16. Étapes suivantes même chose, subdivision des carrés sur la frontière (coins opposés dans et hors du cercle) pour obtenir successivement des carrés de taille de 1/64, 1/256, 1/1024, etc. Il s’agit finalement de sommer des fractions de plus en plus petites et ça marche très bien.

Pour les aficionados, le code C ici :

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

#define PI 3.14159265358979323846
#define MAX_DEPTH 8

double total_area = 0.0;

// Fonction pour verifier si un point est dans le cercle
int IsInCircle(double x, double y) {
    return (x * x + y * y <= 1.0);
}

// Fonction recursive pour subdiviser et calculer l'aire
void SubdivideSquare(double x, double y, double size, int depth) {
    int corner1 = IsInCircle(x, y);
    int corner2 = IsInCircle(x + size, y + size);
   
    if (corner1 && corner2) {
        // Le carre est entierement dans le cercle
        total_area += size * size;
    } else if (corner1 || corner2 || IsInCircle(x + size, y) || IsInCircle(x, y + size)) {
        // Le carre est partiellement dans le cercle
        if (depth < MAX_DEPTH) {
            double new_size = size / 2;
            SubdivideSquare(x, y, new_size, depth + 1);
            SubdivideSquare(x + new_size, y, new_size, depth + 1);
            SubdivideSquare(x, y + new_size, new_size, depth + 1);
            SubdivideSquare(x + new_size, y + new_size, new_size, depth + 1);
        } else {
            // Atteint la profondeur maximale, estimer l'aire
            total_area += size * size / 2;
        }
    }
}

int main() {
    clock_t start, end;
    double cpu_time_used;

    // Demarrer le chronometre
    start = clock();

    // Commencer avec un carre de cote 1
    SubdivideSquare(0, 0, 1, 0);

    // Calculer l'estimation de Pi
    double pi_estimate = total_area * 4;

    // Arreter le chronometre
    end = clock();
    cpu_time_used = ((double) (end - start)) / CLOCKS_PER_SEC;

    // Afficher les resultats
    printf("Estimation de Pi : %.15f\n", pi_estimate);
    printf("Valeur reelle de Pi : %.15f\n", PI);
    printf("Difference : %.15f\n", fabs(pi_estimate - PI));
    printf("Temps d'execution : %f secondes\n", cpu_time_used);

    return 0;
}

Suffit de le coller en remplacement dans la fenêtre de gauche > par exemple ici < et de presser [Execute] au dessus pour tester différentes niveaux de précision en changeant la valeur de #define MAX_DEPTH 8 au début du code. Attention, chaque niveau supplémentaire double le temps d'exécution, et au delà de 26 (11 décimales exactes en 5 secondes) ça s'effondre à cause des limitations internes...

Et tiens, puisque j’y suis, j’ai écrit une bêtise avec mon « $\pi ^{2}$ donc $\pi$ » puisque la surface d’un cercle c’est $\pi r^{2}$ et c’est tout. À noter là encore que c’est une formule tombée du ciel qu’on nous apprend à ânonner depuis tout petit, et je connais très peu de monde capable de la vérifier.

Effka

Membre

Inscription : 01-10-2024

Messages : 1

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonsoir à tous,
Je salue avec respect l'exhaustivité de vos réponses. Néanmoins, je crains que Roumet, l'auteur du post, nous doive quelques informations de contexte afin de pouvoir mieux lui répondre. En effet, l'erreur que Roumet croit voir dans la valeur de [tex]\pi[/tex] semble être issue d'une modélisation. Cette modélisation étant probablement faite à l'ordinateur, elle peut être sujette à des erreurs d'arrondis propagées par des calculs sur les flottants. Une interprétation possible de la démarche initiale de Roumet peut donc être une tentative de corriger "manuellement" la valeur de [tex]\pi[/tex] afin que les résultats de sa modélisation lui paraissent plus précis.

En bref, Roumet, peux-tu expliquer le contexte de ta question (exercice sur papier, modélisation sur ordinateur - quel langage ?, autre ...) ?

Excellente soirée,
Effka

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 129

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonsoir,

En bref, Roumet, peux-tu expliquer le contexte de ta question (exercice sur papier, modélisation sur ordinateur - quel langage ?, autre ...) ?

