Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Omhaf

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racines carrées de cubes

Bonjour
J'ai constaté après certaines manipulations que tous les carrés entiers, les racines carrée de leurs  cubes sont des nombres entiers
Exemple
4³ =64 et $\sqrt {64}  =8$
9³= 729 et $\sqrt {729} =27$
si je prends un nombre quelconque par exemple 13³, cela ne marche pas
Y'a t il un intérêt quelconque à en discuter ?

@+

Dernière modification par yoshi (23-08-2024 16:10:58)

DeGeer

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Re : racines carrées de cubes

Bonjour
Un carré d'entier s'écrit $a^2$ pour un certain entier $a$. Son cube est donc $(a^2)^3=a^6$, et $\sqrt{(a^2)^3}=\sqrt{a^6}=a^{6 \div 2 }=a^3$.

Eust_4che

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Re : racines carrées de cubes

Encore plus simplement,

$(a^2)^3 = (a^3)^2$, donc $\sqrt{(a^2)^3} = \sqrt{(a^3)^2}= \pm a^3$.

N'étant pas "expert" en arithmétiques, je ne suis pas placé pour discuter de l'intérêt ou non de tel ou tel résultat. Mais compte tenu du caractère élémentaire de la démonstration, je ne serais pas étonné qu'il n'y ait aucun.

E.

Omhaf

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Re : racines carrées de cubes

https://i.pinimg.com/736x/e8/31/9d/e831 … 1d44b6.jpg

DrStone

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Re : racines carrées de cubes

En même temps comment y voir une propriété incroyable alors qu'il s'agit tout juste d'un exercice niveau collège (troisième) ?

Il me semble que Omhaf aurait tout à gagner à se lancer dans les expressions algébriques (à base de $a$, $b$, $x$, $y$ et j'en passe) et le calcul littéral, plutôt que de perdre son temps à faire des calculs sur des nombres. Si ensuite le cœur lui en dit, qu'il en profite pour apprendre les quelques propriétés de bases des nombres (réels), qu'il utilisera alors, telles que l'associativité, la commutativité, la distributivité, la notion d'élément neutre ($0$ pour l'addition $+$ et $1$ pour la multiplication $\times$). Enfin, munis de ces propriétés (qui permettent de définir l'ensemble des nombres (réels) $(\mathbf{R}, +, \times)$ comme un corps) je l'invite alors à justifier chacune de ses découvertes.

Quelques exercices pour se mettre en jambe.
Sur ce modèle-là
\[\begin{align} (a+b)^2 & = (a+b)(a+b) & \text{par définition} \\               & = a(a+b)+b(a+b) & \text{la multiplication est distributive par rapport à l'addition} \\               & = (a^2+ab)+(ba+b^2) & \text{la multiplication est distributive par rapport à l'addition} \\               & =a^2+(ab+ba)+b^2 & \text{l'addition est associative} \\               & =  a^2+(ab+ab)+b^2 & \text{la multiplication est commutative} \\               & =  a^2+2ab+b^2 \\  \end{align}\]
montrer que

1. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

2. $(a+b)(a-b)=a^2+b^2$

3. $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

4. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

5. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

6. $a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2$

7. $a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

Quand ça c'est maîtrisé, partir sur les propriétés de la racine carrée : $\sqrt{a^2}=a$ si $a\geq0$, $\sqrt{a^2}=-a$ si $a\le0$ (et apprendre par la même la notion de valeur absolue : $\sqrt{a^2}=|a|$ ; $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ ($\sqrt{6}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{2}\times\sqrt{3}$) impliquant que $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ; etc…

Il me semble que ces petits prérequis pas bien compliqués de niveau collège sont déjà un bon début pour qui veut s'amuser à bidouiller avec des nombres. Après bien sûr il sera temps de s'intéresser aux fonctions, aux relations d'ordres (stricts), et j'en passe.

