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#1 10-09-2024 16:41:05

Artr
Invité

Relation symetrique et transitive, mais non reflexive

Bonjour a tous,
Auriez vous des exemples d'une relation sur un ensemble X qui soit symetrique et transitive, mais non reflexive.
Je cherche en particulier une relation "explicite", car on peut facilement construire nous meme la relation en prenant par exemple X = {a, b, c} et R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)}.
Je n'ai cependant pas reussi a en trouver une ou ne nous construisions pas nous meme la relation R

Merci d'avance

#2 10-09-2024 18:27:39

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 92

Re : Relation symetrique et transitive, mais non reflexive

Bonjour,

peut-être la relation « est orthogonale à » car elle n’est pas réflexive puisqu’une droite n’est pas orthogonale à elle-même,elle est symétrique, et transitive.

Hors ligne

#3 10-09-2024 19:17:07

Eust_4che
Membre
Inscription : 09-12-2021
Messages : 162

Re : Relation symetrique et transitive, mais non reflexive

Bonjour à tous,

Tous simplement une relation d'ordre ou de préordre.

Hors ligne

#4 10-09-2024 20:01:55

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 505

Re : Relation symetrique et transitive, mais non reflexive

Bonsoir,

LCTD a écrit :

Bonjour,

peut-être la relation « est orthogonale à » car elle n’est pas réflexive puisqu’une droite n’est pas orthogonale à elle-même,elle est symétrique, et transitive.

Si D perpendiculaire à D' et D' perpendiculaire à D" , D et D" sont //, pas vraiment perpendiculaires, ce n'est pas transitif.

La restriction de la relation aux éléments concernés dans une telle relation étant forcément d'équivalence, les relations possédant la propriété demandée revient à l'ajout d' éléments n'ayant aucune relation, c'est donc  assez artificiel.

Néanmoins la relation sur la droite réelle  "x = y et x >0 " convient, c'est l'égalité sur les positifs non nuls. Aucun négatif n'est en relation avec lui-même.

A.

Dernière modification par bridgslam (10-09-2024 21:45:35)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#5 10-09-2024 21:23:07

DeGeer
Membre
Inscription : 28-09-2023
Messages : 110

Re : Relation symetrique et transitive, mais non reflexive

Bonsoir.
La relation vide sur un ensemble non vide est symétrique et transitive (car elles sont de la forme A => B, où A est de la forme $x \in \emptyset$, donc fausse) et non réflexive car comme l'ensemble est non vide, il contient un élément qui n'est pas en relation avec lui-même.
De manière générale, si tu pars d'un ensemble muni d'une relation symétrique et transitive (par exemple une relation d'équivalence), que tu lui ajoutes un élément et que tu prolonges la relation de manière à ce que le nouvel élément n'est en relation avec aucun élément, alors la nouvelle relation sera symétrique transitive non réflexive.

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#6 10-09-2024 21:25:13

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 92

Re : Relation symetrique et transitive, mais non reflexive

vous avez raison bridgslam j'ai été un peu vite.

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