Belle pensée, mais je propose qu'on ne se préoccupe plus de Roumet : s'il avait dû repasser, ce serait déjà fait...
1. Il ne savait pas que ce n'était pas bien de poser le même problème sur un 2e site fusse-t-il parmi les sites amis ?...
2. N'est-ce pas là une forme de procédé d'inspiration esclavagiste (des temps modernes) que de faire travailler 2 équipes sur le même sujet et l'ignorant, escomptant peut-être qu'on ne s'en apercevrait pas ? Raté !
Je suis profondément déçu, comme quoi, à mon âge canonique, je suis resté un grand utopiste et naïf...

Donc, concentrons-nous plutôt sur nos avancées...

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Ernst

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 143

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Donc, concentrons-nous plutôt sur nos avancées...

Bonsoir,

Exactement.

J’ai essayé autre chose d’expérimental, toujours sans aucune fonction trigonométrique bien sûr, l’estimation de Pi en approchant le quart d'un cercle avec des cordes intérieures de plus en plus courtes.

Mon idée est la suivante : on part d'un quart de cercle sur un repère orthonormé, centre O en (0, 0) et deux extrémités du rayon A en (1, 0) et B en (0,1). Dans un premier temps, on considère la longueur de la corde AB. Dans un deuxième temps, on prend le centre C du segment AB et on prolonge le segment OC pour qu'il atteigne la longueur du rayon, c'est-à-dire 1. On obtient donc à sa nouvelle extrémité un point on va dire D, et on calcule la longueur AD+DB. Ensuite on recommence, tout simplement. Milieu de AD, prolongation jusqu'à la longueur d’un rayon, point E, milieu de DB, prolongation jusqu'à la longueur d’un rayon, point F, puis calcul de la longueur AF+ED+DF+FB.

En fait on remplace chaque corde par deux nouvelles cordes plus courtes. Et comme ça se prête bien à la récursivité, il suffit d’indiquer le nombre d’imbrications que l’on souhaite, ça marche super bien.

Hop, code en Python à essayer > ici < en le collant dans la fenêtre de gauche et en cliquant sur Exécuter en bas…

import math
import time

SUBDIVISIONS = 16
PI_REEL = 3.1415926535897932

class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y

def distance(a, b):
    return math.sqrt((b.x - a.x)**2 + (b.y - a.y)**2)

def milieu(a, b):
    return Point((a.x + b.x) / 2, (a.y + b.y) / 2)

def prolonge(o, p):
    norme = math.sqrt(p.x**2 + p.y**2)
    return Point(p.x / norme, p.y / norme)

def calcule_arc(a, b, niveau):
    if niveau == 0:
        return distance(a, b)
    else:
        c = milieu(a, b)
        d = prolonge(Point(0, 0), c)
        return calcule_arc(a, d, niveau - 1) + calcule_arc(d, b, niveau - 1)

a = Point(1, 0)
b = Point(0, 1)

start_time = time.time()

longueur_arc = calcule_arc(a, b, SUBDIVISIONS)
pi_estime = longueur_arc * 2

elapsed_time = time.time() - start_time

print(f"Estimation de Pi avec {SUBDIVISIONS} subdivisions :")
print(f"Pi estimé : {pi_estime:.16f}")
print(f"Pi réel   : {PI_REEL:.16f}")
print(f"Différence: {abs(pi_estime - PI_REEL):.16f}")
print(f"Temps d'exécution : {elapsed_time:.6f} secondes")

Résumé : avec uniquement les moyens du bord, on peut donc définitivement conclure que non, Pi n’a pas 285 au lieu de 653 à partir de la 7ème décimale.

(et si je peux me permettre, on ne fait pas cela pour les absents, mais bien pour les éventuels lecteurs du forum qui y trouveraient un intérêt)

Matoux

Invité

Re : 3.141592 285 au lieu de 3.141592 653

Bonjour à tous,

puisque la surface d’un cercle c’est $\pi r^{2}$ et c’est tout. À noter là encore que c’est une formule tombée du ciel qu’on nous apprend à ânonner depuis tout petit, et je connais très peu de monde capable de la vérifier.

Bon, faut pas abuser tout de même.

On définit [tex]\pi[/tex] comme le rapport du diamètre à la circonférence.
Ensuite, si on s'intéresse un peu au monde mathématique, écrire que la surface du cercle c'est [tex]\int^r_0 \! 2\pi{}t \, dt[/tex], ce n'est quand même pas compliqué !