Dernière modification par DrStone (25-08-2024 01:21:47)

yoshi

Modo Ferox

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Re : racines carrées de cubes

Bonjour à tous,

Il me semble qu'il soit nécessaire de donner la définition de la valeur absolue :
soit $x \in \mathbb R : |x|=\begin{cases}\;\;\,x \text{  si } x >0\\-x \text{ si } x <0\end{cases}$
Pa exemple |2|=2 et |-2| = 2 (et ici 2 est bien égal à -(-2))

Calcul de  $(a+b)^2$
je montrais également ceci à mes élèves (ça remonte à 17 ans et plus déjà...) :

et disais prolonger le côté [DC] d'une longueur $CE = b$
Je partais d'un carré ABCDE de côté $AB = a$ et disais prolonger
- le côté [DC] d'une longueur $CE = b$
- le côté [DA] de la longueur $AI = CE = b$
Et j'obtenais un nouveau carré IGED de côté (a+b)...
La démo, c'est moi qui la faisait...

Après, je leur proposais d'utiliser le même schéma, en déplaçant les points comme ceci :

et leur demandais de calculer $(a-b)^2$ dans le même esprit.
Évidemment, pour un certain nombre d'élèves, c'était un peu plus coriace...
Certains avaient oublié la 6e, où ils avaient avait eu à calculer l'aire d'une allée en croix en plein milieu d'un jardin  carré (voire rectangulaire)...

Et il y a peu, j'ai découvert par hasard que Fred avait aussi utilisé démontré $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$  comme dans mon premier schéma. C'est ici :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … iques.html (cliquer sur Démonstration en video après Identités remarquables)...

Et  pour les plus rapides et les plus à l'aise, j'offrais une cerise à mettre sur leur gâteau : je leur proposais de démontrer $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ en partant d'un carré ABCD de côté a et en plaçant $E \in [AB)$ tel que $E \notin [AB]$, $BE =b$ et $ G\in [AD]$ tel que $GD = b$ et en plaçant F pour que AEFG soit un rectangle. $(a+b)(a-b)$ étant l'aire de ce rectangle, ils devaient la calculer toujours "géométriquement"...

@omahf
Pourquoi Shame ? Parce que quelqu'un dit : c'est élémentaire ? Bof...
C'est déjà dur de "vouloir être quand on a été", alors il n'y a pas de honte à ne pas savoir...
Tu n'as jamais annoncé avoir découvert quelque chose d'incroyable et tu nous as demandé ce qu'on en pensait...
Probablement comme le l'avais supposé tu es un peu fâché avec l'algèbre ou alors tu ne la connais pas du tout... Et alors ? Pas de panique... le calcul littéral, c'est mécanique, ça s'apprend assez bien...
Et pour être à l'aise avec, il faut pratiquer, pratiquer et encore pratiquer...
Tu n'en as jamais fait ? Je veux bien te former jusqu'au niveau Bac...
Ah, oui ça ce serait du travail ! Mais ne dit-on pas << A cœur vaillant, rien d'impossible ! >>

Tu veux continuer à  manipuler des nombres ? Moi, ça ne me pose pas problème, simplement, quand tu découvres, toi, quelque chose,  la pratique du calcul littéral est là ensuite pour que tu puisses toi-même chercher s'il y a une chance que ce soit toujours vrai ; quant à la question de savoir si cela a déjà été découvert, la réponse est 999 fois sur 1000 : oui...
Et alors, de quoi te décourager ? Bien sûr que non !
C'est même pas si mal de redécouvrir seul des propriétés mathématiques...

@+

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Omhaf

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Re : racines carrées de cubes

Bonsoir,
Je crois que dans la vie tout a un sens, et ce que j'ai présenté a eu une certaine utilité, c'est celle de permettre à nos amis chevronnés tels que yoshi et DrStone  ( que je remercie pour leur délicatesse et amabilité) de présenter quelques conseils et démarches  à suivre dans l'apprentissage des mathématiques à certains lecteurs débutants ou élèves ou tout simplement amoureux des Maths comme moi
Merci encore.
@+

gielev

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Re : racines carrées de cubes

(...)

Quelques exercices pour se mettre en jambe.
Sur ce modèle-là
(...)
montrer que

1. $(a+b)(a-b)=a^2+b^2$

(...)

Petite faute de frappe ?

DrStone

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Re : racines carrées de cubes

En effet. Néanmoins, ayant proposé la méthode de résolution juste au dessus, quelconque lecteur (y compris collégien) ne devrait avoir aucun souci particulier pour s’en rendre compte par lui-même ni même pour corriger seul ce genre de petite erreur.

Du coup je me dis que ce n’est pas si grave que ça. ^_^