Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

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croisière arithmétique

Bonsoir,

Sur le paquebot "Factoriel one", deux passagers discutent.

- On dirait qu'à partir de n=2, dans l'expression de n! en produit de nombres premiers, il y a toujours au moins un premier dont l'exposant est 1... étonnant

- Pas tant que cela, il me semble que c'est  normal... mais je peux me tromper. Un mathématicien de mes amis, que je questionnerai à notre retour me donnera sans doute la réponse!

Qui a raison, et pourquoi ?

[si vous trouvez la réponse, merci de la masquer afin que "la croisière s'amuse" :-) ]

A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Fred

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Re : croisière arithmétique

Hello,

▼Une idée

Est-ce que notre ami Tchebychev ne serait pas dans le coup ?

F.

bridgslam

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Re : croisière arithmétique

Bonsoir,

▼réponse à Fred

Si .
( historiquement le mieux, mais Bertrand et Erdös pourrait aussi être dans la boucle ).

Bien joué, reste à le montrer (pas bien dur, tu as vu le principal).

Bonne chance à tous

A.

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bridgslam

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Re : croisière arithmétique

Bonjour,

▼une réponse si vous souhaitez chercher sa preuve (élémentaire)

La propriété évoquée par le passager est exacte, elle est en fait équivalente au "postulat" de Bertrand.
Montrer l'équivalence est sans difficulté.

Historique (source wikipedia)

Le postulat de Bertrand affirme qu'entre un entier et son double, il existe toujours au moins un nombre premier.

Plus précisément, l'énoncé usuel est le suivant :

    Pour tout entier ${\displaystyle n>1}$, il existe un nombre premier  ${\displaystyle p}$ tel que ${\displaystyle n<p<2n}$.

Le postulat de Bertrand est aussi connu sous le nom de théorème de Tchebychev, depuis que Pafnouti Tchebychev l’a démontré en 1850.

Le « postulat » (un terme tel qu’hypothèse ou conjecture, moins généraux, serait plus approprié) est énoncé pour la première fois en 1845 par Joseph Bertrand dans une étude sur des groupes de permutations, après qu’il a vérifié sa validité pour tous les nombres inférieurs à 6 millions.

C’est Pafnouti Tchebychev qui obtient, en 1850, la première démonstration : il utilise notamment un encadrement de la factorielle par des fonctions dérivées de la formule de Stirling ainsi que la fonction ${\displaystyle \theta (x)=\sum _{p=2}^{x}\ln p}$, où  ${\displaystyle p}$ parcourt les nombres premiers inférieurs ou égaux à  ${\displaystyle x}$. Depuis lors, le postulat s'appelle aussi « théorème de Tchebychev » ou, plus rarement, « théorème de Bertrand-Tchebychev ».

Edmund Landau, en 1909, dans son ouvrage de synthèse des connaissances de l’époque sur la répartition des nombres premiers, reprend pour l’essentiel la démonstration de Tchebychev.

En 1919, Srinivasa Ramanujan donne du postulat de Bertrand une démonstration plus simple.

En 1932, Paul Erdős, à l’occasion de sa première publication, à l’âge de 19 ans, publie une démonstration entièrement élémentaire dans laquelle il utilise les coefficients binomiaux (il démontrera aussi que pour n>5, il existe au moins deux nombres premiers compris entre n et 2n). Pour son élégance, cette démonstration d’Erdős est l’une de celles retenues par Martin Aigner et Günter M. Ziegler dans leur livre Raisonnements divins.

La recherche de cette équivalence vous incombe, vous serez ainsi dans les traces de grands mathématiciens.

Bonne fin de croisière

▼à bon port

Supposons vrai le postulat de Bertrand.
Si n est au moins égal à 2, notons p le plus grand premier inférieur ou égal à n.
On est certain que 2p dépasse n, sinon comme il existerait un premier p' à la fois supérieur à p et inférieur à n, p ne serait pas le plus grand...
p est donc le seul multiple  de p parmi 1,2,...,n.
n! est donc divisible par p mais pas par des puissances supérieures de p. D'où le résultat.

Soit un premier q d'exposant 1 dans la décomposition de (2n)! ( n au moins égal à 2) en produit de facteurs premiers.
On est sûr que q < 2n puisque 2n n'est pas premier.
Par ailleurs si $q \le n$, alors $2q \le 2n$,  donc 2q serait un autre multiple de q divisant (2n)!, qui serait donc au moins divisible par le carré de q. Contradiction. Ainsi n<q<2n.

Les deux propriétés sont donc équivalentes.
Comme le postulat de Bertrand s'est avéré vraie, la propriété sur n! remarquée par le voyageur est vraie aussi.

Alain

Dernière modification par bridgslam (15-08-2024 03:29:09)

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